2.2.2 有理数的除法（第2课时 有理数的加减乘除混合运算）（教学设计）数学人教版2024七年级上册

本文围绕有理数的加减乘除混合运算展开，涵盖乘除混合运算、加减乘除混合运算及实际应用。承接有理数四则运算基础，为后续代数学习奠基。通过典型例题与练习，培养学生运算能力、逻辑思维能力，渗透数学抽象、模型观念等核心素养。 该设计亮点在于分类型讲解与练习，结合实际应用。从学生层面看，能提升运算与应用能力；从教师角度，提供清晰授课思路；课堂效果上，有效突破运算顺序与符号处理等教学难点。

2.2.2有理数的除法（第2课时 有理数的加减乘除混合运算） 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是2024年新人教版七年级上册数学第二章《有理数的运算》中的2.2.2有理数的除法（第2课时 有理数的加减乘除混合运算）. 具体包含以下内容：1.有理数的乘除混合运算；2.有理数的加减乘除混合运算（无括号与有括号）；3.有理数的加减乘除混合运算的实际应用. 2.内容解析 乘除混合运算是有理数加减乘除混合运算中的重要组成部分，是连接单一乘、除运算与完整混合运算的过渡环节.它既遵循乘、除各自的运算法则（如确定积或商的符号、计算绝对值），又有自身的运算逻辑 —— 从左到右的顺序性.将除法转化为乘法的方法，不仅简化了运算过程，还体现了数学中的转化思想，让学生学会将新的运算形式转化为已掌握的运算形式. 有理数的加减乘除混合运算是在学生掌握了有理数的加、减、乘、除各自运算法则基础上展开的，是数的运算的进一步深入和综合应用.它不仅是对前面所学单一运算的整合，更是后续学习代数式运算、方程、函数等知识的重要基石. 整体来看，通过学习混合运算，能培养学生的运算能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力.混合运算顺序的规定是为了保证运算结果的唯一性和准确性，这一规则与小学所学混合运算顺序类似，但数的范围扩充到了有理数，增加了符号判断的复杂性. 有理数的加减乘除混合运算实际应用，是指将生活中的数量关系转化为含有理数的加减乘除混合运算式子，通过运算解决实际问题.这一应用是混合运算知识的价值体现，能让学生体会 “数学源于生活、用于生活”.它要求学生先从实际情境中提取关键数据（包括正数、负数所代表的实际意义），再依据数量关系确定运算顺序，最终通过准确运算得出结果并解释其实际含义. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能熟练地进行有理数的加减乘除混合运算. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）能运用运算律简化有理数的除法运算，能进行乘除混合运算. （2）掌握有理数的加减乘除混合运算的法则和运算顺序，能够熟练进行混合运算. （3）能运用有理数的运算解决简单的实际问题. 2.目标解析 对于目标（1），通过对运算律在有理数除法及乘除混合运算中应用的举例与练习，学生能运用运算律（如乘法交换律、结合律等）简化有理数的除法运算，会按照乘除混合运算顺序准确进行相关运算，提高运算的简洁性和效率. 对于目标（2），通过对有理数加减乘除混合运算的法则、运算顺序的学习以及不同类型练习题的训练，学生能熟练掌握混合运算的法则和运算顺序，会根据式子特点选择合适的运算步骤，熟练、准确地完成混合运算，减少运算错误. 对于目标（3），通过对实际生活中与有理数运算相关问题的分析、抽象和解决过程，学生能从实际情境中提取有用的数学信息，会将实际问题转化为有理数运算的数学模型，运用有理数的运算解决简单的实际问题，并能对运算结果的实际意义进行合理说明. 三、教学问题诊断分析 1.运算顺序混淆：尽管有小学混合运算顺序的基础，但在有理数运算中，由于涉及负数，符号判断干扰大，学生容易忘记 “先乘除，后加减”“同级运算从左至右”“有括号先算括号内” 的规则，尤其是在乘除混合运算中，可能忽略从左到右的顺序或不会灵活运用除法转乘法的方法，导致运算顺序出错.​ 2.符号处理错误：有理数运算中符号变化复杂，在乘除运算中确定积或商的符号，以及在加减运算中处理正负号的合并，学生容易出错.​ 3.对实际问题的理解和建模困难：将实际生活问题转化为有理数混合运算模型，需要学生具备一定的阅读理解和分析能力.部分学生难以从复杂的实际情境中提取关键信息，准确建立数学模型，从而无法正确解决问题. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：巧用运算律简化有理数的加减乘除混合运算. 四、教学过程设计 （一）复习回顾 有理数的除法法则 【设计意图】复习有理数除法法则，可唤醒学生对商的符号、绝对值计算等要点的记忆，为乘除混合运算打基础，同时实现新旧知识衔接，降低新课理解难度. （二）新知引入 问题1：我们目前都学习了哪些运算？ 加法、减法、乘法、除法． 【定义】有理数的加、减、乘、除运算，称为有理数的加减乘除混合运算． 问题2：小学所学的混合运算的顺序是怎样的？ 先乘除，后加减，同级运算从左到右；有括号要先算括号里的，再算括号外的． 括号计算顺序：从内到外，从小到大：先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【思考】这个运算顺序在初中阶段是否仍然适用？ 【设计意图】通过提问回顾已学运算及小学混合运算顺序，自然引出有理数加减乘除混合运算的定义，实现小学与初中知识的衔接.同时，以 “运算顺序是否适用” 引发思考，激发学生探究兴趣，为后续学习初中混合运算规则奠定认知基础. （三）典型例题 一、有理数的乘除混合运算： 例1　计算：(1)( −125 )÷(−5) 【思考】是将－125先化成假分数再运算吗？有没有简便运算的方法？ 【观察分析】两数相除，同号得正，得125÷5；带分数125可拆为125+，125÷5直接得整数，÷5直接约去分子的5，但除法没有分配律，所以先将除法转化为乘法再使用分配律，由此可以简化运算. 解：原式= 125 ÷5………………………………两数相除，同号得正 = 125×…………………………………………把除法转化为乘法 =( 125 + )×…………………………………把带分数拆为整数+分数 = 125× + ×…………………………………使用分配律 =25 + =25 【小结】因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律简化运算. (2) －2.5÷4×(−) 【思考】能先算 4×(－) 吗？乘除混合运算顺序是怎样的？ 不能！本题为乘除混合运算，同级运算按从左到右的顺序进行！ 解：原式= ×× …偶数个负号，结果为正；把小数化为分数；把除法转化为乘法 = 【小结】乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果. 注意：同级运算从左到右！想一想：27怎么拆能简便运算？ 【针对练习】 计算：(1) (－36) ÷9 (2) 27 ÷(－4) (3) (−12)÷(−4)÷(−1) (4) (−) × 8/5 ÷(−0.25)(4)(−) ×  ÷(−0.25) =  ×  ×4 = . (3)(−12)÷(−4)÷(−1) ＝−12÷4÷ ＝−3× =−. (2) 27÷(－4) ＝−(28－) × ＝−(28 ×  － × 1/4) ＝−(7－) ＝−6. 解：(1) (－36) ÷9 ＝−(36+) × ＝−(36 ×  + × ) ＝−(4+)可整除的不需要化为乘法！ ＝−4. 【小结】有理数的乘除混合运算的注意事项： （1）运算顺序：在没有统一成乘法运算之前，必须遵循从左到右的顺序，统一成乘法运算后才可以运用乘法运算律改变运算顺序. （2）约分：通常把小数化为分数，带分数化为假分数，计算时便于约分. 二、有理数的加减乘除混合运算（无括号） 例2　计算： (1) −8+4÷(−2)； (2) (−7)×(−5)−90÷(−15). 分析：本题为有理数加减乘除混合运算，无括号，与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行. 解：(1) −8+4÷(−2) =−8+(−2) =−10. (2) (−7)×(−5)−90÷(−15) =35−(−6)=35+6=41. 【针对练习】计算：（1）6−(−12)÷(−3)；（2）3×(−4)＋(−28)÷7； （3）(−48)÷8−(−25)×(−6)；（4）42×(−)+(−)÷(−0.5)(2) 3×(−4)+(−28)÷7 =−3×4+[−(28÷7)] =−12+(−4) =−16; 解：(1) 6−(−12)÷(−3) =6−12÷3 =6−4 =2;(4) 42×(−)+(−)÷(−0.5) =−42×  +×2 =−28+  =−26 . (3) (−48)÷8−(−25)×(−6) =−48÷8−25×6 =−6−150 =−156; 三、有理数的加减乘除混合运算（有括号） 例3 用两种方法计算 ( − ) × 6 + ÷ ( − ) 解法一：( − ) × 6 + ÷ ( − )有括号，先算括号里面的 =(− ) × 6 + ÷ (− ) =－1＋(－1) =－2 解法二：( − ) × 6 + ÷ ( − )第一个括号可用分配律；第二个括号在除数的位置，除法没有分配律，必须先算括号里的！ =( × 6 − × 6) + ÷ ( − ) =(2－3)＋(－1) =－2 【针对练习】计算： （1）(－＋)÷(－)－|－0.5×8|. 解：原式＝(－＋)×(－24)－4 ＝－×24＋×24－×24－4 ＝－18＋20－21－4 ＝－23. （2）－5＋÷(－)×(－2.8). 解：原式＝－5＋×(－)×（－2.8） ＝－5＋×2.8 ＝－5＋2 ＝－3. 【小结】有理数加减乘除混合运算的顺序： 1.先算乘除，再算加减； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.如有括号，先算括号内的； 4.能用运算律的，应利用运算律. 四、有理数加减乘除混合运算的实际应用 例4 某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—6月平均每月盈利32万元，7月—10月平均每月盈利21.7万元，11月—12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？ 解：记盈利额为正数，亏损额为负数. 由 (−1.5)×3+32×3+21.7×4+(−2.3)×2 =−4.5+96+86.8−4.6 =173.7 可知，这个公司去年全年盈利173.7万元. 【针对练习】某粮食加工厂从生产的粮食中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，结果记录如下表，求这20袋粮食的总质量． 解：(－0.5)×8＋(－0.2)×4＋0.4×5＋0.5×3＋20×50 ＝－4－0.8＋2＋1.5＋1 000 ＝998.7(千克)． 答：这20袋粮食的总质量为998.7千克． 【计算器使用示例】计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多. 例如，可以用计算器计算例4中的 (−1.5)×3+32×3+21.7×4+(−2.3)×2. 显示结果为173.7，就可以得到答案173.7. 不同品牌计算器的操作方法可能有所不同，具体参见计算器的使用说明. 【针对练习】 用计算器计算： (1)357+(−154)+26+(−212)=17 (2)−5.13+4.62+(−8.47)−(−2.3)=−6.68 (3)26×(−41)+(−35)×(−17)=−471 (4)1.252÷(−4)−(−356)÷(−2)=−178.313 【设计意图】通过分类型的典型例题及针对练习，引导学生在具体运算中掌握有理数乘除混合运算、加减乘除混合运算（含括号与不含括号）的规则、顺序及简化技巧，明确运算注意事项.结合实际应用例题，让学生学会用所学运算解决实际问题，同时通过计算器使用示例，辅助复杂运算，全面提升运算能力与应用能力. （四）当堂巩固 1．计算32÷(－8)×的结果是(　D　) A．－32     B．32     C.－2     D．－ 2．计算（－7）×3＋10的结果是（　D　） A．31 B．－31 C．11 D．－11 3．计算（－5）－（－6）÷2的结果是（　A　） A．－2 B．2 C．8 D．－8 4．阅读下面的解答过程并完成相应任务： 计算：(－15)÷(－＋)÷. 解：原式＝(－15)÷(－)×6 ………………….第一步 ＝(－15)÷(－1)……………………………第二步 ＝－15.…………………………………..…第三步 (1)上面的解答过程有两处错误： 第一处是第 二 步，错误原因是__乘除是同级运算，除法在前应先算除法__； 第二处是第 三 步，错误原因是____两数相除，同号为正____． (2)正确的计算结果是____540____． 5．在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩“24点”游戏．游戏规则如下：从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取四张，将牌面上的4个数字进行加、减、乘、除四则运算(每个数只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌(红桃和方块)上的数字代表负数，黑色扑克牌(黑桃和梅花)上的数字代表正数．小明抽到的四张牌分别是黑桃1、黑桃3、梅花4、梅花6，小明凑成的“24点”算式为6÷(1－3÷4)＝24；小刚抽到的四张牌分别是黑桃3、红桃4、方块6、梅花10，则小刚凑成的“24点”算式为___3×[10－(－4)＋(－6)]＝24(答案不唯一)__． 【设计意图】通过不同类型的当堂巩固题，检验学生对有理数乘除、加减乘除混合运算规则及顺序的掌握程度.其中计算题为基础检测，纠错题为深化理解运算顺序和符号规则，“24 点” 游戏题则提升灵活运用运算解决问题的能力，全方位巩固所学，及时发现不足. （五）课堂总结 本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？ 【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法. 五、教学反思 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$