专题2.2 不等式的求解（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题2.2不等式的求解 教学目标 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养. 3.理解“化归”思想，理解高次不等式的解法. 教学重难点 教学重点：掌握一元二次不等式的解法. 教学难点：会解一元二次不等式中的恒成立问题 知识点01 一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式（优先考虑） 一般地，如果， 则不等式的解集是，不等式的解集是； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式通过配方总是可以变为或的形式，然后根据的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 【即学即练】不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 知识点02二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【即学即练】已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 知识点03分式不等式的解集 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【即学即练】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 知识点04简单的绝对值不等式 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段的长为，线段的中点对应的数． 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 【即学即练】解不等式： (1)； (2). 题型01 一元一次不等式（组）的求解（不含参） 【典例1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式组，的解集为 ． 【变式2】解不等式组，并用区间表示解集． 【变式3】解不等式，并用区间表示解集． 【变式4】解不等式组. 题型02一元一次不等式（组）的求解（含参） 【典例1】解关于的不等式，其中． 【变式1】设，解关于x的不等式：． 【变式2】设a、b为实数，解关于x不等式：． 【变式3】若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【变式4】设，解关于x的一元一次不等式组. 题型03 已知一元一次不等式（组）的解求参数 【典例1】已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 【变式1】若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】如果不等式的解集为，那么a的取值范围是 ． 【变式3】若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 【变式4】关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集是 . 题型04 解一元二次不等式（不含参） 【典例1】解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4】一元二次不等式的解集为 . 题型05 解一元二次不等式（含参） 【典例1】已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 【变式1】已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【变式2】已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【变式3】已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 【变式4】已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 题型06 由一元二次不等式的解确定参数 【典例1】若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【变式4】已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 题型07 一元二次方程根的分布问题 【典例1】已知函数. (1)有两根，且，求实数a的取值范围； (2)有两根，且，求实数a的取值范围. 【变式1】已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【变式2】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是 ． 【变式3】已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值 ． 【变式4】关于的方程 (1)若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围； (2)若方程至少有一个非负实根，求的取值范围. 题型08 分式不等式的解（不含参） 【典例1】不等式的解集为 ． 【变式1】使“”成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D．或 【变式2】不等式的解集是 ． 【变式3】解下列不等式： (1)； (2)． 分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 题型09 分式不等式的解（含参） 【典例1】解关于的不等式. 【变式1】当时，关于的不等式的解集是 ． 【变式2】解关于的不等式. 【变式3】解关于的不等式：. 【变式4】解关于的不等式：． 题型10 含一个绝对值不等式的解 【典例1】解不等式 【变式1】解不等式： 【变式2】解不等式： (1)； (2)． 【变式3】解不等式： (1)； (2). 【变式4】解不等式． (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 题型11 含两个绝对值不等式的解 【典例1】解不等式：． 【变式1】不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式2】不等式的解为 . 【变式3】使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 【变式4】不等式的解集为 . 题型12 含参绝对值不等式 【典例1】已知函数. (1)作出函数的图像； (2)若不等式的解集不是空集，求a的取值范围 【变式1】求使不等式有解的的取值范围 . 【变式2】设函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式3】已知. （I）求不等式的解集； （II）若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【变式4】已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围. 1．若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 2．关于的不等式的解集为，其中，则的值为 . 3．不等式的解集是 . 4．不等式的解集是 ． 5．已知关于的不等式的解集为，则 . 6．不等式的解集为 ． 7．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 8． 的解集为 ，则 的解集为 ． 9．不等式的解集为 . 10．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 11．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 12．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 13．解关于的不等式：． 14．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2不等式的求解 教学目标 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养. 3.理解“化归”思想，理解高次不等式的解法. 教学重难点 教学重点：掌握一元二次不等式的解法. 教学难点：会解一元二次不等式中的恒成立问题 知识点01 一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式（优先考虑） 一般地，如果， 则不等式的解集是，不等式的解集是； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式通过配方总是可以变为或的形式，然后根据的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 【即学即练】不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题有转化为求方程的根即可求解. 【详解】由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 知识点02二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【即学即练】已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 知识点03分式不等式的解集 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【即学即练】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将不等式进行移项通分，再转化整式不等式求解； 【详解】移项， 即 等价于解得 所以不等式的解集是 故选：C. 知识点04简单的绝对值不等式 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段的长为，线段的中点对应的数． 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 【即学即练】解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：分和两种情况去绝对值符号求解即可；法二，利用绝对值的几何意义即可求解； （2）法一：分和两种情况，结合绝对值的几何意义求解即可.法二：分和两种情况求解即可. 【详解】（1）解法一：当，即时，原不等式可化为，解得； 当，即时，原不等式可化为，解得； 综上所述，原不等式的解为. 解法二：原不等式可化为，解得. （2）解法一：当，即时，原不等式显然无解； 当，即时，原不等式等价于，解得. 故原不等式的解为 解法二： 或 解得或 故原不等式的解为. 题型01 一元一次不等式（组）的求解（不含参） 【典例1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质求解易得. 【详解】由可得，故得. 故选：C. 【变式1】不等式组，的解集为 ． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，再求两解集的交集即可. 【详解】由，得， 由，得， 所以不等式组的解集为. 故答案为： 【变式2】解不等式组，并用区间表示解集． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，再求两解集的交集即可. 【详解】解：由①得，解得，解集为． 由②，解得，解集为 所以不等式组的解集为． 【变式3】解不等式，并用区间表示解集． 【答案】 【分析】由一元一次不等式的求解可得，即可求解. 【详解】解：去分母，得；去括号，得； 移项，得；化简，得； 两边同除以的系数，得． 用区间表示不等式的解集为． 【变式4】解不等式组. 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可求解. 【详解】由（1）可得，解得：； 由（2）可得，也即，解得：， 所以原不等式组的解集为. 题型02一元一次不等式（组）的求解（含参） 【典例1】解关于的不等式，其中． 【答案】答案见解析 【分析】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集. 【详解】原不等式整理为． 当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为， 当时，则，为任意实数，解集为． 【变式1】设，解关于x的不等式：． 【答案】当时，R；当时，；当时，． 【分析】首先把不等式整理为，然后分，，三种情况求解即可. 【详解】由，得， 当时，原不等式为，所以不等式的解集为R； 当时，由，得，所以不等式的解集为； 当时，由，得，所以不等式的解集为. 综上知：当时，解集为R；当时，解集为； 当时，解集为． 【变式2】设a、b为实数，解关于x不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】将不等式化为，讨论、的取值，利用一元一次不等式的解法即可求解. 【详解】． ①当时，解为； ②当时，解为； ③当，时，解为； ④当，时，无解． 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当，时，不等式解集为； 当，时，解集为. 【变式3】若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 【变式4】设，解关于x的一元一次不等式组. 【答案】答案见解析 【分析】先化简不等式组，再分类讨论与两种情况，即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，所以； 当时，，则无法成立，故； 综上：当时，该不等式组的解集为；当时，该不等式组的解集为. 题型03 已知一元一次不等式（组）的解求参数 【典例1】已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 【答案】 【分析】解不等式组，再与解集对照，得到方程组，求出答案. 【详解】记原不等式组为 解不等式①，得； 解不等式②，得． 因为原不等式组的解集为，所以 解得 【变式1】若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据解集确定集合包含关系，即可得参数范围. 【详解】因为不等式组的解集是， 所以， 故. 故选：B 【变式2】如果不等式的解集为，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式解法分类讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，不等式无解； 当时，，故． 故答案为：. 【变式3】若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答. 【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且， 因此，且，不等式化为：，而，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 【变式4】关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由已知可得m,n的正负以及，由此化简，可求得答案. 【详解】因为不等式，其解集为，故，，且， 令，（a为正数），代入不等式， 得，移项合并得， ∵a为正数，∴ ，则， 故等式的解集是， 故答案为： 题型04 解一元二次不等式（不含参） 【典例1】解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接因式分解即可求解； （2）利用配凑法即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得：或， 故不等式的解集为：； （2），即，即，解得. 则其解集为. 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【详解】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以， 原不等式的解集为． 故选：D． 【变式3】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】将不等式化为不等式，结合三个二次的关系即可求得答案. 【详解】不等式即不等式， 故，即不等式的解集为， 故选：B 【变式4】一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【分析】直接解不含参的一元二次不等式即可得解. 【详解】. 故答案为：. ①因式分解法②求根公式法 题型05 解一元二次不等式（含参） 【典例1】已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可. （2）由一元二次不等式恒成立求出的范围. （3）分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，时，则，解得， 所以的取值范围是. （2）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时，的解集为，即的解集为， 则有，即，解得. 所以的取值范围是. （3）不等式， 即，即， 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，得或， ①当，又，得时，即时，有， 则解不等式，得或； ②当，即时有， 解不等式，得， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式1】已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式2】已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)（i）（ii）答案见解析 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为，所以不等式为即 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：时，解集为， 情形二：时，解集为， 情形二：时，解集为. 【变式3】已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知，和1是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可； （2）分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解． 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两个根， 所以， 解得； （2）不等式可化为：， 整理得， 即， 当时，， 则不等式的解集为， 当时，， 则不等式的解集为空集， 当时，， 则不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为 【变式4】已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 因式分解法 题型06 由一元二次不等式的解确定参数 【典例1】若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】 依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 【变式1】已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 【变式2】已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的解集，得到，，，进而可求解； 【详解】∵不等式的解集为或， 可得,是方程的两根， 由韦达定理可得： ，，且， 所以的解集，即， 所以解集为， 故选：A. 【变式3】已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案． 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 【变式4】已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【分析】由的解集，确定的数量关系代入所求不等式，消元求解即得. 【详解】因的解集为， 则，且方程的两根为1和5， 则有，即， 则等价于， 化简得， 解得或 故不等式的解集为. 根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则； 题型07 一元二次方程根的分布问题 【典例1】已知函数. (1)有两根，且，求实数a的取值范围； (2)有两根，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数两根异号可得且，解不等式即可求得实数a的取值范围； （2）由两根的分布范围可知，，，且对称轴在内，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）根据题意可知，函数开口向上, 若，所以只要， 解得； 因此可得，实数a的取值范围是； （2）依题意需满足， 解得； 即实数a的取值范围是. 【变式1】已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【分析】A，根据一元二次方程两实根可得，列出不等式，求解即可得出充要条件，再根据包含关系得到A正确；B，由已知可知判别式条件及两根之积为负列出不等式组，求解即可；C项，由已知可知判别式条件及两根之和以及两根之积为正列出不等式组；D项，由已知可知判别式条件列出不等式，求解即可． 【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 【变式2】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式组可求得结果. 【详解】由题意可知， 由，可得， 设， 则，解得：， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次方程根的分布知识进行求解即可得到的取值范围，写出符合题意的一个即可． 【详解】令 易知有，或， 即：，或， 解得，或， 的取值范围为， 故答案为：（答案不唯一）. 【变式4】关于的方程 (1)若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围； (2)若方程至少有一个非负实根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图象性质及一元二次方程根的分布求解即可； （2）分方程有两非负实根，有一负实根和一零根，有一正一负实根，三种情况结合二次函数的图象性质及一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）若方程一个根在内，另一个根在内， 令， 则，解得， 即的取值范围是. （2）①若方程有两非负实根，则，解得； ②若方程有一负实根，一零根，则，，无解； ③若方程有一正一负实根，则，解得. 综上所述，的取值范围为. 题型08 分式不等式的解（不含参） 【典例1】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式化成和它等价的整式形式，求解即可. 【详解】即 原不等式可化为， 解得. 故答案为： 【变式1】使“”成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先解不等式，根据不等式的解集以及必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】不等式可化为，解得， 根据题意成立，反之不成立， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 【变式2】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的求解方法，等价转化为整式不等式，注意分母不为零，可得答案. 【详解】由不等式，则可得，解得. 故答案为：. 【变式3】解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求解即可； （2）移项通分得到即可求解. 【详解】（1）原不等式可化为， 即． 故原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，， ，则， 故原不等式的解集为． 分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 题型09 分式不等式的解（含参） 【典例1】解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式等价于，然后分和的大小关系，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可. 【详解】等价于 当时，或，； 当时，或，； 当时，，. 综上所述：或，无解； 当或时，解集为； 当时，解集为. 【变式1】当时，关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】比较、的大小关系，利用分式不等式的解法解原不等式，即可得解. 【详解】由可得， 因为，则，所以，， 即当时，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2】解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，化简不等式为，分类讨论，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， （1）若，即时，等价于，解得，不等式的解集为； （2）若，即时，等价于， 当时，即时，解得或，不等式的解集为； 当时，即时，恒成立，不等式的解集为； 当时，即时，解得或，不等式的解集为. （3）若，即时，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式3】解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】先将原不等式化为右边为零的形式，再转化成整式不等式，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集. 【详解】由，得到，等价于且， 当时，解得或，当时，解得， 当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 综上所述，当时，原不等式解集为或， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为. 【变式4】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，变形不等式，分类讨论求解一元二次不等式即得. 【详解】不等式变形为，化为， ①当时，，解得； ②当时，，解得或； ③当时，，解得， 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 题型10 含一个绝对值不等式的解 【典例1】解不等式 【答案】或 【分析】根据题意可将不等式为，再分别讨论求解和，从而可求解. 【详解】由题意得不等式可等价为， 由可得或，解得：或； 由可得，解得：； 综上所述：不等式的解集为：或. 【变式1】解不等式： 【答案】 【分析】分和时，将不等式去绝对值后求解不等式从而可得解. 【详解】由题意可得当时，原不等式可化为，解得：，所以可得时不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得：； 综上所述：所以原不等式的解为：. 【变式2】解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用绝对值知识可将不等式化为或，从而可求解； （2）利用绝对值知识可将原不等式化为，从而可求解. 【详解】（1）由题意可将原不等式化为或，解得：或， 所以原不等式的解为：或. （2）由题意可将原不等式化为化为，解得：， 所以原不等式的解为：. 【变式3】解不等式： (1)； (2). 【答案】(1)，或. (2). 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可； （2）法一：分和两种情况求解即可.（2）利用绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于， 由可得或，解的或； 由可得，解的. 综上所述，原不等式的解为，或. （2）解法一：当，即时，不等式可化为， 解得，∴不存在满足条件的. 当，即时，不等式可化为，解的，∴， 综上所述，原不等式的解为， 解法二：原不等式可化为或， 即或，即 ∴原不等式的解为. 【变式4】解不等式． 【答案】 【分析】将原不等式去绝对值后可得，从而可求解. 【详解】由化简可得，解得：， 所以原不等式的解为：. (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 题型11 含两个绝对值不等式的解 【典例1】解不等式：． 【答案】或 【分析】分段去绝对值符号，转化为一元一次不等式组求解即得. 【详解】不等式等价于或或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【变式1】不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】应用分类讨论解绝对值不等式，结合充分、必要性的定义判断即可. 【详解】当时，，则，可得； 当时，，则，可得； 当时，，则，可得； 综上，不等式的解为或， 所以A为必要不充分条件，B、D为充分不必要条件，C为充要条件. 故选：A. 【变式2】不等式的解为 . 【答案】或 【分析】分，和三种情况去绝对值符号，即可求解. 【详解】当时，原不等式可变形为，即，解得； 当时，原不等式可变形为，即，不等式无解； 当时，原不等式可变形为，即，解得； 综上所述：原不等式的解为或. 【变式3】使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 【答案】 【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等式，求出对应解集即可. 【详解】当时，原不等式化简为,不合题意； 当时，原不等式化简为，符合题意； 当时，原不等式化简为，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【变式4】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分类讨论去掉绝对值符号即可得解. 【详解】当时，原不等式可化为，解得，又，； 当时，原不等式可化为，不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得，又，； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 题型12 含参绝对值不等式 【典例1】已知函数. (1)作出函数的图像； (2)若不等式的解集不是空集，求a的取值范围 【答案】(1)图像详见解析 (2) 【分析】（1）将函数转化为分段函数的形式，进而画出函数的图像. （2）根据图像求得的取值范围. 【详解】（1）依题意， （2）由（1）函数的图像可知， ， 要使不等式的解集不是空集， 则， 所以的取值范围是. 【变式1】求使不等式有解的的取值范围 . 【答案】 【分析】将函数转化为分段函数的形式，进而画出函数的图像，根据图像求得的取值范围. 【详解】依题意，    由函数的图像可知， ， 要使不等式的解集不是空集， 则， 故答案为：. 【变式2】设函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据绝对值的定义去掉绝对值符号得分段函数，作出函数图象后可得求得方程的解，再由图象得不等式的解集． （2）由图象得函数的最小值，解相应不等式可得结论． 【详解】解：（1） 如图所示， 当时，，；，， 由图可知不等式的解集为 （2）由图可知当时，， ∴，∴，∴， ∴ 【变式3】已知. （I）求不等式的解集； （II）若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（I）；（II）或. 【详解】试题分析： （I）根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可．（II）画出函数的图象，由图象求得函数的最小值为4，解不等式可得所求范围． 试题解析： （I）不等式即为，等价于 ①或 ② 或③ 由①得； 由②得； 由③得此不等式组无解． 综上． ∴不等式的解集为． （II）由题意得， 画出函数的图象如图所示：                               其中， 由图象可得函数的最小值为4． 由题意知， 即 ，        解得或． ∴实数的取值范围为． 【变式4】已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由绝对值的意义，按绝对值号内的的正负，分三种情况讨论即可求解， （2）根据与的图象，即可确定满足的关系. 【详解】（1）（1）原不等式变为. 当时，原不等式化为，解得，∴ 当时，原不等式化为，∴. 当时，原不等式化为，解得，∴. 综上，原不等式解集为. （2）解法一：作出与的图象. 若使解集为空集， 只须的图象在的图象的上方，或与重合， ∴，所以的范围为. 解法二： ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，原问题等价于，∴. 解法三：∵， 当且仅当时，上式取等号，∴. 1．若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解二次不等式与一次不等式，结合题意得到的取值范围，从而得解. 【详解】解不等式可得， 由可得， 若关于的不等式组没有实数解， 则. 故答案为：. 2．关于的不等式的解集为，其中，则的值为 . 【答案】 【分析】由题可得的两根为，然后由韦达定理可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则的两根为，由韦达定理，， 则或，因，则，从而. 故答案为： 3．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】移项得，然后转化为且，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为. 故答案为： 4．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】变形，等价于，求出解集. 【详解】， 等价于，解得， 解集为. 故答案为； 5．已知关于的不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】结合一元二次不等式的解法以及韦达定理即可求出. 【详解】由题意可知，是一元二次方程的两根，且， 则由韦达定理可得，，得. 故答案为： 6．不等式的解集为 ． 【答案】或. 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 7．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 8． 的解集为 ，则 的解集为 ． 【答案】 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 【点睛】 9．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先化不等式为，根据分式的符号得到不等式等价于，解不等式组即可求解. 【详解】由得，即， 整理得：，即， 即，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 10．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 11．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 12．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式的性质，将分式不等式转化为整式不等式组来求解. 【详解】，则不等式解集为. 故选：B 13．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 14．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$