(6)利用旋转进行相关计算-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

专项 6 利用旋转进行相关计算 1.利用旋转求角度时，一般根据三角形的内角和定理或三角形外角的性质进行求解. 2.利用旋转求长度或面积时，一般通过旋转某个三角形到特殊位置，构造等边三角形、直角三 角形、等腰三角形进行求解. 3.利用旋转添加辅助线，实质是进行“图”移“形”动，将零散的条件转移到同一个三角形中求解. 类型 1 利用旋转的性质求角度或线段长 1.如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵 = 85∘ ，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺时针旋转得到△𝐸𝐷𝐶 ，使点𝐵的对应 点𝐷恰好落在边𝐴𝐵上，𝐴𝐶，𝐸𝐷交于点𝐹 .若∠𝐵𝐶𝐷 = 𝛼 ，则∠𝐸𝐹𝐶 的度数是( ) A.85∘ + 3 2 𝛼 B.175∘ + 3 2 𝛼 C.175∘ − 3 2 𝛼 D.95∘ + 3 2 𝛼 2.如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴顺时针旋转90∘ 得到△𝐴𝐷𝐸，点𝐵，𝐶的对应点分别为点𝐷，𝐸，连接𝐶𝐸 ，点𝐷恰好落在线段𝐶𝐸上，若𝐶𝐷 = 3，𝐵𝐶 = 1，则𝐴𝐷 的长为( ) A.√5 B.√10 C.2 D.2 √2 方法指导 19/40 类型 2 利用旋转的性质求面积 3.如图，边长为 1 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴 逆时针旋转30∘ 得到正方形𝐴𝐵′𝐶′𝐷′ ，图中阴影部分 的面积为( ) A.1 2 B.√3 3 C.1 − √3 3 D.1 − √3 4 4.如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶内有一点𝐷，𝐴𝐷 = 4 ，𝐵𝐷 = 3，𝐶𝐷 = 5，将△𝐴𝐵𝐷绕点𝐴逆时针旋 转，使𝐴𝐵 与𝐴𝐶重合，点𝐷旋转至点𝐸，则四边形𝐴𝐷𝐶𝐸 的面积为( ) A.12 B.12 + 4 √3 C.6 + 4 √3 D.6 + 8 √3 20/40 类型 3 利用旋转添加辅助线进行计算 5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 3 ，∠𝐴𝐵𝐶 = 30∘ ，𝑃为△𝐴𝐵𝐶内一点，连接𝑃𝐴，𝑃𝐵 ，𝑃𝐶， 则𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 的最小值为( ) A.3 √2 B.3 + √2 C.3 √3 D.3 + √3 6.如图，△𝐴𝐵𝐶 是等边三角形，∠𝐵𝐴𝐷 + ∠𝐵𝐶𝐷 = 180∘ ，𝐵𝐷 = 8，𝐶𝐷 = 2， 则𝐴𝐷 的长为___________. 7.如图，线段𝐴𝐵绕点𝐴逆时针旋转120∘ 得到线段𝐴𝐶，点𝐵的对应点为点𝐶 ，在∠𝐵𝐴𝐶的内部有 一点𝑃，𝑃𝐴 = 8，𝑃𝐵 = 4，𝑃𝐶 = 4√13，则线段𝐴𝐵 的长为__________. 21/40 专项6利用旋转进行相关计算 方法指寻 1利用旋转求角度时，一般根据三角形的内角和定理或三角形外角的性质进行求解 2利用旋转求长度或面积时，一般通过旋转某个三角形到特殊位置，构造等边三角形、直角三 角形、等腰三角形进行求解 3利用旋转添辅助线，实质是进行“图移形动，将零散的条件转移到同一个三角形中求解 类型1利用旋转的性质求角度或线段长 1.如图，在△ABC中，∠ACB=85°，将△ABC绕点C时针旋转得到△EDC,使点B的对应 点D恰好落在边AB上，AC,ED交于点F若LBCD=a,则LEFC的度数是() A85°+2a B175°+a C175°-a D.g5°+a E B 答案：C 【解析】 根据旋转的性质可知BC=DC,∠B=∠EDC, ·∠B=∠BDC=LEDC,'∠BCD=A, LBDC=LB=180°-)=90°-a,LACB=85”, ∠ACD=∠ACB-∠BCD=85°-， ∠EFC=∠EDC+∠DCA=90°-a+85-a=175°-a (外角的性质) 29/77 2.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D,E,连接CE ,，点D恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则AD的长为() B A A.V5 B.10 C.2 D.22 答案：A 【解析】如图，连接BD,由旋转的性质知LCAE=90°，∠BAD=90°， AB=AD,∠BCA=LE,·∠BCD=LBCA+∠ECA=∠E+∠ECA=180°-∠CAE=90° :CD=3,BC=1,BD=VCD2+BC2=V32+12=√10， VAD2+AB=VAD2+AD=V2AD=V而，AD==V5. E 30/77 类型2利用旋转的性质求面积 3如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'CD'，图中阴影部分 的面积为( A. B.3 2 C1-3 3 D1-9 C B D D 答秦：C 【解析】解题思路：设B'C与CD的交点为E,连接AE,由旋转的性质和正方形的性质可知AB' =AB=AD,∠DAB'=60°，利用HL可证明Rt△AB'E≌Rt△ADE,进而得∠DAE=∠B'AE= 30°，再利用勾股定理求出DE,最后根据阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积-四边形 ADEB的面积得解. C B E 如图， D' 设B'C与CD的交点为E,连接AE,由旋转的性质和正方形的性质可知AB'=AB=AD,∠DAB' =60°，∠ADE=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△ADE中， 31/77 低-6.÷R△AB'ERAADE(M), ÷∠DAE=∠B'AE=∠DAB=30°，÷AE=2ED, 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2+DE2=AE2, 1+DE2=4DE2,DE=号，·阴影部分的面积为1×1-2××1×号=1-号. 3 4.如图，在等边三角形ABC内有一点D,AD=4,，BD=3,CD=5,将△ABD绕点A逆时针旋 转，使AB与AC重合，点D旋转至点E,则四边形ADCE的面积为( ) A.12 B.12+4V3 C6+4V3 D.6+8V3 E D B C 答案：C E 【解析】 如图6 连接DE，由旋转的性质，可得 AE=AD=4,CE=BD=3,∠DAE=∠BAC,:△ABC是等边三角形， LDAE=∠BAC=60°，·△ADE是等边三角形， 32/77 DE=4过点A作AF1DE于点F,则DF=DE=2.在Rt△ADF中， 由勾股定理得AF=VAD2-DFz=2√3 在△CED中，：CE2+DE2=32+42=25,CD2=52=25, :CE2+DE2=CD2,△CED是直角三角形，且∠CED=90°， 四边形ADCE的面积为SAADE+SADEC=;×4×2V3+×4×3=6+4V5. 类型3利用旋转添加辅助线进行计算 5.如图，在△ABC中，AB=BC=3,∠ABC=30°，P为△ABC内一点，连接PA,PB,PC, 则PA+PB+PC的最小值为( ) A.3V2 B.3+√2 C.33 D.3+V3 B 答案：A E A 【解析】 如图B 将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF, 33/77 连接PF,EC.由旋转的性质，可知BF=BP, ∠FBP=60,·△PBF是等边三角形， PB PF.PA=EF .PA+PB+PC=EF PF PC.EF PF PC>EC, ·当点P,F在线段EC上时，PA+PB+PC的值最小 由旋转的性质，可知BE=AB=3,∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°， .BE=BC,EB⊥BC由 勾股定理可得EC=V2BC=3√2，÷PA+PB+PC的最小值为3√2， 6.如图，△ABC是等边三角形，∠BAD+∠BCD=180°，BD=8,CD=2, 则AD的长为 B 答案：6 【解析】解题思路：由题中条件∠BAD+∠BCD=180°， △ABC是等边三角形，可想到将△BCD绕点B逆时针旋转60°， 使∠BCD旋转后的角与LBAD组成一个平角，进而可得出以BD为边的等边三角形， 即可求出AD的长 34/77 H 如图， B :△ABC是等边三角形，·将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAH, ·LBAH=LBCD.'LBAD+∠BCD=180°， ∠BAH+∠BAD=180°，·点H,A,D在一条直线上 由旋转的性质，可知AH=CD,BD=BH, ∠DBH=60°，△HBD是等边三角形， .DH=BD=8,AD=DH-AH=6. 7如图，线段AB绕点A逆时针旋转120°得到线段AC,点B的对应点为点C,在∠BAC的内部有 一点P,PA=8,PB=4,PC=4V13,则线段AB的长为 B P 答案：4V7 35/77 【解析】如图， B 将△ABP绕点A逆时针旋转120°得 到△ACD,连接PD交AC于点M,过点A作AH⊥PD 于点H,则△ABP≌△ACD,∠PAD=120°， .DA=PA=8,DC=PB=4, ÷LAPH=∠ADH=30°，AH=PA=4, DH=PH=VPA2-AH2=4v3,·PD=8V3在△PDC中， PD2+DC2=(8V3)2+42=208,PC2=(4v13)2=208, ·PD2+DC2=PC2,△PDC为直角三角形，且∠PDC=90°， ∠AHD=∠PDC.在△HMA和△DMC中， (∠AHM=∠CDM, ∠AMH=∠CMD,·△HMA≌△DMC, AH=CD, ·AM=CM=AC,HM=DM=HD=2V3在Rt△DMC中， CM=VDM2+DCz=2√7，·AB=AC=2CM=4V7 36/77