专题05 向量运算4大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题05 向量运算 目录 典例详解 类型一、向量的作图问题 类型二、用两个（不平行）的向量的线性组合表示向量 类型三、重心性质在平面向量的应用 类型四、平行线分线段成比例在平面向量中的应用 压轴专练 类型一、向量的作图问题 【例1】在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称． (1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置，并在图中求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)如图2所示，若，，则 = ． 【例2】如图，点在平行四边形的对角线上，且． (1)填空：______，______，______． (2)求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法） 【变式1-1】如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．） 【变式1-2】如图，在矩形中，对角线、交于点E，点F在的延长线上，且，连接AF． (1)写出图中所有与相等的向量：________； (2)填空：________，________； (3)在图中直接作出（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）． 【变式1-3】如图，点在对角线上，且． (1)在图中求作：（不要求写出作法，要写出结论）； (2)如果把图中线段都化成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是 ． 类型二、用两个（不平行）的向量的线性组合表示向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 【例3】如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是 ． 【例4】如图，已知：平行四边形的对角线相交于点，过点、分别作，，、相交于点，连接交于点，设，． (1)用，表示______； (2)连接，用，表示______． 【变式2-1】如图，在中，点、分别在边、上，且，，连接，如果，，那么 ．（用含向量、的式子表示） 【变式2-2】如图，在平行四边形中，对角线和相交于点O，E为中点，连接、．已知，设，． (1)用和表示、，并求； (2)在图中作出． 【变式2-3】如图，在梯形中，，对角线、相交于点，，．    (1)求的长； (2)如果，试用表示向量． 类型三、重心性质在平面向量的应用 若为的重心，则可利用重心分中线为 2:1，即（M为中点），转化向量关系 【例5】在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【变式3-1】如图，在中，点G为的重心，连接并延长交于点D，过点G作交于点E，如果，那么用向量表示向量 ．    【变式3-2】如图，点是的重心，过点作，分别交于点，如果，，那么 ． 【变式3-3】如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 类型四、平行线分线段成比例在平面向量中的应用 【例7】中，G为重心．过点G作，分别交边与于点D，E．设，，则用与来表示为 ． 【例8】如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【变式4-1】如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． (1)用向量分别表示向量； (2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 【变式4-2】如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．    (1)向量______，向量______．（用、表示） (2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【变式4-3】如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 1．如图，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 2．在菱形中，，，那么 ． 3．如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ． 4．如图，的两条中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 5．如图，在梯形中，，，，已知，，那么用向量、表示 ． 6．如图已知直角梯形中，，，，设． (1)试用，表示 ______； (2)请在原图中作出：表示的和向量． 7．如图，在中，点在边的延长线上，，设，． (1)写出图中所有与互为相反向量的向量：___________； (2)试用向量，表示：___________；___________； (3)在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）． 8．如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 9．如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 10．如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 11．如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 12．如图，平行四边形中，点E为边上的一点，，与相交于点F，设，． (1)用向量、分别表示下列向量； ______；______；______； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 向量运算 目录 典例详解 类型一、向量的作图问题 类型二、用两个（不平行）的向量的线性组合表示向量 类型三、重心性质在平面向量的应用 类型四、平行线分线段成比例在平面向量中的应用 压轴专练 类型一、向量的作图问题 【例1】在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称． (1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置，并在图中求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)如图2所示，若，，则 = ． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）如图，点M和点N即为所求作的点，向量即为所求作的向量． （2）如图，连接， ∵点A和点N关于直线对称， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了尺柜作图，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，向量的运算等知识，熟练掌握向量的知识是解答本题的关键． 【例2】如图，点在平行四边形的对角线上，且． (1)填空：______，______，______． (2)求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法） 【答案】(1)，或，或； (2)作图见解析． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由法则可得， ， 故答案为：，或，或； （2）解：如图，作平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴即为所求． 【变式1-1】如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．） 【答案】见解析 【详解】解：∵， ∴， ∴， 作图如下： 其中，，则，为所求向量． 【变式1-2】如图，在矩形中，对角线、交于点E，点F在的延长线上，且，连接AF． (1)写出图中所有与相等的向量：________； (2)填空：________，________； (3)在图中直接作出（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）． 【答案】(1)、 (2)； (3)见解析 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上分析可知：与相等的向量有和； （2）解： ； ∵， ∴； （3）解：即为所求． ∵，， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，点在对角线上，且． (1)在图中求作：（不要求写出作法，要写出结论）； (2)如果把图中线段都化成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）解：如图，延长至点，使，作， 此时， 则即为所求． （2）四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ∴， ． ， ， 即， ， 与相等的向量是，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、平面向量、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 类型二、用两个（不平行）的向量的线性组合表示向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 【例3】如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是 ． 【答案】 【详解】解：点是边的中点， ， ， ， ， ，四边形为平行四边形， ， 点是边的中点， 故答案为：． 【例4】如图，已知：平行四边形的对角线相交于点，过点、分别作，，、相交于点，连接交于点，设，． (1)用，表示______； (2)连接，用，表示______． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线相交于点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）∵平行四边形的对角线相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据题意，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】如图，在中，点、分别在边、上，且，，连接，如果，，那么 ．（用含向量、的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，对角线和相交于点O，E为中点，连接、．已知，设，． (1)用和表示、，并求； (2)在图中作出． 【答案】(1)，， (2)作图见解析 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴，，，，，， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 作图如下： 则， ∴即为所求. 【变式2-3】如图，在梯形中，，对角线、相交于点，，．    (1)求的长； (2)如果，试用表示向量． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ． （2），， ， ， 由（）知，， ． 类型三、重心性质在平面向量的应用 若为的重心，则可利用重心分中线为 2:1，即（M为中点），转化向量关系 【例5】在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设交于点， ∵菱形， ∴，， ∵、分别为、的重心， ∴点、在上，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【例6】已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）∵是的重心， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， （2）∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式3-1】如图，在中，点G为的重心，连接并延长交于点D，过点G作交于点E，如果，那么用向量表示向量 ．    【答案】 【详解】解：∵点G为的重心， ∴D是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【变式3-2】如图，点是的重心，过点作，分别交于点，如果，，那么 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接延长交于T． ∵G是的重心， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【详解】（1）解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2）是的重心， ． ，， ， 类型四、平行线分线段成比例在平面向量中的应用 【例7】中，G为重心．过点G作，分别交边与于点D，E．设，，则用与来表示为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长交于点F，延长到点H，使得，则 ∵， ∴， ∵G为重心． ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【例8】如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【答案】(1)见解析； (2) 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 又， ． 【变式4-1】如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． (1)用向量分别表示向量； (2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)，． (2)图见解析，、． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵与方向相同， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，向量在、方向上的分向量如图， ∵过点D作，交于点N，作交于点M， ∴， ∴，， ∴ ∵与方向相同，与方向相同， ∴，， 所以，向量在、方向上的分向量分别为、． 【变式4-2】如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．    (1)向量______，向量______．（用、表示） (2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴，， ∵点E，F分别是边、的中点， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示：即为所求．    【变式4-3】如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：中线、交于点， 点为重心， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， 故答案为：． 1．如图，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点， ∴， ∵点是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴， 故答案为：． 2．在菱形中，，，那么 ． 【答案】 【详解】解：如下图：连接和， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3．如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，的两条中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 【答案】 【详解】解：的两条中线、相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在梯形中，，，，已知，，那么用向量、表示 ． 【答案】 【详解】解：取，连接，如图所示： 四边形是平行四边形 ，，， ， 是等边三角形 ，， 故答案为：． 6．如图已知直角梯形中，，，，设． (1)试用，表示 ______； (2)请在原图中作出：表示的和向量． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：过点作于点． ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； 故答案为： （2）解：如图，延长到，使得，连接， ∵， ∴， 则即为所求作． 7．如图，在中，点在边的延长线上，，设，． (1)写出图中所有与互为相反向量的向量：___________； (2)试用向量，表示：___________；___________； (3)在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)见解析． 【详解】（1）解：图中所有与互为相反向量的向量为，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：如图，通过尺规作图，作交延长于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴即为所求． 8．如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 【答案】(1)、； (2)见解析． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：，； （2）解：如图， ∴、分别是在，方向上的分向量． 9．如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)， (2)图见解析，， 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵与的方向相同，，与的方向相同，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点分别作，，则、是向量分别在、方向上的分向量， ∵，， ∴，， ∴，， ∵与的方向相同，与的方向相反， ∴，． 10．如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1）解：，， ，，， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）如图，过点C作交的延长线于点G，，即为所求． 11．如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 12．如图，平行四边形中，点E为边上的一点，，与相交于点F，设，． (1)用向量、分别表示下列向量； ______；______；______； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)；； (2)见解析 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵ ∴； ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：；；． （2）解：如图所示，过点F分别作交于G， 交于H，则即为分别在、方向上的分向量． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$