1.1 等腰三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形 暑假巩固 一、等边三角形的性质和等腰三角形的判定 1.如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　） A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a 2.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 3.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°． A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　            　；②　            　；③　                       ；④　            ． 5.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　         ． 6.如图，等边△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，BC与DE相交于点F，连接AF并延长，交BE于点G，求证：AF⊥BE． 7.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°．若AD=5，求DE的长． 二、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1.若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 2.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　） A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 3.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（　　） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 4.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　     时，△AOP为等边三角形． 5.在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　        　． 6.如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC=∠DAC，CE∥AB．求证：△CDE是等边三角形． 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，过A点沿直线AE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的D点处，连接DC，若AE=BE，求证：△ADC是等边三角形． 三、等腰三角形判定与角平线、平行线综合 1.如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（　　） A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.如图，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中是等腰三角形的为(　　) A.△ABD B.△ACD C.△ACE D.△ABC 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中的等腰三角形是　            　． 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________． 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形． 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于点F．求证：AE=AF． 四、含30°角的直角三角形与等腰三角形 1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连接CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.如图，∠DAE=∠FAD=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 3.如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为(　　) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m 4.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______． 5.一个等腰三角形的顶角是120º，底边上的高线长是1cm，则它的腰长是            cm． 6.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 7.某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积． 五、含30°角的直角三角形与等边三角形 1.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 2.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ） A.2 B.3 C.1 D.8 3.如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE等于（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 4.如图所示，AD和BE是等边三角形的两条高，其交点为O，若OD=4，则AD=______. 5.如图，在等边三角形ABC中AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BE=2，则AF=　     　． 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC． （1）求证：DE=DB； （2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 7.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，求线段AB的长. 六、等腰三角形的三线合一 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，则∠B等于（　　） A.70° B.50° C.20° D.40° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC=6cm，则BD等于（　　） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠ADE的大小为（　　） A. 10° B. 20° C. 40° D. 70° 4.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_______． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=           ． 6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，求∠EDC的度数． 7.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC. (1)若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长； (2)若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数． 七、等边三角形中的三线合一 1.等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（　　） A.75° B.60° C.45° D.30° 2.如图，在等边△ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为（　　） A.90° B.30° C.120° D.150° 3.等边三角形角平分线、中线和高的条数共为（　　） A.3 B.5 C.7 D.9 4.在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则AB=　         　． 5.如图，等边△ABC中，AD为高，若AB=6，则CD的长度为　      　． 6.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 7.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 八、定义判定等边三角形 1.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+ +|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　） A.底和腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 2.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 3.若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 4.在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　            　． 5.如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个． 6.如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC． （1）求证：DC=BC； （2）如果∠C∶∠ADC=1∶2，求证：△CDB是等边三角形． 7.如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形． 九、定义法判定等腰三角形 1.如果一个三角形一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A，B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有       个． 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　     　个． 6.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，求出点D运动过程中所有使得△ABD为等腰三角形的时间t． 7.已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC. 十、等边三角形和等腰三角的性质 1.如图，△ABC是等边三角形，CB=BD，连接AD，∠ACD=110°，则∠BAD的度数为（　　） A.10° B.15° C.20° D.25° 2.已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边作等边三角形，其周长为45cm，则等腰三角形的底边长是（　　） A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 3.如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　） A.75° B.80° C.70° D.85° 4.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度． 5.如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为　          ． 6.如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数． 7.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数． 十一、等腰三角形与三角形内角和 1.如图，△ABC，△ADE中，C、D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为（　　） A.114° B.123° C.132° D.147° 2.如图，∠BOC=8°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…，这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 3.如图，△ABC中，AC=AD，BC=BE，∠ACB=100°，则∠DCE等于（　　） A.20° B.30° C.40° D.50° 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是______________． 5.在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，则∠C=      ． 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A），求∠α的度数. 7.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若∠B=30°，∠DAB=45°，求∠DAC的度数． 十二、等边三角形的性质综合 1.下面选项对于等边三角形不成立的是（　　） A.三边相等 B.三角相等 C.是等腰三角形 D.有一条对称轴 2.如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC 3.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F是边AB，BC，AC上的点，且都不是中点，若AD=BE=CF，连接AE，BF，CD构成一些三角形．如果三个全等的三角形组成“全等三角形组”，那么图中“全等三角形组”的组数是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4.如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为　　． 5.如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=            度． 6.如图，△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE． 7.如图1，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明你的理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 十三、等腰三角形的判定与三角形内角和 1.如图所示，等腰三角形共有（　　） A.4个 B.5个 C.3个 D.2个 2.要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　） A.∠A=50°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=100° C.∠A+∠B=90° D.∠A+∠B=90° 3.对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　） A.只要两个角相等，那么它们所对的边也相等 B.在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 C.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 D.以上说法都是正确的 4.在△ABC中，∠A=50°，当∠B=　            　时，△ABC是等腰三角形． 5.如图，在△ABC中，∠BAC∶∠B∶∠C=3∶1∶1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　          　． 6.已知，如图，△ABC中，BC边上有D，E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC是等腰三角形． 7.如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形． 十四、等边三角形的三个角都等于60° 1.已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　） A. ∠B B. ∠BFD C. ∠ADE D. ∠BDF 2.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） A.25° B.60° C.85° D.95° 3.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2等于（　　） A.60° B.90° C.120° D.180° 4.如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　       　度． 5.点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为　       　． 6.如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数． 7.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 十五、等腰三角形与平行线性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC，若AB∥CD，∠BCD=30°，则∠ACD的度数为（　　） A.30° B.60° C.75° D.120° 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD的度数为(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，顶点B在直线DE上，且DE∥AC，则∠CBE等于（　　） A.40° B.50° C.70° D.80° 4.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为            ． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC=          °． 6.如图，AB=AC=AD． （1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论． 7.如图，AC与BD相交于点O，OA=OB，AB∥CD.求证：∠C=∠D． 十六、反证法 1.若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　） A.至少有一个角是钝角或直角 B.没有一个角是锐角 C.没有一个角是钝角或直角 D.每一个角都是钝角或直角 2.用反证法证明：若abc=0，则a,b,c至少有一个为0，应该假设（　　） A.a,b,c没有一个为0 B.a,b,c只有一个为0 C.a,b,c至多一个为0 D.a,b,c三个都为0 3.用反证法证明“若a＜|a|，则a为负数”应先假设（　　） A.a为非负数 B.a为正数 C.a为整数 D.a为负数 4.数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D”． 如图2，假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D． 依据（1）                  ，可得A′B′∥CD． 这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD， 这与基本事实（2）                  矛盾， 说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D． 5.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设____________________． 6.请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数． 7.用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形 暑假巩固（参考答案） 一、等边三角形的性质和等腰三角形的判定 1.如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　） A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a 【答案】D 【解析】∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴CD=AC=×6=3，∠CBD=×60°=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=×60°=30°，∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长=6+3+a+a=9+2A．故选D． 2.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【解析】根据已知条件易证△AOB，△AOC，△BOC，△BOD，△COE，△ODE均为等腰三角形．故答案选B． 3.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴BD平分∠ABC，BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°， ∴这四项都是正确的．故选：D． 4.已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　            　；②　            　；③　                       ；④　            ． 【答案】①DB=DE　②BD⊥AC　③∠DBC=∠DEC=30°　④△ABD≌△CBD　⑤△DCE∽△BDE　⑥∠CDE=30°　⑦BD平分∠ABC（任写其中四个都可以） 5.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　         ． 【答案】75° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故答案为75°． 6.如图，等边△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，BC与DE相交于点F，连接AF并延长，交BE于点G，求证：AF⊥BE． 【答案】证明 ∵等边△ABC旋转到△ADE， ∴∠ABC=∠AED=60°，AB=AE． ∴∠ABE=∠AEB．∴∠FBE=∠FEB． ∴FB=FE． ∴点A，F都是线段垂直平分线上的点． ∴AF⊥BE． 7.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°．若AD=5，求DE的长． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，D是BC边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=30°， ∵点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°， ∴AD=DE，∵AD=5，∴DE=5. 二、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1.若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形．故选D． 2.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　） A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 【答案】C 【解析】①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°﹣120°=60°，底角为（180°﹣60°）÷2=60°，三角形为等边三角形； ②120°的角为底角的外角，则底角为180°﹣120°=60°，顶角为180°﹣60°×2=60°，三角形为等边三角形．故选C． 3.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（　　） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 【答案】C 【解析】因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=60°．又因为CD=BE，∠1=∠2，且AC=AB，所以△ADC≌△AEB，所以AD=AE，∠EAD=∠CAB=60°，所以△ADE为等边三角形．故选C． 4.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　     时，△AOP为等边三角形． 【答案】a 【解析】∵∠AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形． 5.在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　        　． 【答案】(此题答案不唯一) AB=AC或AB=BC或AC=BC 6.如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC=∠DAC，CE∥AB．求证：△CDE是等边三角形． 【答案】证明 ∵∠ABE+∠CBE=60°，∠CAD+∠ADC=60°，∠EBC=∠DAC， ∴∠ABE=∠ADC．又CE∥AB， ∴∠BEC=∠ABE． ∴∠BEC=∠ADC．又BC=AC，∠EBC=∠DAC， ∴△BCE≌△ACD．∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， 即∠ECD=∠ACB=60°． ∴△CDE是等边三角形． 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，过A点沿直线AE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的D点处，连接DC，若AE=BE，求证：△ADC是等边三角形． 【答案】证明 根据折叠的性质得△ACE≌△ADE，AC=AD，∠ADE=∠ACB=90°， ∵AE=BE，∴AD=BD， ∴AB=2AD=2AC，∴∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∴△ADC是等边三角形． 三、等腰三角形判定与角平线、平行线综合 1.如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（　　） A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE∴∠B=∠A，∴△ABC为等腰三角形．故选B 2.如图，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中是等腰三角形的为(　　) A.△ABD B.△ACD C.△ACE D.△ABC 【答案】C 【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵AD∥EC，∴∠AEC=∠BAD，∠ACE=∠DAC，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∴△ACE是等腰三角形．故选C． 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD是高，∴∠DAC=45°，∴CD=AD，∴△ADC为等腰直角三角形，∵∠ABC=60°，BE是∠ABC平分线，∴∠ABE=∠CBE=30°，在△ABD中，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣60°﹣90°=30°，∴∠ABF=∠BAD=30°，∴AF=BF，即△ABF是等腰三角形，在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣60°﹣45°=75°，∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=EB，即△ABE是等腰三角形，∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE．故选B． 4.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中的等腰三角形是　            　． 【答案】△ABD 【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，故△ABD是等腰三角形．故答案为：△ABD． 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________． 【答案】9 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形． 【答案】解 ∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形． 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于点F．求证：AE=AF． 【答案】证明 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵GE∥AD， ∴∠AFE=∠BAD，∠E=∠CAD， ∴∠AFE=∠E， ∴AE=AF． 四、含30°角的直角三角形与等腰三角形 1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连接CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】B 【解析】∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是角平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴AD=BD．∴△ABD是等腰三角形．∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴CD=ED，∴AC=AE，∴△CDE，△ACE是等腰三角形；又△CEB也是等腰三角形，显然此图中有4个等腰三角形．故选B． 2.如图，∠DAE=∠FAD=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】作DG⊥AC，垂足为G，如图．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=ED=×8=2，∴DF=DG=4．故选B． 3.如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为(　　) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m 【答案】B 【解析】AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠BAC＝60°，∠ADB＝90°， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝7(m)． 4.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______． 【答案】72 【解析】根据题意画出图形，由已知得∠B=30°，所以BD=2AD=48，易知∠DAC=∠C=30°，所以CD=AD=24，所以BC=BD+CD=48+24=72. 5.一个等腰三角形的顶角是120º，底边上的高线长是1cm，则它的腰长是            cm． 【答案】2 【解析】∵等腰三角形的顶角是120°，∴等腰三角形的底角是30°，又∵底边上的高线长是1cm，∴它的腰长是2cm． 6.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 【答案】解 ∵∠ADB=30°，∠ACB=15°， ∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°， ∴∠ACB=∠CAD， ∴AD=CD=20米， 又∵∠ABD=90°， ∴AB=AD=10米， ∴树的高度为10米． 7.某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积． 【答案】解 过点C作CE⊥AB于点E，如图， ∵AB＝AC＝10 m，∠ACB＝75°， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠A＝30°， ∵CE⊥AB， ∴△ACE是直角三角形， ∴EC＝AC＝5(m)， ∵点D为AB的中点， ∴AD＝AB＝5(m)， ∴S△ACD＝×AD×CE＝ (m2)， 即所求的面积为m2. 五、含30°角的直角三角形与等边三角形 1.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】∵△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，AC=AD，∴∠B=90°﹣60°=30°，∵AB=10，∴AC=AB=×10=5，∴AD=5．故选B． 2.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ） A.2 B.3 C.1 D.8 【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC．∠BAC=∠C． 又∵AD=CE， ∴△ABD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD=∠CAE． ∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°． ∴∠BPF=∠APD=60°． ∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°． ∴PF=PB=×4=2． 故选A． 3.如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE等于（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，AD是它的角平分线，∴BD=BC=×8=4，∠B=60°．∵DE⊥AB，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=2．故选C． 4.如图所示，AD和BE是等边三角形的两条高，其交点为O，若OD=4，则AD=______. 【答案】12 【解析】∵AD和BE是等边三角形的高，∴∠DBO=∠ABO=∠BAO=30°，在Rt△OBD中，∵OD=4，∴BO=2OD=2×4=8，BO=AO，∴AO=8，∴AD=AO+OD=8+4=12．故答案为：12． 5.如图，在等边三角形ABC中AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BE=2，则AF=　     　． 【答案】6 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，又DE⊥AB， ∴∠BDE=30°， ∴BD=2BE=4，∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠BAD=30°， ∴AB=2BD=8，∴AE=6， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴AF=AE=6． 故答案为：6． 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC． （1）求证：DE=DB； （2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明    ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴BC⊥AE，∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAB=∠CAB=30°=∠ABC， ∴DA=DB， ∵CE=AC，∴BC是线段AE的垂直平分线， ∴DE=DA，∴DE=DB． （2）解    △ABE是等边三角形． 理由如下：∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA=BE，即△ABE是等腰三角形， 又∵∠CAB=60°， ∴△ABE是等边三角形． 7.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，求线段AB的长. 【答案】解 ∵直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB=∠α=60°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°， ∴∠A=∠ABC=∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=3-1=2（cm）． 六、等腰三角形的三线合一 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，则∠B等于（　　） A.70° B.50° C.20° D.40° 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的角平分线和中线， ∵∠BAC=80°，∴∠BAD=40°， ∴∠B=90°﹣∠BAD=50°．故选B. 2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC=6cm，则BD等于（　　） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=BC=×6=3（cm）．故选C． 3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠ADE的大小为（　　） A. 10° B. 20° C. 40° D. 70° 【答案】B 【解析】∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=×（180°﹣∠BAC）=×（180°﹣100°）=40°， ∵BD=BE， ∴∠BED=∠BDE=×（180°﹣∠B）=×（180°﹣40°）=70°， 又AD是BC边上的中线， ∴∠ADB=90°，∴∠ADE=90°﹣70°=20°．故选B． 4.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_______． 【答案】60° 【解析】∵△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠BAC=×120°=60°．故答案为：60°． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=           ． 【答案】25° 【解析】∵AB=AC，D是BC边的中点，∴∠BAD=∠BAC=25°．故答案为25°． 6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，求∠EDC的度数． 【答案】解 ∵AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°， ∴∠CAD＝∠BAD＝20°，∠ADC＝90°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝80°， ∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝10°. 7.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC. (1)若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长； (2)若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数． 【答案】解 (1)∵AD是△ABC的中线，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∵△ABC的面积是20，且BC＝4， ∴BC·AD＝20， ∴×4×AD＝20， ∴AD＝10. (2)∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝ (180°－∠CAB)＝70°. ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝35°. 七、等边三角形中的三线合一 1.等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（　　） A.75° B.60° C.45° D.30° 【答案】B 【解析】如图，∵等边三角形ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角的平分线，交于点F，∴∠1=∠2=∠ABC=30°，∴∠3=∠1+∠2=60°．故选B． 2.如图，在等边△ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为（　　） A.90° B.30° C.120° D.150° 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，BD，CE是两条中线，∴∠AEC=∠ADB=90°，∠A=60°，∴∠1=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°．故选C． 3.等边三角形角平分线、中线和高的条数共为（　　） A.3 B.5 C.7 D.9 【答案】A 【解析】等边三角形为特殊的等腰三角形，故每个内角的角平分线和其对应边的中线、高线均符合三线合一的性质，故等边三角形角平分线、中线和高的条数共3条．故选A． 4.在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则AB=　         　． 【答案】6 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∵AD⊥BC，BD=3，∴BC=2BD=6，∴AB=6．故答案为：6． 5.如图，等边△ABC中，AD为高，若AB=6，则CD的长度为　      　． 【答案】3 【解析】∵等边△ABC中，AB=6，∴AB=BC=6．∵AD⊥BC， ∴CD=BC=3．故答案为3． 6.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°. 又CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED. 又∠BCD＝∠CDE＋∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC. ∴BD＝DE(等角对等边)． 7.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线， ∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线， 即∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠BAE=∠BAD=30°， 在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB， ∴△ABE≌△ABD（SAS）， ∴BE=BD． 八、定义判定等边三角形 1.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+ +|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　） A.底和腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【答案】B 【解析】由（a﹣b）2++|c2﹣64|=0得a﹣b=0，b﹣8=0，c2﹣64=0，又a，b，c是三角形的三边长，∴a=8，b=8，c=8，所以三角形的形状是等边三角形．故选：B． 2.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D． 3.若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】已知一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则角平分线分成的两个三角形全等（ASA），则这两个角所在的边均相等，即三边相等，所以这是一个等边三角形．故选C． 4.在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　            　． 【答案】8 【解析】连接相邻的点，图中等边三角形有△ABD，△BCE，△BDE，△DFG，△DEG，△EGH， △BFH，△ACG，共8个，故答案为8． 5.如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个． 【答案】2 【解析】最多可作2个位置不同的等边三角形，如图． 6.如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC． （1）求证：DC=BC； （2）如果∠C∶∠ADC=1∶2，求证：△CDB是等边三角形． 【答案】（1）证明 ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠BDC， ∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC． （2）证明 ∵∠ADB=∠BDC， ∴∠BDC∶∠ADC=1∶2， ∵∠C∶∠ADC=1∶2，∴∠BDC=∠C， ∴BD=BC，由（1）可知DC=BC， ∴BD=BC=CD， ∴△CDB是等边三角形． 7.如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形． 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°． ∵AB=BC=CA，AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA， ∴AF=BD=CE． 又∵AE=BF=CD，∴△AEF≌△BFD≌△DCE． ∴EF=FD=DE．即△DEF是等边三角形． 九、定义法判定等腰三角形 1.如果一个三角形一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 【答案】C 【解析】如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，由AD=AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴AB=AC．即这个三角形一定是等腰三角形．故选C． 2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A，B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】如图，分情况讨论． ①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个． 因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有2个．故选B． 3.如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【答案】D 【解析】∵△ADB≌△ADC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故选D． 4.在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有       个． 【答案】3 【解析】第一图，由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 第二图，由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误． 第三图，由作图可知BA=BD可推出BD=CD=AD，即△ADC是等腰三角形，故正确． 第四图，由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 故答案为3 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　     　个． 【答案】6 【解析】如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC 于点P2； ②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2（此时AB=AP）； ③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）． 故符合条件的点有6个．故答案为6． 6.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，求出点D运动过程中所有使得△ABD为等腰三角形的时间t． 【答案】解 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得AC=3cm，由运动可知AD=t cm，且△ABD为等腰三角形，有三种情况：①若AB=AD，则t=5；②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=(t﹣3) cm，BC=4 cm，BD=t cm，即（t﹣3）2+42=t2，解得t=，综合上述，符合要求的t值有3个，分别为5，6，． 7.已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC. 【答案】证明 ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 而已知∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC(等角对等边)． 十、等边三角形和等腰三角的性质 1.如图，△ABC是等边三角形，CB=BD，连接AD，∠ACD=110°，则∠BAD的度数为（　　） A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，∠ACD=110°，∴∠DCB=50°，∵CB=BD，AB=BC，∴AB=BD，又∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠ABC+（180°-∠BCD -∠BDC）=60°+（180°﹣50°﹣50°）=140°，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠ABD）=×（180°﹣140°）=20°．故选C. 2.已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边作等边三角形，其周长为45cm，则等腰三角形的底边长是（　　） A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 【答案】B 【解析】∵等边三角形的周长为45cm，∴其边长为15cm，∵等腰三角形的周长为40cm，∴其底边长=40﹣（15×2）=10(cm)．故选B． 3.如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　） A.75° B.80° C.70° D.85° 【答案】B 【解析】∵AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°，∵∠EDC=40°，∴∠1=∠2=40°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°，∴2∠ABC=360°﹣40°﹣40°﹣60°﹣60°=160°，∴∠ABC的度数为80°．故选：B． 4.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度． 【答案】15 【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，因为DF＝DE，所以∠EFD＝∠E,又CG＝CD，所以∠CGD＝∠CDG=2∠E,所以∠ACB＝2∠CDG =4∠E =60°，所以∠E =15°． 5.如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为　          ． 【答案】120° 【解析】∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°．故答案为：120°． 6.如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数． 【答案】解 ∵DE⊥AC，AD=AE，∠DAE=80°， ∴∠ADE=∠E=50°，∠DAF=∠EAF=40°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠BAD=60°﹣40°=20°， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC， ∴60°+20°=50°+∠EDC， ∴∠EDC=30°． 7.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵∠ABE=40°，∴∠EBC=∠ABC ﹣∠ABE=60°﹣40°=20°，∵BE=DE， ∴∠D=∠EBC=20°， ∴∠CED=∠ACB﹣∠D=40°． 十一、等腰三角形与三角形内角和 1.如图，△ABC，△ADE中，C、D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为（　　） A.114° B.123° C.132° D.147° 【答案】B 【解析】∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE， ∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠B+∠DCB+∠E+ ∠CDE=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°．故选B． 2.如图，∠BOC=8°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…，这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【解析】由题意可知AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=8°，∴∠A1AA2=（2×8）°，∠A2A1A3=（3×8）°，∠A3A2A4=（4×8）°，∠A4A3A5=（5×8）°，…，∠Ak+1AkAk+2=[（k+2）•8]°．由题意得（k+2）•8＜90，解得k＜9.25，由于k为整数，故k=9，可以画11条线段，n=11．故选C． 3.如图，△ABC中，AC=AD，BC=BE，∠ACB=100°，则∠DCE等于（　　） A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】C 【解析】设∠ACE=x°，∠DCE=y°，∠BCD=z°， ∵BE=BC，AD=AC，∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠DCE=（x+y）°，∠BEC=∠BCE=∠BCD+∠DCE=（y+z）°， ∴∠A=∠BEC﹣∠ACE=（y+z﹣x）°，∠B=∠ADC﹣ ∠BCD=（x+y﹣z）°，∵在△ABC中，∠ACB=100°， ∴∠A+∠B=180°﹣∠ACB=80°，∴y+z﹣x+x+y﹣z=80，即2y=80，∴y=40，∴∠DCE=40°．故选C． 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是______________． 【答案】110°或70° 【解析】此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°． 5.在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，则∠C=      ． 【答案】70° 【解析】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°．故答案为：70°． 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A），求∠α的度数. 【答案】解 如图， ∵AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C ==40°， ∵∠DEF=90°，∠D=30°， ∴∠DFE=90°-∠D=60°， ∵∠DFE是△ACF的一个外角， ∴∠α=∠DFE-∠C=20°. 7.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若∠B=30°，∠DAB=45°，求∠DAC的度数． 【答案】解 ∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°． 十二、等边三角形的性质综合 1.下面选项对于等边三角形不成立的是（　　） A.三边相等 B.三角相等 C.是等腰三角形 D.有一条对称轴 【答案】D 【解析】等边三角形各边长相等、各内角为60°，故A、B选项错误；∵等边三角形各边长均相等，故等边三角形是特殊的等腰三角形，故C选项错误，等边三角形的三边的垂直平分线均为对称轴，故对称轴有3条，故D选项正确，故选 D． 2.如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC 【答案】C 【解析】A.可以利用SAS验证，正确； B.可以利用AAS验证，正确； C.可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误； D.可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．所以错误的是第三个．故选C． 3.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F是边AB，BC，AC上的点，且都不是中点，若AD=BE=CF，连接AE，BF，CD构成一些三角形．如果三个全等的三角形组成“全等三角形组”，那么图中“全等三角形组”的组数是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴△ABE≌△BCF≌△CAD，∴∠BAE=∠CBF=∠ACD，∠ADC=∠AEB=∠BFC，∵AD=BE=CF，∴△ADQ≌△BEM≌△CFN，∴AQ=BM=CN，∵∠ABC=∠BAC=∠ACB，∠BAE=∠CBF=∠ACD，∴∠QAC=∠NCB=∠MBA，∵AB=BC=AC，BM=CN=AQ，∴△AMB≌△CQA≌△BNC，∵AB=AC=BC，AD=BE=CF，∴BD=CE=AF，∵∠BAC=∠ACB=∠ABC，AB=CB=AC，∴△ABF≌△CAE≌△BCD，∵AM=BN=CQ，∠FAM=∠ECQ=∠DBN，BD=AF=CE，∴△AMF≌△CQE≌△BND，∴共5组，故选B． 4.如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为　　． 【答案】a+b 【解析】∵△ABC与△DEF为等边三角形，∴∠A=∠B，EF=DF，∵∠BFD+∠BDF=120°，∠BFD+∠AFE=120°，∴∠BDF=∠AFE，∴△AEF≌△BFD（AAS），∴AF=BD，AE=BF，∴△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=AB+EF=a+b． 5.如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=            度． 【答案】30 【解析】如图，作AB的垂直平分线，∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰三角形，∴AB的垂直平分线必过C，D两点，∴∠BCE=30°，∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，∴△BDC≌△BDP，∴∠BPD=∠ECB=30°．故答案为：30． 6.如图，△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE． 【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知）， ∴AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=60°（等边三角形的性质）． ∴∠BAD=∠CAE（等式的性质）． 在△BAD与△CAE 中，∵ ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）． 7.如图1，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明你的理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 【答案】解   (1)△DBC和△EAC全等． 理由： ∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°－∠ACD， ∠ACE＝60°－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中， ∴△DBC≌△EAC(SAS)． (2)∵△DBC≌△EAC， ∴∠EAC＝∠B＝60°， 又∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC. (3)结论：AE∥BC. 理由： ∵△ABC，△EDC为等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝CE， ∠BCA＝∠DCE＝60°. ∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中， ∴△DBC≌△EAC(SAS)． ∴∠EAC＝∠B＝60°. 又∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB. ∴AE∥BC. 十三、等腰三角形的判定与三角形内角和 1.如图所示，等腰三角形共有（　　） A.4个 B.5个 C.3个 D.2个 【答案】B 【解析】根据三角形的内角和定理，得∠ABO=∠DCO=36°， 根据三角形的外角的性质，得 ∠AOB=∠COD=72°． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC． 故选：B． 2.要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　） A.∠A=50°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=100° C.∠A+∠B=90° D.∠A+∠B=90° 【答案】D 【解析】A.若∠A是顶角时，则50°+120°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在50°+50°+60°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误； B.若∠A是顶角时，则50°+200°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在100°+100°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误； C.当∠A+∠B=90°时，∠C=90°；但∠A=10°，∠B=80°时，三角形ABC的三个内角中，没有两个相等的角，所以构不成等腰三角形；故本选项错误； D.当∠B是顶角时，则2∠A+∠B=180°，∴∠A+∠B=90°；故本选项正确．故选D． 3.对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　） A.只要两个角相等，那么它们所对的边也相等 B.在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 C.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 D.以上说法都是正确的 【答案】C 【解析】“等角对等边”是等腰三角形的判定定理，是如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确. 4.在△ABC中，∠A=50°，当∠B=　            　时，△ABC是等腰三角形． 【答案】50°或65°或80° 【解析】①∠A是顶角，∠B=（180°﹣∠A）÷2=65°； ②∠A是底角，∠B=∠A=50°； ③∠A是底角，∠A=∠C=50°，则∠B=180°﹣50°×2=80°，∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形． 故答案为：50°或65°或80°． 5.如图，在△ABC中，∠BAC∶∠B∶∠C=3∶1∶1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　          　． 【答案】6 【解析】∵∠BAC∶∠B∶∠C=3∶1∶1，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=108°，∠B=36°，∠C=36°， ∵AD，AE将∠BAC三等分，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°， ∴∠ADE=∠AED=∠BAE=∠CAD=72°， ∴AD=BD，AD=AE，AE=CE，AB=AC，AB=BE，AC=CD， ∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数是6，故答案为6． 6.已知，如图，△ABC中，BC边上有D，E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】证明 ∵∠B=∠3﹣∠1，∠C=∠4﹣∠2，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形． 7.如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形． 【答案】证明 在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA， ∴△ADB≌△BCA（SSS）． ∴∠DBA=∠CAB． ∴AE=BE． ∴△EAB是等腰三角形． 十四、等边三角形的三个角都等于60° 1.已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　） A. ∠B B. ∠BFD C. ∠ADE D. ∠BDF 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵∠EDF+∠BDF+ADE=180°，∠B+∠BDF+∠BFD=180°， ∴60°+∠BDF+∠ADE=60°+∠BDF+∠BFD， ∴∠ADE=∠BFD， ∵∠A+∠ADE+∠AED=∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∵∠A=∠B=60°， ∴∠AED=∠BDF．故选D． 2.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） A.25° B.60° C.85° D.95° 【答案】D 【解析】∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．故选D． 3.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2等于（　　） A.60° B.90° C.120° D.180° 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°．故选C． 4.如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　       　度． 【答案】120 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，则∠ABD=120°．故答案为：120． 5.点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为　       　． 【答案】120° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠DCB=∠ABD，∴∠DBC+∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°． 6.如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠2=∠3， ∴∠2+∠BCE=∠3+∠BCE=∠ACB=60°，∴∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=180°﹣60°=120°． 7.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 十五、等腰三角形与平行线性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC，若AB∥CD，∠BCD=30°，则∠ACD的度数为（　　） A.30° B.60° C.75° D.120° 【答案】B 【解析】∵AB∥CD，∠BCD=30°， ∴∠B=∠BCD=30°． ∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°， ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=30°+30°=60°．故选B． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD的度数为(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】D 3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，顶点B在直线DE上，且DE∥AC，则∠CBE等于（　　） A.40° B.50° C.70° D.80° 【答案】C 【解析】∵AB=AC（已知），∴∠C=∠ABC=70°（等边对等角），又∵DE∥AC（已知），∴∠CBE=∠C=70°（两直线平行，内错角相等）．故选C． 4.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为            ． 【答案】32° 【解析】∵CD=CE，∴∠D=∠DEC，∵∠D=74°，∴∠C=180°﹣74°×2=32°，∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°．故答案为：32°． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC=          °． 【答案】25 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BAC=130°，∴∠C=（180°-130°）÷2=25°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=25°．故答案为25． 6.如图，AB=AC=AD． （1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论． 【答案】解 （1）∠C=2∠D，证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC，又∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∴∠ABC=2∠D，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠D． （2）AD∥BC，证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠D，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠D，∴∠DBC=∠D，∴AD∥BC． 7.如图，AC与BD相交于点O，OA=OB，AB∥CD.求证：∠C=∠D． 【答案】证明 ∵OA=OB，∴∠A=∠B，又∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠C=∠D． 十六、反证法 1.若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　） A.至少有一个角是钝角或直角 B.没有一个角是锐角 C.没有一个角是钝角或直角 D.每一个角都是钝角或直角 【答案】C 2.用反证法证明：若abc=0，则a,b,c至少有一个为0，应该假设（　　） A.a,b,c没有一个为0 B.a,b,c只有一个为0 C.a,b,c至多一个为0 D.a,b,c三个都为0 【答案】A 3.用反证法证明“若a＜|a|，则a为负数”应先假设（　　） A.a为非负数 B.a为正数 C.a为整数 D.a为负数 【答案】A 4.数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D”． 如图2，假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D． 依据（1）                  ，可得A′B′∥CD． 这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD， 这与基本事实（2）                  矛盾， 说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行　 （2）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 5.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设____________________． 【答案】对角线不互相平分的四边形是平行四边形 6.请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数． 【答案】证明 假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1， 另一个奇数为2p+1（n，p为整数），   则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+1, ∵无论n，p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数， 这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾， ∴假设不成立， ∴这两个整数中至少一个是偶数． 7.用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 【答案】证明 连接DE，如图， 假设BD和CE互相平分， ∴四边形EBCD是平行四边形， ∴BE∥CD， ∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上， ∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即BD和CE不可能互相平分． 学科网（北京）股份有限公司 $$