专题2.2 相反数与绝对值（高效培优讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题2.2 相反数与绝对值 教学目标 1.理解相反数的概念，会求一个数的相反数. 2.使学生理解绝对值的概念和表示方法，会求一个数的绝对值. 3.会利用绝对值比较两个有理数的大小. 教学重难点 1.重点：正确理解相反数和绝对值的概念，会求一个数的相反数和绝对值. 2.难点：利用绝对值比较两个负数的大小. 知识点01 相反数 1.概念:只有 ， ，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是 . 2.性质：若a与b互为相反数，则 ，即 ；反之，若a＋b=0，则a与b . 3.多重符号的化简：①两个符号： ，符号 .②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【即学即练1】写出的相反数： ． 【即学即练2】化简下列各数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 知识点02 绝对值 1.概念：一个数的 叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是 ；③ 0的绝对值是 . 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们 .即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都 ，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个 .故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 【即学即练1】下列各对数中互为相反数的是（    ） A．5与 B．和 C．和 D．5和 【即学即练2】的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 知识点03 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数 ，负数 ，正数大于 .两个负数比较大小时，绝对值 . 【即学即练1】比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 题型01 求一个数的相反数 【典例1】的相反数是 ． 【变式1】的相反数是 ． 【变式2】的相反数是 ． 【变式3】若a的相反数是，则 ． 题型02 判断是否互为相反数 【典例2】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．3与 C．与 D．与 【变式1】下列各数中，互为相反数的是（     ） A． 与2 B． 与 C． 与 D．与 【变式2】下列各数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【变式3】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型03 化简多重符号 【典例3】化简： ． 【变式1】化简 ． 【变式2】计算的结果为 ． 【变式3】化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 题型04 求一个数的绝对值 【典例4】计算： ． 【变式1】的绝对值是： ． 【变式2】的相反数是 ，的绝对值是 ． 【变式3】的绝对值是 ；的绝对值是 ；绝对值是的数是 ；绝对值最小的数是 ． 题型05 绝对值的非负性 【典例5】若，则 ， ． 【变式1】若，那么 ， ． 【变式2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【变式3】已知b、c满足，则的值是 ． 题型06 绝对值的应用 【典例6】有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【变式1】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【变式2】时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 【变式3】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 题型07 利用绝对值比较大小 【典例7】比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【变式1】比较下列各组数的大小： (1)4和 (2)与 (3)与 (4)与 【变式2】比较下列各组数的大小． (1)5和； (2)和； (3)和； (4)和． 【变式3】比较下列各组数的大小： (1)和2； (2)和； (3)和； (4)． 一、单选题 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 3．成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 4．下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 5．给出下列各数：．其中负数有（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 6．化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．的相反数是 ；的绝对值是 ． 8．若，则a的值为 ． 9．化简： 10．已知，则 ． 11．如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则 ， 12．下列四个式子：①；②；③；④．正确的是 ． 三、解答题 13．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 14．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 15．把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，10，，，， 正整数集：； 负数集：； 分数集：； 非负有理数集：． 16．已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 17．如图是长方体的平面展开图，每个外表面都标注有字母．请回答下列问题： (1)如果在左面，在上面，则和分别在什么位置？ (2)如果该长方体中，相对的两个面上的字母表示的数互为相反数，且，，，求，，的值． 18．有理数：，，3.2，0，2，－5． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“＜”连接起来； (3)这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个； (4)由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 19．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 20．阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为3，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 相反数与绝对值 教学目标 1.理解相反数的概念，会求一个数的相反数. 2.使学生理解绝对值的概念和表示方法，会求一个数的绝对值. 3.会利用绝对值比较两个有理数的大小. 教学重难点 1.重点：正确理解相反数和绝对值的概念，会求一个数的相反数和绝对值. 2.难点：利用绝对值比较两个负数的大小. 知识点01 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【即学即练1】写出的相反数： ． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：． 【即学即练2】化简下列各数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的知识：在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，根据相反数的定义解答即可． （1）根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数； （2）直接去掉“+”和括号即可得答案； （3）直接去掉“+”和括号即可得答案； （4）根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数； （5）根据相反数的意义从内往外依次去括号即可； （6）根据相反数的意义从内往外依次去括号即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， （4）解： （5）解：； （6）解： 知识点02 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 【即学即练1】下列各对数中互为相反数的是（    ） A．5与 B．和 C．和 D．5和 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的识别，化简多重符号和求一个数的绝对值，先根据化简多重符号和绝对值的定义求出每个选项中两个数的结果，再根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可． 【详解】解：A、5与互为相反数，故此选项符合题意； B、和不互为相反数，故此选项不符合题意； C、和不互为相反数，故此选项不符合题意； D、5和不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【即学即练2】的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【答案】 或 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，，或 知识点03 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 【即学即练1】比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 【答案】(1) (2) 【知识点】化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题考查比较有理数的大小，解题关键是熟练掌握比较有理数大小法则：正数>零>负数，两个负数，绝对值大的，反而小． （1）根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可； （2）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：，， 因为，所以， 即． 题型01 求一个数的相反数 【典例1】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知相反数的概念是关键； 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是； 故答案为：． 【变式1】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 【变式2】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故答案为： 【变式3】若a的相反数是，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】∵a的相反数是， ∴． 故答案为：8． 题型02 判断是否互为相反数 【典例2】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：A：与不互为相反数，故此选项不符合题意； B：与不互为相反数，故此选项不符合题意； C：与互为相反数，故此选项符合题意； D：与不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各数中，互为相反数的是（     ） A． 与2 B． 与 C． 与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数、绝对值以及去括号等知识，解题关键是熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义，并结合去括号法则、绝对值的性质，逐项分析，即可获得答案． 【详解】解：A. 与2互为相反数，本选项符合题意； B. 与不是相反数，本选项不符合题意； C. 与不是相反数，本选项不符合题意； D. ，，所以与不是相反数，本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】下列各数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数，先化简多重符号，再根据相反数的定义进行判断即可求出结果． 【详解】解：A． 与3相等；不符合题意； B． 与相等；不符合题意； C． 与互为相反数，符合题意； D． 与相等；不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，，5和5不是相反数，不符合题意； B、，，4和4不是相反数，不符合题意； C、，，和3互为相反数，符合题意； D、，和不是相反数，不符合题意； 故选：C． 题型03 化简多重符号 【典例3】化简： ． 【答案】23 【知识点】化简多重符号 【分析】根据有理数的负数计算即可． 本题考查了有理数的负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：23． 【变式1】化简 ． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】计算的结果为 ． 【答案】2 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键； 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解： ． 【变式3】化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 题型04 求一个数的绝对值 【典例4】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】的绝对值是： ． 【答案】3 【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质. 根据绝对值的定义即可求解. 【详解】解：的绝对值是：3． 故答案为：3. 【变式2】的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 5 9 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值的性质，掌握相反数定义和绝对值的性质成为解题的关键． 直接根据相反数的定义和绝对值的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴的相反数是5， ∵， ∴． 故答案为：5，9． 【变式3】的绝对值是 ；的绝对值是 ；绝对值是的数是 ；绝对值最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是；的绝对值是；绝对值是的数是；绝对值最小的数是； 故答案为：；；；． 题型05 绝对值的非负性 【典例5】若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 【变式1】若，那么 ， ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性和解一元一次方程，熟练掌握任何数的绝对值都是非负数是解题的关键，据此作答即可． 【详解】∵， ∴， 解得， 故答案为：1，5． 【变式2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 题型06 绝对值的应用 【典例6】有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 【变式1】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 【变式2】时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 【答案】(1)1，3，4，5符合要求 (2)第3个，说明见解析 【分析】（1）根据绝对值的意义，找到绝对值小于零件即为所求答案； （2）根据绝对值的意义，找到绝对值最小的零件即可. 【详解】（1）解：零件的长度可以有的误差， ，，， ，， 1，3，4，5符合要求； （2）解：的绝对值最小， 第3个零件质量最好． 【点睛】此题考查了正数和负数的概念以及绝对值的意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据，绝对值也能反映一组数据的离散程度；我们必须熟记并能灵活应用这些基本性质. 【变式3】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 题型07 利用绝对值比较大小 【典例7】比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数大于零，零大于负数，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解答本题的关键．两个负数比较大小，先比较绝对值，利用绝对值大的反而小即可得解； 【详解】（1）， ， ， （2）， ， ， （3）， ， ， 【变式1】比较下列各组数的大小： (1)4和 (2)与 (3)与 (4)与 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，多重符号化简，解题的关键是掌握有理数的大小比较法则． （1）直接比较大小即可； （2）先求绝对值，再比较大小； （3）先比较绝对值大小，再比较大小； （4）先化简各数，再比较大小 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）解：∵，，即 ， ∴ （4）解：∵，，，，， ∴ 【变式2】比较下列各组数的大小． (1)5和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的大小比较，结合绝对值的化简和相反数，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键． （1）根据整数大于负数即可解答； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （3）先化简，再利用一个正数和一个负数比较大小的法则比较即可解答； （4）先化简，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以． （2）解：． 因为，即， 所以． （3）解：． 因为正数大于负数， 所以，即． （4）解：． 因为， 所以． 【变式3】比较下列各组数的大小： (1)和2； (2)和； (3)和； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正数大于负数，即可作答． （2）根据负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答． （3）先化简绝对值，再根据正数大于负数，即可作答． （4）结合正数大于0，0大于负数，负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：依题意，， ∵， ∴； （3）解：依题意，， ∵， ∴； （4）解：依题意，， ∵， ∴． 一、单选题 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的绝对值、相反数和有理数的大小比较，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键； 先化简，再进行大小比较即可. 【详解】解：， 因为， 所以最小的数是，即； 故选：A. 3．成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据绝对值的非负性，可得，，求解即可选出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：且 故选：C 4．下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数． 【详解】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意； B、，，故和是互为相反数，符合题意； C、和，不是互为相反数，不符合题意； D、4和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 5．给出下列各数：．其中负数有（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查化简多重符号，解题关键是熟练掌握符号的运算法则．结合“负负得正”，将各数逐一化简后，根据负数（小于0的数）的个数进行判断． 【详解】解：化简各数： ， ， ， ， ， 则化简后的数中，负数有、、，共3个． 故选：C． 6．化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 二、填空题 7．的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 2 /0.5 【分析】本题主要考查相反数的概念，绝对值的概念等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点 【详解】解：的相反数是2；的绝对值是． 故答案：2；． 8．若，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为： 9．化简： 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的化简，根据多重符号的化简方法及绝对值的定义化简即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：，，，． 10．已知，则 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值具有非负性可得，，解出a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键 11．如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则 ， 【答案】 2 【分析】本题考查正方体的展开图，相对面上的字，相反数的定义，利用空间想象能力得出相对面的对应关系，从而求出a、b、c的值． 【详解】解：∵该正方体相对面上的两个数互为相反数， ∴，，． 故答案为：，，2． 12．下列四个式子：①；②；③；④．正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据正数大于负数，两个负数比较大小，大的数反而小，可得答案． 【详解】解：①， ， ， ∴①正确； ②，， ， ， ∴②正确； ③， ， ， ∴③正确； ④，， ， ， ∴④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题 13．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 14．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值的化简，负数的大小比较，熟练掌握两个负数相比较，绝对值大的反而小是解题的关键． （1）先化简，再利用负数大小比较的原则解答即可； （2）利用负数大小比较的原则解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 15．把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，10，，，， 正整数集：； 负数集：； 分数集：； 非负有理数集：． 【答案】10， ；，，； ，， ；，0，10，， 【分析】本题考查有理数的分类，求绝对值，多重符号的化简，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．利用有理数的相关概念分类即可． 【详解】解：， 正整数集的是：； 负数集的是：； 分数集的是：； 非负有理数集的是：． 16．已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 17．如图是长方体的平面展开图，每个外表面都标注有字母．请回答下列问题： (1)如果在左面，在上面，则和分别在什么位置？ (2)如果该长方体中，相对的两个面上的字母表示的数互为相反数，且，，，求，，的值． 【答案】(1)在右面，在下面； (2)，， 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征以及相反数的定义是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据相反数的定义以及长方体表面展开图中“对面”进行解答即可． 【详解】（1）解： 由长方体表面展开图的特征可知，A与D，B与F，C与E是对面，当 C在左面，D在上面，则E在右面，A在下面； （2）解： 由（1）得A与D，B与F，C与E是对面，而相对的两个面上的字母表示的数互为相反数，且，，， ∴，，． 18．有理数：，，3.2，0，2，－5． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“＜”连接起来； (3)这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个； (4)由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 (4) 【分析】本题考查数轴，绝对值，和有理数的分类及比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数的相关概念． （1）先在数轴上表示出各个数即可； （2）由（1）的数轴即可得出答案； （3）根据相反数的定义和绝对值的定义得出即可； （4）由（1）的数轴上距离最远的两点作差进行计算即可． 【详解】（1）如图所示． （2）正方向向右时，数轴上右边点表示的数比左边点表示的数大，可得 （3）∵负数和0的绝对值等于它的相反数， ∴这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有，0，-5， 绝对值等于它的相反数的数有：，共4个 （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是： ． 19．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 20．阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为3，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了含绝对值号的一元一次方程． （1）根据绝对值的定义即可得到结论； （2）仿照例题，根据绝对值的定义解方程即可得到结论； （3）仿照例题，根据绝对值的意义即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：，； （2）解：原方程化为， 当时，方程可化为， 解得：， 当时，方程可化为， 解得：， 所以原方程的解是或； （3）解：∵方程有解， ∴， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$