(8)旋转中的分类讨论思想-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

专项 8 旋转中的分类讨论思想 1.如图，正方形����的边长为 5，两边�� ,��分别在�轴、�轴上，点�在边��上，�� = 3， 连接��，把△��� 绕点�旋转90∘ ，则旋转后点�的对应点�' 的坐标是( ) A.( − 2,0) B.( − 2,10) C.( − 2,0)或(2, − 10) D.( − 2,0)或(2,10) 2.在矩形����中，�� = 5，�� = 3 ，把矩形����绕点�顺时针旋转，当点�落在直线��上 的点�处时，线段�� 的长度等于( ) A. 10 B.2 10 C. 10或 2 10 D. 10或 3 10 3.线段�� 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知�� = 2，线段��与� 轴的夹角为60∘ ， 现将线段��绕点�旋转30∘ ，则点� 的对应点的坐标为______________. 4.如图，在 Rt△���中，∠� = 90∘ ，∠� = 20∘ ，将△���绕点�旋转至△�'�'�，点�，�分 别与点�'，�' 对应，如果直线�'�' ⊥ 直线��，那么∠�'�'� 的度数为___________. 26/40 5.如图，△���与△���都是等边三角形，连接��,�� ,�� = 2，�� = 1，将△���绕点�顺时 针旋转，当点� ,�,�在同一条直线上时，线段�� 的长为_________． 6.如图，在△���中，∠��� = 90∘ ，∠��� = 30∘ ，将△���绕点� 按逆时针方向旋转�(0∘ < � < 90∘)得到△�'�'�，�'�与��交于点�，连接��' ，若△��'�是等腰三角形，则旋转角� 的度数为__________． 7.如图，图 1是一副直角三角尺，∠� = 30∘ ，将这副三角尺按如图 2所示方式放置，点�，�， �，�在同一条直线上，点�在��上，△��� 固定不动，在△���绕点�逆时针旋转180∘ (不含 180∘) 的过程中，当旋转角为多少时，��与△��� 的边垂直？ 27/40 专项8旋转中的分类讨论思想 1.如图，正方形0ABC的边长为5，两边OA,OC分别在x轴、y轴上，点D在边AB上，AD=3, 连接CD,把△CDB绕点C旋转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐标是( A.(-2,0) B.(-2,10) C.(-2,0)或(2，-10) D.(-2,0)或(2,10) 答案：D D' 图1 图2 【解析】如图，~正方形0ABC的边长为5，AD=3,∴BD=2, 当逆时针旋转90°时， 如图1，CB'=CB=5,DB'=2,DB/x轴，0B'=10,·D'(2,10): 当顺时针旋转90°时，如图2，D0=2,÷D(-2,0)· 2.在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在直线BC上 的点P处时，线段DP的长度等于( A.V10 B.2V10 C.√10或210 D.V10或3y10 答案：D 【解析】如图， 44/77 D B 当点D落在线段CB上的点P处时，AP=AD=5,在Rt△ABP中， BP=VAP2-ABz=4,·CP=1,在Rt△PCD中，DP=VCD2+CP2=VI0: 当点D落在点B左侧的点P'处时，AP'=AD=5, 在Rt△ABP中，BP'=V√AP2-AB2=4, :PC=5+4=9,在Rt△PCD中，DP'=32+92=3V10. 综上所述，线段DP的长度为V10或3V10. 3.线段0A在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知OA=2,线段0A与x轴的夹角为60°， 现将线段OA绕点0旋转30°，则点A的对应点的坐标为 2 A 3-2-10123 -2 -3 答案：(0,2)或(3,1) 【解析】如图， 45/77 3-2-10 1B23x -2 -31 当线段0A绕点0逆时针旋转30°时，得到线段OA1; 当线段0A绕点0顺时针旋转30°时，得到线段0A2:线段0A与x轴的夹角为60°， ·点A1在y轴上，OA=2,÷OA1=2,÷点A1的坐标为(0,2)：过点A2作A2B⊥x轴于点B, 则0A2=2，∠A20B=30°，A2B=0A2=1,0B=√0A5-BA=V22-1卫=V3, ·点A2的坐标为(3,1).∴点A的对应点的坐标为(0,2)或(3,1) 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，将△ABC绕点C旋转至△AB'C,点A,B分 别与点A',B'对应，如果直线AB'⊥直线AB,那么∠B'AA的度数为 B A 答案：65°或25 【解析】解题思路：题目中的旋转没有说明旋转方向和旋转角，故需先判断旋转角，由A'B与 AB是对应线段，且直线A'B'⊥直线AB,可知旋转角为90°，旋转方向不明确，则分两种情 况讨论。 B B 图1 图2 :AB与AB是对应线段，且直线AB'⊥直线AB,·旋转角为90°， 46/77 当把△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'BC时， 如图1，点A,C,B'在同一条直线上，点A',B,C在同一条直线上， CA'=CA,∠ACA'=90°，∠CA'B'=∠CAB=20°， ·△ACA'为等腰直角三角形，÷∠CA'A=45°， ·∠BA'A=∠CA'A+∠CA'B'=45°+20°=65°： 当把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'BC时， 如图2，点A,C,B在同一条直线上，点A', B,C在同一条直线上，CA'=CA,∠ACA'=90°， LCA'B'=∠CAB=20°，·△ACA'为等腰直角三角形， ·∠CA'A=45°，·∠B'A'A=∠CA'A-∠CA'B'=45°-20°=25° 综上所述，∠B'A'A的度数为65°或25°， 5.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD,BE,CD=2,BC=1,将△CDE绕点C顺 时针旋转，当点A,C,E在同一条直线上时，线段BE的长为 答案：√3或√万 图1 图2 【解析】根据题意，可以将△ABC固定不动， 将△CDE绕点C顺时针旋转.当点A落在线段CE上时， 如图1，：△ABC与△CDE都是等边三角形， 47/77 ·BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD, ·△BCE≌△ACD(SAS),BE=AD.CD=DE=CE=2, AE=CE-AC=1,·AE=AC,÷DA⊥CE.在Rt△ACD中，由勾股定理， 得AD=VCDP-AC7=V3,·BE=AD=V3.当点A落在线段EC的延长线上时， 如图2，过点B作BH⊥EA于点H,则CH=,BH=受：EH=EC+CH=在Rt△BEH中， 由勾股定理，得BE=VBH+E严=C2+③2=V7. 综上，线段BE的长为V3或√7. 6.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转a(0°<a <90)得到△AB'C,A'C与AB交于点D,连接AA',若△AA'D是等腰三角形，则旋转角a的 度数为 答案：20°或40 QY 30 第6题图 【解析】△ABC绕点C按逆时针方向旋转a得到△A'B'C,·AC=A'C, ∠AAC=LCAA'=(180°-a), ·∠DAA'=∠CAA'-∠BAC=2(180°-Q)-30°· 根据三角形外角的性质，得∠ADA'=∠BAC+∠ACA'=30°+. 若△AA'D是等腰三角形，则可分三种情况讨论：（①当∠AA'D=∠DAA'时， (180°-)=(180°-)-30°，无解：②当∠AA'D=∠ADA时， (180°-)=30°+a,解得a=40°：③当LDAA'=∠ADA'时， 2(180°-a)-30°=30°+a，解得a=20°. 综上所述，旋转角α的度数为20°或40°. 48/77 7.如图，图1是一副直角三角尺，∠F=30°，将这副三角尺按如图2所示方式放置，点B,D, C,F在同一条直线上，点A在DE上，△ABC固定不动，在△EDF绕点D逆时针旋转180°（不 含180)的过程中，当旋转角为多少时，EF与△ABC的边垂直？ B D B D 图1 图2 解：当AC⊥EF时，如图1， G H B D 图1 设直线DF与AC交于点H,直线AC与EF交于点G. ￥∠F=30°，÷∠GHF=60°，∠DHC=60°， ￥∠HCD=45°，÷∠FDC=75°， ÷当旋转角为75°时，EF⊥AC. 当BC⊥EF时，如图2， 图2 设直线BC与EF交于点M, '∠F=30°，∠MDF=60°，÷∠FDC=120°， 49/77 :当旋转角为120°时，EF⊥BC. 当AB⊥EF时，如图3，设直线AB与EF,DF分别交于点N,P, ∠F=30°，÷∠NPF=60°，∠APD=60°. '∠BAD=45°，÷∠ADP=75°，÷∠FDC=75°+90°=165°， ÷当旋转角为165°时，EF⊥AB, 综上，当旋转角为75°，120°或165°时，EF与△ABC的边垂直. D N E 3 50/77