22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质 第二十二章 二次函数 学 习 目 标 1.利用描点法画二次函数y=图象. 2.通过观察图象能说出二次函数y=ax²的图象特征和性质. 3.由二次函数y=（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=（a<0）的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法. 函数 一般表达式 图像 举例 一次函数 正比例函数 y=kx+b（k≠0） y=kx（k≠0） 二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0） y=2x+4 y=x y=x2 直线 直线 y=2x+4 y=x 前面我们学习过一次函数的解析式及其图像： 那么二次函数的图像应当如何去画呢？ ？ 复习引入 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象.（列表、描点、连线） 9 4 1 0 1 9 4 1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象． 互动新授 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 3 6 9 y O -3 3 x 从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2. 实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c. 互动新授 2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫做物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点. 思考 1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？ ___，如果是，它的对称轴是_____. 是 y轴 (0,0) 顶点 低 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.   3 6 9 y O -3 3 x 互动新授 3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的_____，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_____，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 3 6 9 y O -3 3 x 互动新授 例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象. 解：1.分别列表，再画出它们的图象. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 典例精析 y=2x2 y= x2 1 2 思考 （1）函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点？ （2）当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ 一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 典例精析 探究 （1）在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点. （2）当a＜0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ y=- x2 1 2 y=-2x2 一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 互动新授 函数 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 函数增减性 最值 y=ax2 a>0 a<0 a 与抛 物线 开口 关系 1.二次项系数a的符号决定抛物线的开口_____:①当时，抛物线开口_____；②当时，抛物线开口_____. 2.|a|的大小决定开口的______：①|a|越大，抛物线的开口_______；②|a|越小，抛物线的开口_______． 向上 向下 (0,0) y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. 当x=0时，y最小=0 当x=0时，y最大=0 方向 向上 向下 大小 越小 越大 总结归纳 1.函数y=-x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 . 2.函数y=-5x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ,顶点是抛物线的最 点. 3.函数y=πx2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ,顶点是抛物线的最 点. 4.函数y=－0.9x2的图象的开口 ,对称轴是______,顶点是 . 向下 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 小试牛刀 1.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号） （1）y=3x2的图象是_______； （2）y=x2的图象是_______； （3）y=-x2的图象是_______； （4）y=-x2的图象是_______． ③ ① ④ ② 课堂检测 解：∵二次函数y=ax2的图象开口向上， ∴a＞0； 又∵直线y=ax-1与y轴负半轴相交， ∴y=ax-1经过的象限是第一、三、四象限． 2.已知二次函数的图象开口向上，则直线经过的象限是（　　） A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 D 课堂检测 3.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8). (1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上; 解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2, 得-8=a(-2)2,解出a=-2, 所求函数解析式为y=-2x2. （2）把x=-1代入y=-2x2, 解得y=-2, 因为-2≠-4， 所以点B（-1，-4）不在此抛物线上. 课堂检测 解：∵函数为二次函数， ∴m2-3m-2=2，且m-20， 解得，m1=4，m2=-1． （1）∵其函数图象开口向上，∴m-2＞0，解得m＞2，∴m=4． ∴函数关系式为y=2x2； （2）∵当x≥0时，y随x的增大而减小，∴m-2＜0，∴m＜2，∴m=-1， ∴函数关系式为y=-3x2． 1.函数为二次函数， （1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式； （2）若当时，y随x的增大而减小，求函数的解析式． 拓展训练 函数 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 函数增减性 最值 y=ax2 a>0 a<0 a 与抛 物线 开口 关系 1.二次项系数a的符号决定抛物线的开口_____:①当时，抛物线开口_____；②当时，抛物线开口_____. 2.|a|的大小决定开口的______：①|a|越大，抛物线的开口_______；②|a|越小，抛物线的开口_______． 向上 向下 (0,0) y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. 当x=0时，y最小=0 当x=0时，y最大=0 方向 向上 向下 大小 越小 越大 课堂小结 1.对于抛物线y=-3x2，下列说法正确的是（ ） A.开口向上，对称轴是x轴 B.开口向上，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴是x轴 D.开口向下，对称轴是y轴 2.苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足，则s与t的函数图像大致是（ ） 3.若抛物线y=（m+3）x2的开口向上，则m的取值范围是（ ） A.m≥-3 B.m＞-3 C.m＜-3 D.m≤-3 D B B 课后作业 4.已知y=(m+1)xm2-2m-1是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式. 解：依题意有 m+1>0， ① m2-2m-1=2. ② 由①得 m>-1. 解②得 m1=-1，m2=3. ∴ m=3. 此时，二次函数的解析式为 y=4x2. 课后作业 解：（1）∵函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数， ∴k满足，且k﹣2≠0， ∴解得：； 1.已知函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的k的值； （2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？ 培优作业 解：（2）∵抛物线有最高点，∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，∴k＝1， ∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大． （3）∵函数有最小值，∴图象开口向上，即k﹣2＞0，∴k＝3， ∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小． 1.已知函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的k的值； （2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？ 培优作业 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$