(2)根的判别式的热门考向-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

专项 2 根的判别式的热门考向 类型 1 判断一元二次方程根的情况 1.以下一元二次方程有两个相等实数根的是( ) A.�2 − 6� = 0 B.�2 − 9 = 0 C.�2 − 6� + 6 = 0 D.�2 − 6� + 9 = 0 【解析】 Δ = ( − 6)2 − 4 × 1 × 0 = 36 > 0 ，该方程有两个不相等的实数根，故 A选项不符 合题意；Δ = 02 − 4 × 1 × ( − 9) = 36 > 0 ，该方程有两个不 相等的实数根，故 B选项不符合题意；Δ = ( − 6)2 − 4 × 1 × 6 = 12 > 0 ，该方程有两个不相 等的实数根，故 C选项不符合题意；Δ = ( − 6)2 − 4 × 1 × 9 = 0 ，该方程有两个相等的实数 根，故 D选项符合题意. 2. 已知�，�，�为常数，点�(�, �)在第四象限，则关于� 的方程��2 + �� + � = 0 的根的情况 是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 【解析】 ∵ 点�(�, �)在第四象限,∴ � > 0,� < 0,∴ �� < 0,∴ 方程��2 + �� + � = 0的判别式 Δ = �2 − 4�� > 0,∴ 方程��2 + �� + � = 0 有两个不相等的实数根． 类型 2 求字母的取值范围（或值） 3.关于�的一元二次方程 9�2 − 6� + � = 0 有两个相等的实数根，则� = ( ) A.−9 B.4 C.−1 D.1 【解析】 ∵ 关于�的一元二次方程 9 2 − 6� + � = 0 有两个相等的实数根，∴ Δ = ( − 6)2 − 4 × 9 × � = 36 − 36� = 0，解得� = 1 . 4.关于� 的一元二次方程(� − 2)�2 + 4� + 2 = 0有两个实数根，则� 的取值范围是( ) A.� ≤ 4 B.� ≥ 4 C.� ≥− 4且� ≠ 2 D.� ≤ 4且� ≠ 2 【解析】 ∵ 关于�的一元二次方程(� − 2)�2 + 4� + 2 = 0 有两个实数根，∴ � − 2 ≠ 0且 Δ ≥ 0，即42 − 4 × (� − 2) × 2 ≥ 0，解得� ≤ 4，∴ � 的取值范围是� ≤ 4且� ≠ 2 . 7/77 类型 3 与根与系数关系的综合应用 5.已知关于� 的一元二次方程 �2 + 2�� +�2 −�+ 2 = 0有两个不相等的实数根�1，�2 ，且�1 + �2 + �1 ⋅ �2 = 2，则实数 � = ___. 【解析】解题思路：先根据根与系数的关系,得�1 + �2 =− 2� ,�1 ⋅ �2 = �2 −� + 2,结合�1 + �2 + �1 ⋅ �2 = 2,得到� = 0 或 3,此时需要结合Δ > 0,确定� 的取值.特别提醒：做题时要特别 注意运用根与系数的关系时,要保证方程有根. ∵ �1,�2是关于�的一元二次方程�2 + 2�� +�2 −� + 2 = 0 的两个实数根,∴ �1 + �2 =− 2�, �1 ⋅ �2 = �2 −�+ 2. ∵ �1 + �2 + �1 ⋅ �2 = 2 , ∴− 2� +�2 −�+ 2 = 2,解得�1 = 0,�2 = 3. ∵ 原方程有两个不相等的实数根,∴ Δ = (2�)2 − 4 × 1 × (�2 −� + 2) > 0,∴ � > 2，∴ 实数� 的值为 3． 6.关于�的一元二次方程�2 + 2� + 3 − � = 0 有两个不相等的实数根. （1）求� 的取值范围； 解：∵ 方程有两个不相等的实数根,∴ � = �� − ��� = �� − � × � × (� − �) =− � + �� > � , 解得� > � . （2）若方程的两个根为� ，� ，且�2 = �� + 3�，求� 的值. ∵ 方程的两个根为� ,� ,∴ �� = � � = � − � , ∴ �� = � − � + ��,解得�� = �,�� =− � （舍去）. 综上，� 的值为 3. 类型 4 与几何图形的综合应用 7.已知平行四边形����的两边��，��的长是关于� 的方程�2 − (� + 3)� + 2� + 2 = 0 的两 个实数根. （1）当�为何值时，四边形���� 是菱形？求出这时菱形的边长. 解：因为四边形����是菱形,所以�� = �� . 因为��,��的长是方程�� − (�+ �)� + ��+ � = � 的两个实数根,所以 � = [ − (� + �)]� − �(��+ �) = (� − �)� = � , 所以� = � , 8/77 所以原方程为�� − �� + � = �,解得�� = �� = � . 故当� = �时,四边形���� 是菱形,这时菱形的边长为 2. （2）若��的长为 3，则平行四边形���� 的周长是多少？ 将� = �代入方程�� − (�+ �)� + ��+ � = � , 得� − �(� + �) + ��+ � = �,解得� = � , 所以原方程为�� − �� + � = � , 解得�� = �,�� = �,所以�� = � , 故平行四边形����的周长为� × (� + �) = �� ． 8.一题多解已知关于�的方程�2 − (3� + 1)� + 2�2 + 2� = 0 . （1）求证：无论� 取何值，方程总有实数根； 证明：� = [ − (�� + �)]� − � × � × (��� + ��) = �� − �� + � = (� − �)� , ∵ 无论�取何值,(� − �)� ≥ �,∴ � ≥ � , ∴ 无论� 取何值,方程总有实数根. （2）若等腰三角形���的一边长� = 6，另两边长�，� 恰好是这个方程的 两个根，求此三角形的周长. 解：解法一 ∵ � = (� − �)� , ∴ � = ��+�±|�−�| � ,∴ �� = ��,�� = � + � . ∵ �,� 恰好是这个方程的两个实数根, ∴ 不妨设� = ��,� = � + � , 当�,�为腰长时,� = � = �,∴ �� = �,∴ � = �,∴ � = � , ∴ 三角形的周长为� + � + � = �� ； 当�,�为腰长时,� + � = ��,解得� = � , ∴ � = � = �. ∵ � + � < �,∴ 这种情况不成立； 当�,�为腰长时,� + � = �,∴ � = �,∴ � = �� , ∴ 三角形的周长为� + � + �� = �� . 综上,此三角形的周长为 16 或 22. 解法二 当�为底边长时,�,� 为腰长, 则方程有两个相等的实数根.∴ � = (� − �)� = �,∴ � = � , ∴ 原方程为�� − �� + � = �,解得�� = �� = � , 9/77 ∴ � = � = �,∵ � + � < �,∴ 这种情况不成立. 当�为腰长时,� = �或� = � , 即方程的一个实数根是� = � , 把� = �代入,得�� − �(�� + �) + ��� + �� = � , 解得� = �或� = � , 当� = �时,原方程为�� − ��� + �� = � , 解得�� = �,�� = �,∴ 三角形的三边长为 6,6,4, ∴ 三角形的周长为� + � + � = �� . 当� = �时,原方程为�� − ��� + �� = � , 解得�� = �,�� = �� , ∴ 三角形的三边长为 6,6,10, ∴ 三角形的周长为� + � + �� = �� . 综上,此三角形的周长为 16 或 22. 10/77 专项 2 根的判别式的热门考向 类型 1 判断一元二次方程根的情况 1.以下一元二次方程有两个相等实数根的是( ) A.𝑥2 − 6𝑥 = 0 B.𝑥2 − 9 = 0 C.𝑥2 − 6𝑥 + 6 = 0 D.𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0 2. 已知𝑎，𝑏，𝑐为常数，点𝑃(𝑎, 𝑐)在第四象限，则关于𝑥 的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 的根的情况 是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 类型 2 求字母的取值范围（或值） 3.关于𝑥的一元二次方程9𝑥2 − 6𝑥 + 𝑐 = 0 有两个相等的实数根，则𝑐 = ( ) A.−9 B.4 C.−1 D.1 4.关于𝑥 的一元二次方程(𝑚 − 2)𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0有两个实数根，则𝑚 的取值范围是( ) A.𝑚 ≤ 4 B.𝑚 ≥ 4 C.𝑚 ≥ −4且𝑚 ≠ 2 D.𝑚 ≤ 4且𝑚 ≠ 2 类型 3 与根与系数关系的综合应用 5.已知关于𝑥 的一元二次方程 𝑥2 + 2𝑚𝑥 +𝑚2 −𝑚 + 2 = 0有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2 ，且𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 2，则实数 𝑚 = ___. 6.关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 2𝑥 + 3 − 𝑘 = 0 有两个不相等的实数根. （1）求𝑘 的取值范围； （2）若方程的两个根为𝛼 ，𝛽 ，且𝑘2 = 𝛼𝛽 + 3𝑘，求𝑘 的值. 6/40 类型 4 与几何图形的综合应用 7.已知平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的两边𝐴𝐵，𝐵𝐶的长是关于𝑥 的方程𝑥2 − (𝑚 + 3)𝑥 + 2𝑚 + 2 = 0 的两 个实数根. （1）当𝑚为何值时，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形？求出这时菱形的边长. （2）若𝐴𝐵的长为 3，则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 的周长是多少？ 8.一题多解已知关于𝑥的方程𝑥2 − (3𝑘 + 1)𝑥 + 2𝑘2 + 2𝑘 = 0 . （1）求证：无论𝑘 取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形𝐴𝐵𝐶的一边长𝑎 = 6，另两边长𝑏，𝑐 恰好是这个方程的 两个根，求此三角形的周长. 7/40