专题03 反比例函数与几何图形的综合（专项训练）数学鲁教版五四制九年级上册

专题03 反比例函数与几何图形的综合（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数图像与几何图形的面积问题 1 题型二、反比例函数图像与几何图形中的角度问题 7 题型三、反比例函数图像与几何图形的变换问题（平移、旋转、翻折） 7 题型四、反比例函数图像与动点构成特殊图形问题 52 题型五、反比例函数图像与几何图形中的比值问题 30 题型六、反比例函数图像与几何图形中的新定义问题 30 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数图像与几何图形的面积问题 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．将正比例函数图象向上平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限分别交于点，，与轴，轴分别交于点，，且满足．过点作轴，垂足为，为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的值及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，反比例函数与几何图形的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入，求出，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）设直线的表达式为，点的坐标为，过点作轴，垂足为，证明，进而求出点坐标，待定系数法求出的值，进而求出点坐标，对称性求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）∵点为和的交点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）设直线的表达式为，点的坐标为，过点作轴，垂足为． ∵轴， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∵，则， ∴． 所以点的坐标为． 将，代入，得， 解得或（舍去）． 直线的表达式为，点的坐标为，点的坐标为， ∴时，，， ∴， 直线与关于成轴对称， ∴点和点关于点对称， 点的坐标为． ． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接，，．如图，设点坐标为，若，，且． (1)求的值； (2)若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． （1）先求出、的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解出值即可； （2）过点作轴于点，交于一点，过点作轴于点，设点的坐标为，根据，列出关于的方程，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：由条件可知，代入得：， ，， ，且， ，， 点坐标为， ； （2）解：过点作轴于点，交于一点，过点作轴于点，设点的坐标为， 反比例函数图象上有，两点， ， ， 的面积为， ，即， 整理可得， 解得负值已舍去， 点的坐标为． 3．如图，点，是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接，，，线段交于点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角函数． （1）先求出，的长，确定A点的坐标，再求出k的值即可； （2）证明得，进而可得，再根据反比例函数系数k的几何意义得，再得，再由计算可得答案． 【详解】（1）解：在中， ， 可设，则， 由勾股定理得：， 解得或（舍去）， ，， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 即四边形的面积为18． 4．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． (1)求的值； (2)直线与相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）设，则，根据矩形的性质可得，则，解方程求出a的值即可求出k的值； （2）先求出直线解析式，进而求出点M的坐标，再根据三角形 面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 两点在上， ， ， （2）解：设直线的解析式为： 把代入得，， ∴直线的解析式为 在中，当时，， ． ． 题型二、反比例函数图像与几何图形中的角度问题 5．（2025·山东济南·三模）如图，正方形的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点为其对角线上一点，反比例函数的图象交于点，交于点，连接． (1)求t的值和反比例函数的表达式； (2)求周长的最小值； (3)当时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）待定系数反求出和的值即可； （2）作关于的对称点，连接，则周长的最小值为，进行求解即可； （3）求出时的两个的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； （2）∵正方形，， ∴，，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， 作关于的对称点，连接，则：，， ∴在线段上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值为：； （3）当，且点时，过点作轴于点，交于点，作于点，则：四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或； 当，且点时，过点作于，交于点，作， 同法可求或（舍去）； ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形集合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 6．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求点的坐标； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 【答案】(1)，点 (2)或 (3)或 【分析】`（1）由待定系数法求出的表达式，进而求解； （2）当点在第一象限或第三象限时，利用一线三垂直构造三角形全等求点的坐标即可； （3）分两种情形证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，则，即点， 将点的坐标代入得，，则， 则直线的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点； （2）解：当点在第一象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， 则，， 则点； 当点在第三象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或； （3）解：设点，点与点关于点对称，则点， 则，，， ∵，， ∴， 则， 即， 解得：（负值已舍去），即点， ∵，则为的中点， 由中点坐标公式得：点， 则． 如图，当点在第三象限时． 同理可得：， 即， 解得， 可得， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，一次函数的性质，中点坐标公式的运用等，综合性强，难度适中． 7．（2025·山东菏泽·一模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点． (1)求函数关系式； (2)的面积与四边形的面积的数量关系为_________；（填“”，“”或“”） (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得点，再把代入，即可求解； （2）连接，交于点K，根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，从而得到，即可求解； （3）设平移距离为n，可得点，，从而得到，可证明，从而得到，再由，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴点， 把点代入，得：， ∴函数关系式为； （2）解：如图，连接，交于点K， ∵， ∴， ∴， ∴的面积四边形的面积； 故答案为：； （3）解：如图，设平移距离为n， 根据题意得：四边形是矩形， ∴， ∴点， ∵反比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． (1)当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果） (2)如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 【答案】(1)12 (2)①；②与相互平行，见解析 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，有最大值； （2）先根据题意得到，，①连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案；②连接，先求得，，可得，从而证明，得到，即可推出． 【详解】（1）解：反比例函数， ， 反比例函数的图象和矩形有交点，其中， ，， 当，时，有最大值， 故答案为：12． （2）解：，，且四边形为矩形， ， ，， 反比例函数的图象与，分别交于点，， ，， ①连接，，如图 ， ，， ，， ，， ； ②与相互平行，理由如下： 连接，如图 ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 题型三、反比例函数图像与几何图形的变换问题（平移、旋转、翻折） 9．（2025·山东日照·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴和y轴上，若反比例函数的图象分别交，于点M，N． (1)求证：． (2)D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得的坐标是解题的关键． （1）设正方形的边长为a，点，则，则，即可求解； （2）证明，得到，，，则，即可求解． 【详解】（1）证明：设正方形的边长为a，则点，则， 则 （2）解：过作于F，交于E， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 正方形的边分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点， ， 则， 解得：， ， 反比例函数的图象经过点， ． 10．（2025·山东济南·二模）如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围； (3)将线段沿水平方向平移，使其一个端点恰好落在轴上（设点的对应点为，点的对应点为，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】（1）对于反比例函数，将点代入，利用反比例函数（）的性质求出，进而得到反比例函数解析式；再将代入反比例函数求出把、代入一次函数，根据待定系数法，列出关于、的方程组，求解得到一次函数解析式． （2）通过观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值区间，即时的范围． （3）分两种情况，当落在轴上和当落在轴上．利用平移性质得到对应点坐标，再根据，通过三角形面积公式底高计算的面积．方法2中还通过作轴，利用点的坐标求出相关线段长度，进而计算三角形面积． 【详解】（1）解：把代入得， 反比例函数解析式为， 把代入得，解得， ， 把代入 得，解得， 一次函数解析式为； （2）解：根据图象可得：当时，； （3）解：当落在轴上时， 由平移可知，，则 当落在轴上时， 由平移可知，，则 方法2：情况1：当落在轴上时， 由平移可知，则直线的表达式为 过点做轴，交直线于点， ，可知 情况2：当落在轴上时， 由平移可知，则直线的表达式为 过点做轴，交直线于点， ，可知 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合知识，包括反比例函数中值（这里相当于）的求法、一次函数的待定系数法，以及通过函数图象比较函数值大小和利用平移性质求三角形面积．解题关键在于熟练运用待定系数法求函数解析式，准确观察函数图象获取信息，清晰理解平移性质并合理运用三角形面积公式进行计算． 11．（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b，k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点B坐标代入一次函数式中，即可求得b的值，从而得点B的值；把点B的坐标代入反比例函数式中即可求得k的值； （2）过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，证明，则由相似三角形的性质求得，从而求得点D的坐标；再求出的函数解析式，则可求得点K的坐标，利用即可求解； （3）过点D作轴，作于H，于G，证明，利用全等三角形的性质即可求得点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴把代入中，得， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； （2）解：如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知反比例函数的表达式为； 当时，，解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作轴，作于H，于G， 则， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证明三角形相似与全等是解题的关键． 12．（2025·山东济南·一模）已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入一次函数的解析式求出，待定系数法求出的值 即可； （2）作轴，轴，于点，证明，进而求出点坐标即可； （3）平移得到，直线与反比例函数的交点即为点，求出直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ∴， ∴； 故； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴，过点作轴，则：轴，，， ∴， ∵， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵将沿直线平移， ∴， ∴设的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴， 由（1）可知：反比例函数的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴ 13．（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点． (1)求k，m的值； (2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可； ②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵在的图象上， ， 解得：． （2）解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设，则有， ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ； ②连接，由平移可得：，即， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知， ∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到． 14．（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； (3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求； （3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标． 【详解】（1）解：点在一次函数上， ， 一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：法1：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点， 连接， 与同底等高， ， ， ， ， ； （3）解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于， 由旋转的性质可知：， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点， 为等腰直角三角形． 设，则， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解． 题型四、反比例函数图像与动点构成特殊图形问题 15．（2025·山东临沂·二模）如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由平移可得，，，，四边形为平行四边形，利用勾股定理可求得，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标，继而求得点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)， ∴，，，，，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，，　 ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∴根据，可得，首先向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入得，　 ∴点M的纵坐标为， ∴点M的坐标为． 16．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； (2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； (2)点C的坐标为； (3)点N的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）分别把代入和，计算即可求解； （2）设点，过点作轴的垂线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）分两种情况讨论，①当点在轴上时，过作直线轴交轴于点，过作于点，证明，求得，得到，利用平移的性质求得点N的坐标为；②当点在轴上时，同理即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于， ∴点， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：①当点在轴上时， 如图：过作直线轴交轴于点，过作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴点N的坐标为； ②当点在轴上时， 同理，点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 17．（2025·山东济南·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． (1)求m的值和反比例函数的关系式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点和中点坐标公式，求出，，，再根据平移的坐标变换规律求得点，，然后用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于F，先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得点，利用求解即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，， ， ，当时，则，代入得求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，则， 令，则， ∴，， ∵点C为线段的中点 ∴， ∵线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E， ∴，， 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴m的值为1， 反比例函数的关系式为． （2）解：设直线交x轴于F， 由（1）知：，，， ∴，， 设直线解析式为， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：由(1)知∶ ，， ∴， ∴ 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 由(2)知∶ ， ∴， ， ， 当时，则 ∴ 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数图象平移，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形面积，此题综合性较强，属中考压轴题目． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)。 【分析】（1）由待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）求出点A的坐标，根据四边形与三角形的面积比求出点坐标，得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可得点坐标； （3）设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 将点代入， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：对于，当时，， ∴点坐标为， 联立与得， ， 解得或（舍去）， 经检验是的解， 当时，， ∴点坐标为， ∵，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴． （3）解：∵点在直线上， ∴设， ∵是以为斜边的直角三角形，， ∴， 即， 整理得：， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，梯形与三角形面积计算，勾股定理，解一元二次方程等知识点．解题关键是根据面积关系求出点坐标及掌握利用勾股定理列出方程． 19．（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点． (1)求k，m的值； (2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可； ②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵在的图象上， ， 解得：． （2）解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设，则有， ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ； ②连接，由平移可得：，即， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知， ∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到． 20．（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； (3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求； （3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标． 【详解】（1）解：点在一次函数上， ， 一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：法1：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点， 连接， 与同底等高， ， ， ， ， ； （3）解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于， 由旋转的性质可知：， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点， 为等腰直角三角形． 设，则， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解． 题型五、反比例函数图像与几何图形中的比值问题 21．（2025·山东临沂·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴，轴分别交于点，点，与反比例函数图象交于第一象限的点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线右侧的点在反比例函数图象上，的面积为，直线与轴交于点，求． 【答案】(1) (2)或3 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后根据中点坐标公式可得，进而问题可求解； （2）由题意可分当点在第一象限时，则过点作轴交直线于点，过点作轴于点，当点在第三象限时，则过点作轴于点，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点，可知：，即， ∴， ∴，即， ∴， 令时，则有，令时，则有， ∴， ∵，即点为中点， ∴根据中点坐标公式可得点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可分：当点在第一象限时，则过点作轴交直线于点，过点作轴于点，如图所示： 由（1）可知：，反比例函数解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； 当点在第三象限时，则过点作轴于点，如图所示： 同理可得， ∴，则， ∵轴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或． 22．（2025·山东枣庄·三模）一次函数的图象与轴交于，图象过点，轴于点，已知与反比例函数的图象交于点（a．2），点是线段边上的动点． (1)分别求直线的解析式和反比例函数的解析式； (2)连接，，求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用正切求得，从而可求得点的坐标，再求出点的坐标，然后一次函数的图象与轴交于，图象过点，可求得直线的解析式，再根据点在直线上，求得点的坐标，从而可得反比例函数的解析式； （2）先根据、两点的坐标及位置，求出，，和点的横坐标，再根据点在反比例函数的图象上，求出点的坐标，从而可求得，，再求出与，从而可得． 【详解】（1）解：∵点，轴于点， ∴点的坐标为， 又， ∴， ，， ， ， 点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于，图象过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线上， ， 点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为：； （2）过点作于于， ∵，， ∴，，点的横坐标为4， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为 ∴， ∴，， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，解题关键是正确求出函数解析式． 23．（2025·广东广州·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积． 【答案】(1)1； (2)4或14 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质： （1）先求出m的值，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点 ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数经过 ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， 令，解得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ①点在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与重合，如图， ∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合， 将代入，则， ∴， 在反比例函数中，当时，， ∴， ∴， ②点在线段的延长线上， 同理得：，， ∴， 在反比例函数中，当时，， ∴， ， 综上所述，或14． 题型六、反比例函数图像与几何图形中的新定义问题 24．（2025·山东·模拟预测）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A，B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“和谐点”． 【尝试初探】 （1）点__________“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“和谐点”，则__________；若“和谐点”在双曲线（，且k为常数）上，则__________； 【深入探究】 （2）我们可以从函数的角度研究“和谐点”，已知点是第一象限内的“和谐点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数__________的图象平移得到； （3）结合图象研究性质，下列结论正确的选项是__________．（多选） A．图象与直线和直线都没有交点    B．该函数的图象是轴对称图形 C．y随着x的增大而增大        D．图象经过点 【答案】（1）不是，6，16；（2）①；②画图见解析，；③AB． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）直接根据“和谐点”的定义判断点C是不是“和谐点”即可；根据“和谐点”的定义得到，进行计算即可求得d的值；根据“和谐点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可解答； （2）①根据“和谐点”的定义可得，化简整理即可解答；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图象可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可解答． 【详解】解：（1）， ∴点不是“和谐点”， ∵点是第一象限内的一个“和谐点”， ∴，解得：， ∵是“和谐点”， ∴，解得：， ∴， 将代入双曲线得：， 故答案为：不是，6，16； （2）①∵点是第一象限内的“和谐点”， ∴，化简得， 由题意可得：，解得：， ∴； ②根据描点、连线，画出函数图象如下： 该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：． ③由图象可得： A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，图象与直线和直线都没有交点，故A正确，符合题意； B．该函数的图象是轴对称图形，故B正确，符合题意； C．由图象可知y随着x的增大而减小，该选项说法错误，不符合题意； D．图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：AB． 25．阅读与思考 “美好点”的研究 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴，轴的垂线，若由点、原点、两个垂足，为顶点的长方形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即：． 【分析】 （1）①下面的点中是美好点的是_____； A．    B．    C．    D． ②若点是第二象限内的一个“美好点”，则______； 【应用】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； ②在（2）①的条件下，在双曲线上，则的值为______． 【答案】（1）①B；②；（2）①18；② 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键． （1）①由新定义即可求解； ②是第二象限内的一个“美好点”，则，由新定义得，即可求解； （2）①是“美好点”，，求出，进而求解； ②由，即可求解． 【详解】解：（1）①由新定义知，，故点A不符合题意， 同理可得，点B符合题意，点C、D不符合题意， 故答案为：B； ②是第二象限内的一个“美好点”，则， 由新定义得：， 解得：， 故答案为：； （2）①是“美好点”， ， ∴， 解得， ． 将代入双曲线（，且为常数）， 得； ②， 双曲线的表达式是：． 在双曲线上， ， ， ， 设直线的表达式为：， 代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 令直线与轴交于点，当时，， 解得：， ，如图所示， ． 1．（2025·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，将矩形沿直线（点在边上，点在边上）折叠，点的对应点恰好是边的中点，点的对应点落在反比例函数的图象上，下列结论①，②，③，④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作轴于，连接，由题意可得，，，，由矩形的性质可得，，结合题意，，设，则，由勾股定理得出，，证明，求出，，从而得出，，，； 由反比例函数的性质求出；设，则，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作轴于，连接， 由题意可得：，，，， ∵矩形的顶点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵点A的对应点D恰好是边的中点， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，，故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，故③错误，不符合题意； ∵点P落在反比例函数的图象上， ∴，故④正确，符合题意； 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，故②错误，不符合题意； 则正确的个数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数综合、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，结合平行四边形面积即可判断①；根据平行四边形的判定可判定②正确；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断③；根据，得出，再结合，得出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ，故①正确； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故③错误； ， ， 解得， ， 即， ， ， （舍去）或，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（2025·山东青岛·二模）如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且，过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，等腰直角三角形的判定与性质，反比例函数的几何应用，过点作轴于点，由平行线等分线段定理可得，进而可得， 即得，可得反比例函数解析式为，又由，可得，设，则，可得点的坐标为，即得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴于点， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵，， ∴， 设，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山东聊城·三模）如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，结合点C的坐标为，得到，再由中点的定义得到点E的坐标为，代入到，即可求出反比例函数的表达式； （2）设与轴交于点，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求出的长，通过证明四边形是矩形得到，再证明得到，代入数据即可求出线段的长． 【详解】（1）解：正方形， ，，， 点C的坐标为， ， ， 点E为的中点， ， 点E的坐标为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图，设与轴交于点，则， 由（1）得，， ，轴， ，， 由翻折的性质得，， ，， 轴， ， ，， 四边形是矩形，， ， ，， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质、翻折的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（2025·山东·二模）如图①，点的坐标为，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置． (1)①请直接写出点的坐标为（_____，_____）； ②若反比例函数的图象与线段有且只有一个交点时，请确定的取值范围并说明理由； (2)如图②，当时，以为一边的平行四边形的另外两个顶点与均在反比例函数的图象上．请求出的面积． 【答案】(1)①1，3；②或，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据平移的性质求解即可；②先利用待定系数法求出直线的解析式，再分两种情况分析：当反比例函数的图象与线段有且只有一个交点，根据一元二次方程根和系数的关系求解；当反比例函数的图象经过点时，求出的值，再结合反比例函数图象求解即可； （2）根据平行四边形的性质和平移的性质可得，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置．设点坐标为，则点坐标为，进而求出，确定、两点坐标，再利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置， 则点的坐标为，即； 故答案为：1，3． ②的取值范围为或，理由如下： 由①知，点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为． 如答图①，当反比例函数的图象与线段有且只有一个交点， 则， 去分母化简整理得， ， 解得：． 当反比例函数的图象经过点时，得，则． 如答图②，当时，反比例函数的图象与线段也是有且只有一个交点． 综上所述，若反比例函数的图象与线段有且只有一个交点时，的取值范围为或． （2）解：四边形是平行四边形， ， 把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置， 把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，也可以平移到点的位置． 点、均在的图象上， 设点坐标为，则点坐标为， ． 解得，（舍去）， ，， 点坐标为，点坐标为． 如答图③，． 的面积为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数解析式，反比例函数的图象和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形，平移的性质，平行四边形的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 【答案】(1)正比例和反比例函数的表达式分别为：， (2)点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用列式计算求得点M的坐标为，求得点M关于x轴的对称点的坐标，连接交x轴与点P，此时最小，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的表达式分别为：，； （2）解：由点A、M的坐标得，点，即， 则四边形的面积； 四边形的面积， 解得：． 点M的坐标为， 点M关于x轴的对称点的坐标， 连接交x轴与点P，此时最小， 设直线的解析式为， ，代入得 ，解得 直线的解析式为 当时， 点坐标为． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 7．（2025·山东济南·二模）如图，四边形是菱形，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，与轴正方向的夹角为，且，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作，交直线于点，过点作，交轴于点，连接． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)反比例函数图象上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标和腰长：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点A的坐标为 (2) (3)点的坐标是，腰长或点的坐标为，腰长 【分析】本题考查了反比例函数与结合图形综合，菱形的性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理和等腰三角形的定义，熟练掌握反比例数的性质是解题的关键； （1）设直线交轴于点，根据菱形的性质，，，在中，，设，，进而得出点的坐标为，即可求解； （2）①当点在直线左侧的反比例函数上时，延长交轴于点，根据，设，则，，得出，由，结合的面积为，建立方程，解方程求解；②当点在直线右侧的反比例函数上时，同理建立方程解方程，即可求解； （3）①当点在直线左侧的反比例函数上时得出点的坐标为，腰长，与，这两种情况不存在；②当点在直线右侧的反比例函数上时，根据勾股定理得出点的坐标为，腰长，与，这两种情况不存在． 【详解】（1）解：设直线交轴于点，如图： ∵点， ∴， ∵四边形是菱形， ，，， ∴轴，即轴， 在中，， 设，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ； 反比例函数的解析式为，点的坐标为 （2）①当点在直线左侧的反比例函数上时，延长交轴于点， 轴，， 轴， ， ， 轴， ， ， ， 设，则，， ，即： 点在反比例函数的图象上， ， ， 整理得：， 此方程无解，此时不存在 ②当点在直线右侧的反比例函数上时 同理： 整理得： 解得：（舍），， 综上所述：点的坐标是 （3）①当点在直线左侧的反比例函数上时 若，，解得， 点的坐标为，腰长 与，这两种情况不存在 ②当点在直线右侧的反比例函数上时 ， 在中，由勾股定理得， 解得： 点的坐标为，腰长 与，这两种情况不存在 综上所述：点的坐标是，腰长 或点的坐标为，腰长． 8．（2025·山东济南·二模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，点P在线段的延长线上，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，连接，当时，求点B的坐标； (3)如图2，点为反比例函数上任意一点，过点作轴，垂足为D，过点D作，与反比例函数交于点E，令，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，可得，再进一步求解即可； （2）设，可得，，，如图，过作于，则，求解，利用，可得，再进一步求解即可； （3）作轴于，证明，可得，设，可得，结合，E都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 解得， 将代入， 解得， ∴； （2）解：设， ∵， ∴，，， ∴，， ∴； 如图，过作于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去），经检验，符合题意； ∴； （3）解：作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴，， ，， ∴， ∵，E都在反比例函数图象上， ∴，， ∴， 解得（舍）或， ∴n的值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 反比例函数与几何图形的综合（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数图像与几何图形的面积问题 1 题型二、反比例函数图像与几何图形中的角度问题 5 题型三、反比例函数图像与几何图形的变换问题（平移、旋转、翻折） 5 题型四、反比例函数图像与动点构成特殊图形问题 24 题型五、反比例函数图像与几何图形中的比值问题 15 题型六、反比例函数图像与几何图形中的新定义问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数图像与几何图形的面积问题 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．将正比例函数图象向上平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限分别交于点，，与轴，轴分别交于点，，且满足．过点作轴，垂足为，为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的值及的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接，，．如图，设点坐标为，若，，且． (1)求的值； (2)若的面积为，求点的坐标． 3．如图，点，是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接，，，线段交于点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积． 4．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． (1)求的值； (2)直线与相交于点，求的面积． 题型二、反比例函数图像与几何图形中的角度问题 5．（2025·山东济南·三模）如图，正方形的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点为其对角线上一点，反比例函数的图象交于点，交于点，连接． (1)求t的值和反比例函数的表达式； (2)求周长的最小值； (3)当时，请直接写出m的取值范围． 6．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求点的坐标； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 7．（2025·山东菏泽·一模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点． (1)求函数关系式； (2)的面积与四边形的面积的数量关系为_________；（填“”，“”或“”） (3)证明：． 8．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． (1)当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果） (2)如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 题型三、反比例函数图像与几何图形的变换问题（平移、旋转、翻折） 9．（2025·山东日照·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴和y轴上，若反比例函数的图象分别交，于点M，N． (1)求证：． (2)D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，且，求k的值． 10．（2025·山东济南·二模）如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围； (3)将线段沿水平方向平移，使其一个端点恰好落在轴上（设点的对应点为，点的对应点为，求的面积． 11．（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b，k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 12．（2025·山东济南·一模）已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标． 13．（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点． (1)求k，m的值； (2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 14．（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； (3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 题型四、反比例函数图像与动点构成特殊图形问题 15．（2025·山东临沂·二模）如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 16．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； (2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·山东济南·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． (1)求m的值和反比例函数的关系式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 19．（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点． (1)求k，m的值； (2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 20．（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； (3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 题型五、反比例函数图像与几何图形中的比值问题 21．（2025·山东临沂·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴，轴分别交于点，点，与反比例函数图象交于第一象限的点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线右侧的点在反比例函数图象上，的面积为，直线与轴交于点，求． 22．（2025·山东枣庄·三模）一次函数的图象与轴交于，图象过点，轴于点，已知与反比例函数的图象交于点（a．2），点是线段边上的动点． (1)分别求直线的解析式和反比例函数的解析式； (2)连接，，求的值； 23．（2025·广东广州·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积． 题型六、反比例函数图像与几何图形中的新定义问题 24．（2025·山东·模拟预测）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A，B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“和谐点”． 【尝试初探】 （1）点__________“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“和谐点”，则__________；若“和谐点”在双曲线（，且k为常数）上，则__________； 【深入探究】 （2）我们可以从函数的角度研究“和谐点”，已知点是第一象限内的“和谐点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数__________的图象平移得到； （3）结合图象研究性质，下列结论正确的选项是__________．（多选） A．图象与直线和直线都没有交点    B．该函数的图象是轴对称图形 C．y随着x的增大而增大        D．图象经过点 25．阅读与思考 “美好点”的研究 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴，轴的垂线，若由点、原点、两个垂足，为顶点的长方形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即：． 【分析】 （1）①下面的点中是美好点的是_____； A．    B．    C．    D． ②若点是第二象限内的一个“美好点”，则______； 【应用】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； ②在（2）①的条件下，在双曲线上，则的值为______． 1．（2025·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，将矩形沿直线（点在边上，点在边上）折叠，点的对应点恰好是边的中点，点的对应点落在反比例函数的图象上，下列结论①，②，③，④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·山东青岛·二模）如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且，过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则 ． 4．（2025·山东聊城·三模）如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长． 5．（2025·山东·二模）如图①，点的坐标为，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置． (1)①请直接写出点的坐标为（_____，_____）； ②若反比例函数的图象与线段有且只有一个交点时，请确定的取值范围并说明理由； (2)如图②，当时，以为一边的平行四边形的另外两个顶点与均在反比例函数的图象上．请求出的面积． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 7．（2025·山东济南·二模）如图，四边形是菱形，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，与轴正方向的夹角为，且，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作，交直线于点，过点作，交轴于点，连接． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)反比例函数图象上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标和腰长：若不存在，请说明理由． 8．（2025·山东济南·二模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，点P在线段的延长线上，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，连接，当时，求点B的坐标； (3)如图2，点为反比例函数上任意一点，过点作轴，垂足为D，过点D作，与反比例函数交于点E，令，求n的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$