22.2.4一元二次方程根的判别式（教学课件）数学华东师大版九年级上册

华东师大版·九年级上册 22.2一元二次方程的解法 22.2.4一元二次方程根的判别式 第22章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 经历一元二次方程根的情况的探究过程，归纳出一元二次方程根的判别式. 能运用根的判别式，判断一元二次方程根的情况. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 回顾旧知 1.一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的求根公式是什么？ 2.还记得用配方法推导一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 求根公式的过程吗？ 整理 移项 配方 开平方 思考探究 开平方 问题1 在求根公式的推导过程中，我们知道只有当b2 － 4ac ≥ 0 时，才 能直接开平方。如果b2 － 4ac < 0，结果会怎样呢？ 负数 无意义 思考探究 开平方 也就是说，只有当一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的系数a、b、c满足条件b2 － 4ac ≥ 0时才有实数根。因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况。 问题1 在求根公式的推导过程中，我们知道只有当b2 － 4ac ≥ 0 时，才 能直接开平方。如果b2 － 4ac < 0，结果会怎样呢？ 思考探究 问题2 思考一元二次方程的根有几种情况？每种情况的结果是怎样的？ 情况1 当b2 － 4ac > 0时，上式右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： 情况2 配方3 当b2 － 4ac = 0时，上式右边为0，因此方程有两个相等的实数根： 当b2 － 4ac < 0时，上式右边是一个负数，左边是大于等于0的数，因此方程没有实数根。 课堂新知 一元二次方程根的判别式： 这里的b2 － 4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的实数根的情况： 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ < 0时，方程没有实数根。 典例分析 不解方程，判断下列方程的根的情况： 【解】 （1）原方程可变形为 所以方程有两个不相等的实数根 典例分析 不解方程，判断下列方程的根的情况： 【解】 所以方程有两个相等的实数根 典例分析 不解方程，判断下列方程的根的情况： 【解】 （1）原方程可变形为 所以方程没有实数根 思考探究 问题3 结合上述典例，归纳总结利用根的判别式判定一元二次方程根 的情况的步骤。 整理 确定 计算 判断 将方程整理成一般形式ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 确定系数a、b、c 的值 将a、b、c的值代入计算Δ = b2 － 4ac 的值 根据Δ的值与0的大小，判断一元二次方程根的情况 典例分析 已知关于x的方程2x2 － (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)当k取何值时，方程没有实数根？ 【解】 (1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ > 0， 典例分析 已知关于x的方程2x2 － (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)当k取何值时，方程没有实数根？ 【解】 (2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ = 0， (3)因为方程没有实数根，所以Δ < 0， 运用根的判别式求一元二次方程中字母系数取值范围的步骤： 确定判别式 解不等式并考虑二次项系数 根据条件列不等式 当堂反馈 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： 【解】 （1）原方程可变形为 所以方程有两个不相等的实数根 当堂反馈 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： 【解】 所以方程有两个不相等的实数根 当堂反馈 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： 【解】 （3）原方程可变形为 所以方程有两个相等的实数根 当堂反馈 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： 【解】 （4）原方程可变形为 所以方程没有实数根 当堂反馈 2. 小明告诉同学，他发现了一类判断方程有无实数根的简易方法：若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程有两个不相等的实数根。他的说法正确吗？为什么？ 【解】 一元二次方程根的判别式为 所以方程有两个不相等的实数根 因为a、c异号 所以 所以 小明的说法正确，理由如下： 当堂反馈 3. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2 + 4x + 3 = 0，有两个不相等的实数根，求m的取值范围。 【解】 因为方程有两个不相等的实数根 因为方程为一元二次方程 综上所述 课堂小结 学完这节课，你有哪些收获与体会？ 知识 运用 感悟 根的判别式 ①判定一元二次方程根的情况 ②根据根的情况求字母系数取值范围 ？ 布置作业 习题22.2 第7题、第8题 感谢聆听! $$