2.4有理数的乘方（第1课时）（教学设计）数学北师大版2024七年级上册

本文围绕有理数乘方的概念及运算展开，承接有理数四则运算背景，为后续有理数混合运算等奠基。通过细胞分裂情境引入，探究乘方意义与性质，培养学生抽象、运算、推理等核心素养，如在法则探究中发展推理能力。 该设计创新点在于拓展除方概念，深化对乘方理解。特色教法为问题引导，凸显学生主体。对学生，提升思维能力；对教师，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破教学难点。

2.4.有理数的乘方（第1课时）（教学设计） 1.教学内容 本课时是北师大版七年级上册第二章有理数及其运算，第四节有理数的乘方第一课时，内容为有理数乘方的概念，根据乘方的意义进行乘方运算。 2.内容解析 有理数的乘方运算是在有理数的加、减、乘、除运算基础上进行的，它是一种特殊的有理数乘法，也是科学记数法的基础。本节课通过细胞分裂的情境，引入有理数乘方的概念，体现了从具体从特殊到一般的思想之后给出了有理数乘方的写法、读法，及底数、指数关概念。接着根据有理数乘法法则，探究讨论了有理数乘方运算的符号法则与相关性质，根据乘方的意义进行乘方运算，通过具体实例感受乘方运算结果的增长规律。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：有理数乘方的意义及相关法则。 1. 教学目标 (1）理解有理数乘方的意义，了解幂、底数、指数等相关概念。 (2）掌握有理数乘方的符号法则及相关性质，能够正确地进行有理数的乘方运算。 (3)经历探索有理数乘方及法则的过程，发展学生类比、观察、归纳、概括等能力，从幂的不同解释中培养学生的发散思维。 2.目标解析 （1）有理数的乘方是根据有理数的乘法来定义的，将写成的表达式，前者是个有理数乘法运算，后者是有理数乘方的形式，是乘方运算。在中，叫作底数，叫作指数，n个有理数α相乘的结果叫作幂，所以，有理数乘方及其相关概念是有理数的乘法运算及相关概念的拓展。 (2)有理数乘方像有理数加、减、乘、除法一样，也是一种运算，其运算的符号相关性质完全依据相同乘数的有理数乘法法则获得。初学时，应强调二者之间的关系，用有理数乘法法则探究学习有理数乘方运算，待学生熟悉有理数乘方运算法则及其相关性质后，应该逐步丢掉这根拐杖。 （3）经历探索有理数乘方运算法则及其相关法则的过程，鼓励学生类比有理数的乘法运算法则及性质进行观察、交流，发展学生类比、观察、归纳、猜想等能力。 有理数的乘方是在学生学习有理数的加、减、乘、除法运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广与延续，又是后面继续学习有理数混合运算、科学记数法和开方的基础。在小学里，学生掌握的数的平方与立方只是在正数的范围内，现在则扩充到了有理数的范围，应当注意，乘方也是一种运算，是继加、减、乘、除法运算之后学习的第五种运算，因此掌握好本节课的内容能够进一步加深学生对有理数的运算的认 识，并且将为学生今后学习数的开方打下坚实的基础，有理数的乘方是利用乘法来定义的，因此，可以参照乘法运算的方法进行乘方运算，但学生在探究过程中容易忽视由有理数乘法的符号法则得出有理数乘方的符号法则，有理数的乘方运算与加、减、乘、除法运算步骤一样，都是先确定符号，再计算绝对值。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：有理数乘方符号法则及相关性质的理解。 创设情景，引入新课 情境：如图2-11，某种细胞每过30min便由1个分裂成2个。经过5h，这种细胞能由1个分裂成多少个? 1个细胞经过30min分裂成2个，经过1h分裂成个，经过号h分裂成个…… 经过5h分裂10次，分裂成多少个细胞？ (设计意图：通过情境引入，激发学生探究新知的兴趣) 探究点1　有理数乘方的意义 追问1：该细胞经过5h分裂10次，分裂成多少个细胞？先用算式表示，再求值。 （个） 追问2：几个因数相乘具有什么运算性质？ 奇数个负数的积是负数，偶个负数相乘积是正数，正数的积是正数，并将绝对值相乘；0与任何有理数的积都是0。 追问3：怎样简便表示10个2的积（）？一般地，n个有理数α相乘怎样表示？ （活动方法：鼓励学生用自己的语言表达自己的想法，并与同伴进行交流。最后教师明晰结论) 10个2的积表示为；n个有理数α相乘表示为， 总结归纳：这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂,a叫作底数,n叫作指数，读作 “a的n次幂”（或“a的n次方”)。 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如3就是，指数1通常省略不写。 追问4：我们已经学习过的几种运算方法结果的不同称呼，你能填写下表吗？ 运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 结果 依次是：和、差、积、商、幂。 典例分析 例1：计算： 【分析】根据乘方的意义，和乘法运算法则进行计算。 【详解】解: （设计意图：通过例题的学习，对有理数乘方的底数、指数的概念及其表示有更进一步的理解，及时巩固所学知识，并且通过学生计算，也让学生理解乘方运算的意义。） 探究点2　有理数乘方的性质 问题：与结果相等吗？与结果相等吗？ 与结果不相等，表示的意义也不相同；与结果不相等，表示的意义也不相同。 教师提醒：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同符号），用小括号括起来，这样便于辨别底数； 分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。 活动：不计算下列各式，你能确定其结果的符号吗？从计算结果中，你能得到什么规律？ 归纳总结：乘方的符号法则 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 尝试·思考 有一张厚度为0.1mm的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1mm。 （1）将这张纸对折2次后，厚度为多少毫米? （2）假设可以将这张纸对折20次，那么对折20次后厚度为多少毫米? （1); （2)。 每层楼的平均高度为3m，这张纸对折20次后大约有多少层楼高？ （设计意图：目的是使学生体会，当指数不断增加时，底数为2的幂的增长速度是很快的。如果一张纸可以对折20次，那么它的厚度将达到105m左右，比30层楼还要高。教学时，可以让学生先猜测这一结果，再实际进行计算，使学生加深对乘方意义的理解。） (设计意图：探究有理数乘方的性质) 1．概念学习 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．    初步探究 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______， A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．______；______；=______． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于______； （3）算一算：． 【分析】初步探究：（1）根据所规定的a的圈n次方的定义，计算结果即可得到答案； （2）根据所规定的a的圈n次方的定义，列式逐项计算验证是否正确即可． 深入思考：（1）根据有理数乘方运算的法则，原来的底数作底数，即可得解； （2）根据所得式子得出总结规律即可得解． （3）利用上面的结论，将除方运算转化为乘方运算，再用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：初步探究：（1）， ， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确，不符合题意； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1；所以选项B正确，不符合题意； C、，，则；所以选项C错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确，不符合题意； 故选：C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为： ； ；； （2）由（1）总结规律得：； 故答案为：； （3）解：原式， ， ． (设计意图：拓展对有理数乘方的意义) 课本课堂练习： 1. （1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 。 2.计算： 答案: 1. 2. (活动方法：学生独立完成，教师相机指导) (设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略) 1．（2025上·吉林辽源·七年级统考期末）计算：． 【详解】解： = = = =． 2．（2025上·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果，，运用以上的结论，计算： ． 【详解】（1）解： ； （2）归纳、概括：； （3）如果，， 运用以上的结论，计算： . （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1.这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂,a叫作底数,n叫作指数，读作 “a的n次幂”（或“a的n次方”)。 2.负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题2.4第1、2、5题. 探究性作业：习题2.3第6、10题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 2.2.有理数的乘方（第1课时） 探究点1　有理数乘方的意义 探究点2 有理数乘方的性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$