13.选择性必修1 第三章 圆锥曲线的方程(教师版)-【高中数学】5年(2021-2025)真题按章分类

【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 27个单选题 + 7个多选题 + 19个填空题 + 22个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)抛物线的焦点到直线的距离为，则(  ) A.1 B.2 C. D.4 2.(2021高考·全国)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是(  ) A. B. C. D. 3.(2021高考·全国)点到双曲线的一条渐近线的距离为(  ) A. B. C. D. 4.(2021高考·全国)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为(  ) A. B. C. D. 5.(2021高考·全国)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为(  ) A.13 B.12 C.9 D.6 6.(2021高考·北京)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为(  ) A. B. C. D. 7.(2021高考·天津)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若.则双曲线的离心率为(  ) A. B. C.2 D.3 8.(2022高考·全国)已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为(  ) A. B. C. D. 9.(2022高考·全国)椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线的斜率之积为，则C的离心率为(  ) A. B. C. D. 11.(2022高考·天津)已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为(  ) A. B. C. D. 12.(2023高考·全国)设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则(  ) A.1 B.2 C.4 D.5 13.(2023高考·全国)设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则(  ) A. B. C. D. 14.(2023高考·全国)已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则(  ) A. B. C. D. 15.(2023高考·全国)设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(  ) A. B. C. D. 16.(2023高考·全国)设椭圆的离心率分别为.若，则(  ) A. B. C. D. 17.(2023高考·全国)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则(  ) A. B. C. D. 18.(2023高考·北京)已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则(  ) A.7 B.6 C.5 D.4 19.(2023高考·天津)双曲线的左、右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为.已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为(  ) A. B. C. D. 20.(2024高考·全国)已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A.4 B.3 C.2 D. 21.(2024高考·全国)已知曲线C：()，从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( ) A.() B.() C.() D.() 22.(2024高考·天津)双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 23.(2025高考·全国一卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为(  ) A. B.2 C. D. 24.(2025高考·全国二卷)设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 25.(2025高考·上海)已知，C在上，则的面积(  ) A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 26.(2025高考·天津)双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率(  ) A.2 B.5 C. D. 27.(2025高考·北京)双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 二、多选题 28.(2022高考·全国)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则(  ) A.直线的斜率为 B. C. D. 29.(2022高考·全国)双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为(  ) A. B. C. D. 30.(2023高考·全国)设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(  ) A. B. C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形 31.(2024高考·全国)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ) A. B.点在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点在C上时， 32.(2024高考·全国)抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则( ) A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时， C.当时， D.满足的点有且仅有2个 33.(2025高考·全国一卷)设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则(  ) A. B. C. D. 34.(2025高考·全国二卷)双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则(  ) A. B. C.C的离心率为 D.当时，四边形的面积为 三、填空题 35.(2021高考·全国)若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程__________. 36.(2021高考·全国)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为__________. 37.(2021高考·全国)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________. 38.(2021高考·全国)双曲线的右焦点到直线的距离为__________. 39.(2021高考·全国)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为__________. 40.(2022高考·全国)记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值__________. 41.(2022高考·全国)若双曲线的渐近线与圆相切，则__________. 42.(2022高考·全国)已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________. 43.(2022高考·北京)已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 44.(2023高考·全国)已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为__________. 45.(2023高考·全国)已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上，点在轴上，，则的离心率为__________. 46.(2023高考·北京)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为__________. 47.(2023高考·天津)过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为__________. 48.(2024高考·全国)设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 . 49.(2024高考·北京)若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 . 50.(2024高考·北京)抛物线的焦点坐标为 . 51.(2024高考·上海)已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 . 52.(2024高考·天津)圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 . 53.(2025高考·北京)已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 . 四、解答题 54.(2021高考·全国)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是。 55.(2021高考·全国)抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且.已知点，且与l相切。 (1)求C，的方程； (2)设是C上的三个点，直线，均与相切.判断直线与的位置关系，并说明理由。 56.(2021高考·全国)已知抛物线的焦点F到准线的距离为2。 (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值。 57.(2021高考·北京)已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围。 58.(2022高考·全国)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为。 (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③。 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。 59.(2022高考·全国)设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，。 (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时，求直线AB的方程。 60.(2022高考·全国)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点。 (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点。 61.(2022高考·北京)已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值。 62.(2023高考·全国)已知直线与抛物线交于两点，且。 (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值。 63.(2023高考·全国)已知椭圆的离心率是，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点。 64.(2023高考·全国)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为。 (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点在定直线上。 65.(2023高考·北京)已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，。 (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.求证：。 66.(2023高考·天津)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知。 (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程。 67.(2024高考·全国)已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴. 68.(2024高考·全国)已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程. 69.(2024高考·北京)已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 70.(2024高考·上海)已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 71.(2025高考·全国一卷)设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足。 (i)设，求点的坐标(用m，n表示)； (ⅱ)设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值. 72.(2025高考·全国二卷)已知椭圆的离心率为，长轴长为4。 (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求。 73.(2025高考·北京)已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B.设与的面积分别为，比较与的大小。 74.(2025高考·天津)已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为。 (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分。 75.(2025高考·上海)已知椭圆，，A是的右顶点. (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围。 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 参考答案及解析 一、单选题 1.B 抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)。 2.C 设，由，因为 ，，所以，因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立。 3.A 由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：。 4.A 因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为，由余弦定理可得，整理可得，所以，即。 5.C 由题，，则，所以(当且仅当时，等号成立)。 6.B ，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为. 7.A 设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以，又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率。 8.B 因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为。 9.A 【方法一】：设而不求，设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率。 【方法二】：第三定义，设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率。 10.(2022高考·全国)设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则(  ) A.2 B. C.3 D. 10.B 由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以。 11.C 抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为。 12.B 方法一：因为，所以，从而，所以。 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以。 13.B 方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此。 方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即。 方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：。 14.D 由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长。 15.D 设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以，可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，A错误。可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，B错误。可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，C错误。，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，D正确。 16.A 由，得，因此，而，所以。 17.C 将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或(舍去)。 18.D 因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故。 19.D 如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以。设，则，所以，所以。因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为。 20.C 由题意，设、、， 则，，， 则，则. 21.A 设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即即点的轨迹方程为. 22.C 如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得， 因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为. 23.D 设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，于是，则，即。 24.C 对，令，则，所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得所以，C正确。 25.A 设曲线上一点为，则，则，，方程为：，即，根据点到直线的距离公式，到的距离为：，设，由于，显然关于单调递减，，无最小值，即中，边上的高有最大值，无最小值，又一定，故面积有最大值，无最小值。 26.A 根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则，由双曲线的定义及已知条件可知，则，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即离心率为2，故选A。 27.B 由得，，所以，即，所以。 二、多选题 28.ACD 易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确。由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误。由抛物线定义知：，C正确。，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确。 29.AC 【方法一】：几何法，双曲线定义的应用 情况一 M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，， ，设，由即，则，。 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，， ，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率。 【方法二】：答案回代法 特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支，，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则。 【方法三】：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率。 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故， 30.AC 直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为，A入选。设，由消去并化简得，解得，所以，B错误。设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C正确。直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D错误。 31.ABD 对于A：设曲线上的动点，则且，因为曲线过坐标原点，故，解得，A正确.对于B：又曲线方程为，而，故.当时，，故在曲线上，B正确.对于C：由曲线的方程可得，取，则，而，故此时，故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，C错误.对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，故，D正确。 32.ABD 对于A，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A正确；对于B，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B正确；对于C，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C错误；对于D，利用抛物线定义转化。根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D正确. 33.ACD 法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，A正确。对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，B错误。对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，C正确。对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，D正确。 法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，A正确。对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，B错误。对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，C正确。对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，D正确。 34.ACD 不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，A正确。对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，设，则，故，故，由A得，故即，B错误。 方法二：因为，因为双曲线中，，则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，，即，则，则为直角三角形，且，则，B错误。对于C，方法一：因为，故，由B可知，故即，故离心率，C正确。 方法二：因为，则，则，C正确。对于D，当时，由C可知，，故，故四边形为，D正确。 三、填空题 35. 由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为。 36.4 由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得(舍去)，，故焦距。 37.8 因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以， ，即四边形面积等于。 38. 由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为。 39. 抛物线： ()的焦点，∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为，不妨设，因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以 ，，所以的准线方程为 40.2(满足皆可) 解：，所以C的渐近线方程为，结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以。 41. 双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或(舍去)。 42.13 ∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为。 43. 对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得。 44. 由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为。 45./ 方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或(舍去)，所以，，则，故，所以在中，，整理得，故。 方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以 ，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或(舍去)，故。 46. 令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为。 47.6 易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：.当时，同理可得。 48. 由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以. 49.(或，答案不唯一) 联立，化简并整理得：，由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：(或，答案不唯一). 50. 由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 51. 由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为. 52./ 圆的圆心为，故即，由可得，故或(舍)，故，故直线即或，故原点到直线的距离为. 53.6 因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故。 四、解答题 54.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为。 (2)由(1)得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以，所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以 ，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是。 55.【答案】(1)抛物线，方程为 (2)证明见解析 【解析】(1)依题意设抛物线，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为。 (2)【方法一】：设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意，若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切。 【方法二】：设，当时，同解法1.当时，直线的方程为，即。由直线与相切得，化简得，同理，由直线与相切得，因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为，所以直线与相切，综上所述，若直线与相切，则直线与相切。 56.【答案】(1) (2)最大值为 【解析】(1)抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为。 (2)【方法一】：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为。 【方法二】：轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为.设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值.联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为. 【方法三】：轨迹方程+换元求最值法，同方法一得点Q的轨迹方程为.设直线的斜率为k，则.令，则的对称轴为，所以.故直线斜率的最大值为. 【方法四】：参数+基本不等式法，由题可设，因为，所以。于是，所以则直线的斜率为。当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为。 57.【答案】(1) (2)或 【解析】(1)因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：。 (2) 设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，综上，或。 58.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)右焦点为，∴，∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴.∴C的方程为：。 (2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为，直线方程为，则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为，联立消去y并化简整理得：设，线段中点为，则，设，则条件③等价于，移项并利用平方差公式整理得：，，即，即；由题意知直线的斜率为， 直线的斜率为，∴由，∴，所以直线的斜率，直线，即，代入双曲线的方程，即中，得：，解得的横坐标：，同理：，∴∴，∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：，∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①由②③解得：，，∴，∴，∴①成立。 59.【答案】(1) (2) 【解析】(1)抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为。 (2)【方法一】：【最优解】直线方程横截式设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线。 【方法二】：直线方程点斜式，由题可知，直线MN的斜率存在，设，直线由 得：，，同理，.直线MD：，代入抛物线方程可得：，同理，，代入抛物线方程可得:，所以，同理可得，由斜率公式可得：。(下同方法一)若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线。 【方法三】：三点共线，设，设，若 P、M、N三点共线，由所以，化简得，反之，若，可得MN过定点因此，由M、N、F三点共线，得，由M、D、A三点共线，得，由N、D、B三点共线，得，则，AB过定点(4，0)(下同方法一)若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，所以直线。 60.【答案】(1) (2) 【解析】(1)解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：。 (2) ，所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设，联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点。 61.【答案】(1) (2) 【解析】(1)解：依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为。 (2)解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得。 62.【答案】(1) (2) 【解析】(1)设，由可得，，所以，所以， 即，因为，解得：。 (2)因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或.设点到直线的距离为，所以，，所以的面积，而或，所以，当时，的面积。 63.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)由题意可得，解得，所以椭圆方程为。 (2)由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即，同理可得，则 ，所以线段的中点是定点。 64.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为。 (2)由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则。 直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动。 65.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)依题意，得，则，又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，所以，即，则，所以椭圆的方程为。 (2)因为椭圆的方程为，所以，因为为第一象限上的动点，设，则。 易得，则直线的方程为，，则直线的方程为，联立，解得，即，而，则直线的方程为，令，则，解得，即，又，则，，所以，又，即，显然，与不重合，所以。 66.【答案】(1) (2) 【解析】(1)椭圆的方程为，离心率为，如图， 由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为。 (2)由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，，所以，，，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为。 67.【答案】(1) (2)证明见解析。 【解析】(1)设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为. (2)直线的斜率必定存在，设，，， 由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以，故，即轴. 68.【答案】(1) (2)直线的方程为或 【解析】(1)由题意得，解得，所以. (2)解法一：，则直线的方程为，即，，由(1)知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：，则，解得或，当时，联立，解得或，即或，当时，此时，直线的方程为，即，当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立得，，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或. 解法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，则，解得或，即或，以下同法一. 解法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，其中，则有，联立，解得或，即或，以下同法一； 解法四：当直线的斜率不存在时，此时，，符合题意，此时，直线的方程为，即，当线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程有，则，其中，即，解得或，，，令，则，则同解法一得到直线的方程为，点到直线的距离，则，解得，此时，则得到此时，直线的方程为，即，综上直线的方程为或. 解法五：当的斜率不存在时，到距离，此时不满足条件.当的斜率存在时，设，令，，消可得，，且，即，，到直线距离，或，均满足题意，或，即或. 解法六：当的斜率不存在时，到距离，此时不满足条件.当直线斜率存在时，设，设与轴的交点为，令，则，联立，则有，，其中，且，则，则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.则直线为或，即或. 69.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为； (2)直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，，联立，化简并整理得，由题意，即应满足，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线方程中令，得，所以，此时应满足，即应满足或，综上所述，满足题意，此时或. 70.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)由题意得，则，. (2)当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则 , 联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知，矛盾，舍去)；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即.综上所述：. (3)由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有，显然二次项系数，其中，①，②， ，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,且，解得，又因为，则，综上知，，. 71.【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【解析】(1)由题可知，，所以，解得，故椭圆C的标准方程为。 (2)(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且因为，，所以，即，解得，所以，所以点的坐标为。 法二：设，则，所以，，故点的坐标为。 (ⅱ)因为，，由，可得，化简得，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上(除去两个点)，为到圆心的距离加上半径。 法一：设，所以 ，当且仅当时取等号，所以。 法二：设，则，，当且仅当时取等号，故。 72.【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：。 (2) 由题设直线的斜率不为0，故设直线，，由可得，故即，且，故，解得，故。 73.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由椭圆可知，，所以，又，所以，，故椭圆E的方程为。 (2)联立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化简为，即，所以，所以直线与椭圆相切，为切点.设，易知，当时，由对称性可知，.故设，易知，联立，解得，联立，解得，所以，，故。 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，，故设，联立，解得，联立，解得，若，则，由对称性，不妨取，则，，，所以，同理，当时，，当时，则，，，又，所以，所以，，则，即，所以。 74.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)依题意，设椭圆的半焦距为，则左焦点，右顶点，离心率，即，因为为上一点，设，又直线的斜率为，则，即，所以，解得，则，即，因为的面积为，，高为，所以，解得，则，，所以椭圆的方程为。 . (2)由(1)可知，，，易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，联立，消去得，，因为直线与椭圆有唯一交点，所以，即，则，解得，则，所以直线的方程为，联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则，所以，，则，又，所以，即平分。 法二：所以，，，由两直线夹角公式，得，，则，又，所以，即平分。 法三：则，，故，又，所以，即平分。 法四：则，所以直线的方程为，即，则点到直线的距离为，又点到直线的距离也为，所以平分。 75.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)由题意知，，则，由右焦点，可知，则，故离心率。 (2)由题意，由得，，解得，代入，得，又，解得。 (3)由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，则，解得，由得中点坐标为，故直线，显然直线过椭圆内点，故直线与椭圆恒有两不同交点，设，由消得，由韦达定理得，因为为钝角，则，且，则有，所以，即，解得，又，故，即的取值范围是。 14 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 27个单选题 + 7个多选题 + 19个填空题 + 22个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)抛物线的焦点到直线的距离为，则(  ) A.1 B.2 C. D.4 1.B 抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)。 2.(2021高考·全国)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是(  ) A. B. C. D. 2.C 设，由，因为 ，，所以，因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立。 3.(2021高考·全国)点到双曲线的一条渐近线的距离为(  ) A. B. C. D. 3.A 由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：。 4.(2021高考·全国)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为(  ) A. B. C. D. 4.A 因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为，由余弦定理可得，整理可得，所以，即。 5.(2021高考·全国)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为(  ) A.13 B.12 C.9 D.6 5.C 由题，，则，所以(当且仅当时，等号成立)。 6.(2021高考·北京)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为(  ) A. B. C. D. 6.B ，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为. 7.(2021高考·天津)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若.则双曲线的离心率为(  ) A. B. C.2 D.3 7.A 设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以，又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率。 8.(2022高考·全国)已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为(  ) A. B. C. D. 8.B 因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为。 9.(2022高考·全国)椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线的斜率之积为，则C的离心率为(  ) A. B. C. D. 9.A 【方法一】：设而不求，设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率。 【方法二】：第三定义，设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率。 10.(2022高考·全国)设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则(  ) A.2 B. C.3 D. 10.B 由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以。 11.(2022高考·天津)已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为(  ) A. B. C. D. 11.C 抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为。 12.(2023高考·全国)设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则(  ) A.1 B.2 C.4 D.5 12.B 方法一：因为，所以，从而，所以。 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以。 13.(2023高考·全国)设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则(  ) A. B. C. D. 13.B 方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此。 方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即。 方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：。 14.(2023高考·全国)已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则(  ) A. B. C. D. 14.D 由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长。 15.(2023高考·全国)设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(  ) A. B. C. D. 15.D 设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以，可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，A错误。可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，B错误。可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，C错误。，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，D正确。 16.(2023高考·全国)设椭圆的离心率分别为.若，则(  ) A. B. C. D. 16.A 由，得，因此，而，所以。 17.(2023高考·全国)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则(  ) A. B. C. D. 17.C 将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或(舍去)。 18.(2023高考·北京)已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则(  ) A.7 B.6 C.5 D.4 18.D 因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故。 19.(2023高考·天津)双曲线的左、右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为.已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为(  ) A. B. C. D. 19.D 如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以。设，则，所以，所以。因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为。 20.(2024高考·全国)已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A.4 B.3 C.2 D. 20.C 由题意，设、、， 则，，， 则，则. 21.(2024高考·全国)已知曲线C：()，从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( ) A.() B.() C.() D.() 21.A 设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即即点的轨迹方程为. 22.(2024高考·天津)双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 22.C 如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得， 因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为. 23.(2025高考·全国一卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为(  ) A. B.2 C. D. 23.D 设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，于是，则，即。 24.(2025高考·全国二卷)设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 24.C 对，令，则，所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得所以，C正确。 25.(2025高考·上海)已知，C在上，则的面积(  ) A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 25.A 设曲线上一点为，则，则，，方程为：，即，根据点到直线的距离公式，到的距离为：，设，由于，显然关于单调递减，，无最小值，即中，边上的高有最大值，无最小值，又一定，故面积有最大值，无最小值。 26.(2025高考·天津)双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率(  ) A.2 B.5 C. D. 26.A 根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则，由双曲线的定义及已知条件可知，则，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即离心率为2，故选A。 27.(2025高考·北京)双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 27.B 由得，，所以，即，所以。 二、多选题 28.(2022高考·全国)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则(  ) A.直线的斜率为 B. C. D. 28.ACD 易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确。由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误。由抛物线定义知：，C正确。，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确。 29.(2022高考·全国)双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为(  ) A. B. C. D. 29.AC 【方法一】：几何法，双曲线定义的应用 情况一 M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，， ，设，由即，则，。 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，， ，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率。 【方法二】：答案回代法 特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支，，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则。 【方法三】：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率。 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故， 30.(2023高考·全国)设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(  ) A. B. C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形 30.AC 直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为，A入选。设，由消去并化简得，解得，所以，B错误。设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C正确。直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D错误。 31.(2024高考·全国)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ) A. B.点在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点在C上时， 31.ABD 对于A：设曲线上的动点，则且，因为曲线过坐标原点，故，解得，A正确.对于B：又曲线方程为，而，故.当时，，故在曲线上，B正确.对于C：由曲线的方程可得，取，则，而，故此时，故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，C错误.对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，故，D正确。 32.(2024高考·全国)抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则( ) A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时， C.当时， D.满足的点有且仅有2个 32.ABD 对于A，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A正确；对于B，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B正确；对于C，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C错误；对于D，利用抛物线定义转化。根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D正确. 33.(2025高考·全国一卷)设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则(  ) A. B. C. D. 33.ACD 法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，A正确。对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，B错误。对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，C正确。对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，D正确。 法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，A正确。对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，B错误。对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，C正确。对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，D正确。 34.(2025高考·全国二卷)双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则(  ) A. B. C.C的离心率为 D.当时，四边形的面积为 34.ACD 不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，A正确。对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，设，则，故，故，由A得，故即，B错误。 方法二：因为，因为双曲线中，，则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，，即，则，则为直角三角形，且，则，B错误。对于C，方法一：因为，故，由B可知，故即，故离心率，C正确。 方法二：因为，则，则，C正确。对于D，当时，由C可知，，故，故四边形为，D正确。 三、填空题 35.(2021高考·全国)若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程__________. 35. 由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为。 36.(2021高考·全国)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为__________. 36.4 由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得(舍去)，，故焦距。 37.(2021高考·全国)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________. 37.8 因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以， ，即四边形面积等于。 38.(2021高考·全国)双曲线的右焦点到直线的距离为__________. 38. 由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为。 39.(2021高考·全国)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为__________. 39. 抛物线： ()的焦点，∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为，不妨设，因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以 ，，所以的准线方程为 40.(2022高考·全国)记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值__________. 40.2(满足皆可) 解：，所以C的渐近线方程为，结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以。 41.(2022高考·全国)若双曲线的渐近线与圆相切，则__________. 41. 双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或(舍去)。 42.(2022高考·全国)已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________. 42.13 ∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为。 43.(2022高考·北京)已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 43. 对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得。 44.(2023高考·全国)已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为__________. 44. 由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为。 45.(2023高考·全国)已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上，点在轴上，，则的离心率为__________. 45./ 方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或(舍去)，所以，，则，故，所以在中，，整理得，故。 方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以 ，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或(舍去)，故。 46.(2023高考·北京)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为__________. 46. 令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为。 47.(2023高考·天津)过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为__________. 47.6 易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：.当时，同理可得。 48.(2024高考·全国)设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 . 48. 由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以. 49.(2024高考·北京)若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 . 49.(或，答案不唯一) 联立，化简并整理得：，由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：(或，答案不唯一). 50.(2024高考·北京)抛物线的焦点坐标为 . 50. 由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 51.(2024高考·上海)已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 . 51. 由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为. 52.(2024高考·天津)圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 . 52./ 圆的圆心为，故即，由可得，故或(舍)，故，故直线即或，故原点到直线的距离为. 53.(2025高考·北京)已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 . 53.6 因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故。 四、解答题 54.(2021高考·全国)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是。 54.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为。 (2)由(1)得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以，所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以 ，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是。 55.(2021高考·全国)抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且.已知点，且与l相切。 (1)求C，的方程； (2)设是C上的三个点，直线，均与相切.判断直线与的位置关系，并说明理由。 55.【答案】(1)抛物线，方程为 (2)证明见解析 【解析】(1)依题意设抛物线，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为。 (2)【方法一】：设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意，若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切。 【方法二】：设，当时，同解法1.当时，直线的方程为，即。由直线与相切得，化简得，同理，由直线与相切得，因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为，所以直线与相切，综上所述，若直线与相切，则直线与相切。 56.(2021高考·全国)已知抛物线的焦点F到准线的距离为2。 (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值。 56.【答案】(1) (2)最大值为 【解析】(1)抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为。 (2)【方法一】：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为。 【方法二】：轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为.设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值.联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为. 【方法三】：轨迹方程+换元求最值法，同方法一得点Q的轨迹方程为.设直线的斜率为k，则.令，则的对称轴为，所以.故直线斜率的最大值为. 【方法四】：参数+基本不等式法，由题可设，因为，所以。于是，所以则直线的斜率为。当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为。 57.(2021高考·北京)已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围。 57.【答案】(1) (2)或 【解析】(1)因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：。 (2) 设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，综上，或。 58.(2022高考·全国)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为。 (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③。 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。 58.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)右焦点为，∴，∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴.∴C的方程为：。 (2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为，直线方程为，则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为，联立消去y并化简整理得：设，线段中点为，则，设，则条件③等价于，移项并利用平方差公式整理得：，，即，即；由题意知直线的斜率为， 直线的斜率为，∴由，∴，所以直线的斜率，直线，即，代入双曲线的方程，即中，得：，解得的横坐标：，同理：，∴∴，∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：，∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①由②③解得：，，∴，∴，∴①成立。 59.(2022高考·全国)设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，。 (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时，求直线AB的方程。 59.【答案】(1) (2) 【解析】(1)抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为。 (2)【方法一】：【最优解】直线方程横截式设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线。 【方法二】：直线方程点斜式，由题可知，直线MN的斜率存在，设，直线由 得：，，同理，.直线MD：，代入抛物线方程可得：，同理，，代入抛物线方程可得:，所以，同理可得，由斜率公式可得：。(下同方法一)若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线。 【方法三】：三点共线，设，设，若 P、M、N三点共线，由所以，化简得，反之，若，可得MN过定点因此，由M、N、F三点共线，得，由M、D、A三点共线，得，由N、D、B三点共线，得，则，AB过定点(4，0)(下同方法一)若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，所以直线。 60.(2022高考·全国)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点。 (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点。 60.【答案】(1) (2) 【解析】(1)解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：。 (2) ，所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设，联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点。 61.(2022高考·北京)已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值。 61.【答案】(1) (2) 【解析】(1)解：依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为。 (2)解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得。 62.(2023高考·全国)已知直线与抛物线交于两点，且。 (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值。 62.【答案】(1) (2) 【解析】(1)设，由可得，，所以，所以， 即，因为，解得：。 (2)因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或.设点到直线的距离为，所以，，所以的面积，而或，所以，当时，的面积。 63.(2023高考·全国)已知椭圆的离心率是，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点。 63.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)由题意可得，解得，所以椭圆方程为。 (2)由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即，同理可得，则 ，所以线段的中点是定点。 64.(2023高考·全国)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为。 (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点在定直线上。 64.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为。 (2)由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则。 直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动。 65.(2023高考·北京)已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，。 (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.求证：。 65.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)依题意，得，则，又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，所以，即，则，所以椭圆的方程为。 (2)因为椭圆的方程为，所以，因为为第一象限上的动点，设，则。 易得，则直线的方程为，，则直线的方程为，联立，解得，即，而，则直线的方程为，令，则，解得，即，又，则，，所以，又，即，显然，与不重合，所以。 66.(2023高考·天津)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知。 (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程。 66.【答案】(1) (2) 【解析】(1)椭圆的方程为，离心率为，如图， 由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为。 (2)由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，，所以，，，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为。 67.(2024高考·全国)已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴. 67.【答案】(1) (2)证明见解析。 【解析】(1)设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为. (2)直线的斜率必定存在，设，，， 由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以，故，即轴. 68.(2024高考·全国)已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程. 68.【答案】(1) (2)直线的方程为或 【解析】(1)由题意得，解得，所以. (2)解法一：，则直线的方程为，即，，由(1)知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：，则，解得或，当时，联立，解得或，即或，当时，此时，直线的方程为，即，当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立得，，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或. 解法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，则，解得或，即或，以下同法一. 解法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，其中，则有，联立，解得或，即或，以下同法一； 解法四：当直线的斜率不存在时，此时，，符合题意，此时，直线的方程为，即，当线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程有，则，其中，即，解得或，，，令，则，则同解法一得到直线的方程为，点到直线的距离，则，解得，此时，则得到此时，直线的方程为，即，综上直线的方程为或. 解法五：当的斜率不存在时，到距离，此时不满足条件.当的斜率存在时，设，令，，消可得，，且，即，，到直线距离，或，均满足题意，或，即或. 解法六：当的斜率不存在时，到距离，此时不满足条件.当直线斜率存在时，设，设与轴的交点为，令，则，联立，则有，，其中，且，则，则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.则直线为或，即或. 69.(2024高考·北京)已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 69.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为； (2)直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，，联立，化简并整理得，由题意，即应满足，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线方程中令，得，所以，此时应满足，即应满足或，综上所述，满足题意，此时或. 70.(2024高考·上海)已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 70.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)由题意得，则，. (2)当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则 , 联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知，矛盾，舍去)；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即.综上所述：. (3)由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有，显然二次项系数，其中，①，②， ，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,且，解得，又因为，则，综上知，，. 71.(2025高考·全国一卷)设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足。 (i)设，求点的坐标(用m，n表示)； (ⅱ)设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值. 71.【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【解析】(1)由题可知，，所以，解得，故椭圆C的标准方程为。 (2)(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且因为，，所以，即，解得，所以，所以点的坐标为。 法二：设，则，所以，，故点的坐标为。 (ⅱ)因为，，由，可得，化简得，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上(除去两个点)，为到圆心的距离加上半径。 法一：设，所以 ，当且仅当时取等号，所以。 法二：设，则，，当且仅当时取等号，故。 72.(2025高考·全国二卷)已知椭圆的离心率为，长轴长为4。 (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求。 72.【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：。 (2) 由题设直线的斜率不为0，故设直线，，由可得，故即，且，故，解得，故。 73.(2025高考·北京)已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B.设与的面积分别为，比较与的大小。 73.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由椭圆可知，，所以，又，所以，，故椭圆E的方程为。 (2)联立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化简为，即，所以，所以直线与椭圆相切，为切点.设，易知，当时，由对称性可知，.故设，易知，联立，解得，联立，解得，所以，，故。 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，，故设，联立，解得，联立，解得，若，则，由对称性，不妨取，则，，，所以，同理，当时，，当时，则，，，又，所以，所以，，则，即，所以。 74.(2025高考·天津)已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为。 (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分。 74.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)依题意，设椭圆的半焦距为，则左焦点，右顶点，离心率，即，因为为上一点，设，又直线的斜率为，则，即，所以，解得，则，即，因为的面积为，，高为，所以，解得，则，，所以椭圆的方程为。 . (2)由(1)可知，，，易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，联立，消去得，，因为直线与椭圆有唯一交点，所以，即，则，解得，则，所以直线的方程为，联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则，所以，，则，又，所以，即平分。 法二：所以，，，由两直线夹角公式，得，，则，又，所以，即平分。 法三：则，，故，又，所以，即平分。 法四：则，所以直线的方程为，即，则点到直线的距离为，又点到直线的距离也为，所以平分。 75.(2025高考·上海)已知椭圆，，A是的右顶点. (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围。 75.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)由题意知，，则，由右焦点，可知，则，故离心率。 (2)由题意，由得，，解得，代入，得，又，解得。 (3)由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，则，解得，由得中点坐标为，故直线，显然直线过椭圆内点，故直线与椭圆恒有两不同交点，设，由消得，由韦达定理得，因为为钝角，则，且，则有，所以，即，解得，又，故，即的取值范围是。 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$