6.必修2 第六章 平面向量及其应用(教师版)-【高中数学】5年(2021-2025)真题按章分类

【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第二册 第六章 平面向量及其应用 23个单选题 + 0个多选题 + 13个填空题 + 20个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高(  ) A.表高 B.表高 C.表距 D.表距 1.A 如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以，而 ，即＝ 。 2.(2021高考·全国)在中，已知，，，则(  ) A.1 B. C. D.3 2.D 设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：(舍去)， 3.(2021高考·全国)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，.由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为()(  ) A.346 B.373 C.446 D.473 3.B 过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以所以.因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以。 4.(2022高考·全国)已知向量，若，则(  ) A. B. C.5 D.6 4.C 解：，，即，解得。 5.(2022高考·全国)已知向量，则(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.D 因为，所以。 6.(2022高考·全国)已知向量满足，则(  ) A. B. C.1 D.2 6.C 解：∵，又∵∴9，∴。 7.(2022高考·全国)在中，点D在边AB上，记，则(  ) A. B. C. D. 7.B 因为点D在边AB上，，所以，即，所以 。 8.(2023高考·全国)在中，内角的对边分别是，若，且，则(  ) A. B. C. D. 8.C 由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则。 9.(2023高考·全国)已知向量，则(  ) A. B. C. D. 9.B 因为，所以，则，，所以。 10.(2023高考·全国)已知向量满足，且，则(  ) A. B. C. D. 10.D 因为，所以，即，即，所以如图，设， 由题知，是等腰直角三角形，AB边上的高，所以，，。 11.(2023高考·全国)已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为(  ) A. B. C. D. 11.A 如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得 当点位于直线异侧时，设，则： ，则当时，有最大值1。 当点位于直线同侧时，设，则： ，，则当时，有最大值。综上可得，的最大值为。 12.(2023高考·全国)已知向量，若，则(  ) A. B. C. D. 12.D 因为，所以，，由可得，，即，整理得：。 13.(2023高考·北京)在中，，则(  ) A. B. C. D. 13.B 因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以。 14.(2023高考·北京)已知向量满足，则(  ) A. B. C.0 D.1 14.B 向量满足，所以。 15.(2024高考·全国)已知向量，若，则( ) A. B. C.1 D.2 15.D 因为，所以，所以即，故. 16.(2024高考·全国)已知向量满足，且，则( ) A. B. C. D.1 16.B 因为，所以，即，又因为，所以，从而. 17.(2024高考·全国)设向量，则( ) A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件 17.C 对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，A错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，D错误. 18.(2024高考·全国)在中,内角所对的边分别为，若，，则( ) A. B. C. D. 18.C 因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则. 19.(2024高考·北京)设 ，是向量，则“”是“或”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 19.B 因为，可得，即，可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 20.(2025高考·北京)在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 20.D 因为，，由平方可得，，所以.，，所以，，又，即，所以，即，D入选。 21.(2025高考·新课标Ⅰ卷)已知向量，若，则(  ) A. B. C.1 D.2 21.D 因为，所以，所以即，故，D入选。 22.(2025高考·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同)，单位(m/s)，则真风为(  ) 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 22.A 由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，A正确。 23.(2025高考·全国二卷)在中，，，，则(  ) A. B. C. D. 23.A 由题意得，又，所以，A正确。 二、填空题 24.(2021高考·全国)已知向量，，，__________. 24. 由已知可得，因此，。 25.(2021高考·全国)已知向量，若，则__________. 25. 因为，所以由可得，，解得. 26.(2021高考·全国)已知向量.若，则__________. 26. ，，解得。 27.(2021高考·全国)若向量满足，则__________. 27. ∵∴∴。 28.(2022高考·全国)已知向量.若，则__________. 28./ 由题意知：，解得。 29.(2022高考·全国)已知中，点D在边BC上，.当取得最小值时，__________. 29./ 【方法一】：余弦定理 设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，. 【方法二】：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系则C(2t，0)，A(1，)，B(-t，0) 【方法三】：余弦定理 设BD=x，CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立。 【方法四】：判别式法 设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即。 30.(2022高考·全国)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则__________. 30.11 解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以. 31.(2023高考·全国)在中，，的角平分线交BC于D，则__________. 31.2 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：。 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，因为，所以，，又，所以，即. 32.(2023高考·全国)已知向量，满足，，则__________. 32. 法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以. 法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即。 33.(2024高考·天津)在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 . 33. ， 解法一：因为，即，则， 可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则， 可得 ，又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设，且为中点，则， 可得，则， 且，所以当时，取到最小值为. 34.(2024高考·上海)已知，且，则的值为 . 34.15 ，，解得. 35.(2025高考·全国二卷)已知平面向量若，则 35. ，因为，则，则，解得.则，则. 36.(2025高考·天津)中，D为AB边中点，，则 (用，表示)，若，，则 36. ； 如图， 因为，所以，所以.因为D为线段的中点，所以；又因为，所以，，所以所以，所以，故答案为：；。 三、解答题 37.(2021高考·全国)在中，角、、所对的边长分别为、、，，。 (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 37.【答案】(1) (2)存在，且 【解析】(1)因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，。 (2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故。 38.(2021高考·全国)记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，。 (1)证明： (2)若，求。 38.【答案】(1)，因为，所以，即又因为，所以 (2) 【解析】(1)外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即又因为，所以。 (2)【方法一】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，① 在中，②由①②得，整理得，又因为，所以，解得或，当时，(舍去)当时，.所以。 【方法二】：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即， 而，即，故有，从而.由，即，即，即，故，即，又，所以，则. 【方法三】：正弦定理、余弦定理相结合由(1)知，再由得.在中，由正弦定理得.又，所以，化简得.在中，由正弦定理知，又由，所以在中，由余弦定理，得。 【方法四】：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则. 由，得，中，.在中，为，所以，整理得又因为，所以，或. 【方法五】：平面向量基本定理 因为，所以以向量为基底，有.所以，即，又因为，所以.③由余弦定理得，所以④联立③④，得.所以或。 【方法六】：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则。 由(1)知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动，，则。⑤由知，，即，⑥联立⑤⑥解得或(舍去)，，入⑥式得，由余弦定理得。 39.(2021高考·北京)在中，，。 (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长。 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 39.【答案】(1) (2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由(1)可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得， ，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由(1)可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：。 【解析】(1)，则由正弦定理可得，，，，，，解得。 40.(2021高考·天津)在，角所对的边分别为，已知，. (I)求a的值； (II)求的值； (III)求的值. 40.【答案】(I). (II). (III). 【解析】(II).因为，由正弦定理可得，，。 (III).由余弦定理可得。 ， ，，所以 。 41.(2022高考·全国)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知。 (1)求的面积； (2)若，求b。 41.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则。 (2)由正弦定理得：，则，则，。 42.(2022高考·全国)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。 (1)若，求C； (2)证明：。 42.【答案】(1) (2)原等式成立 【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以。 (2) 由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立。 43.(2022高考·全国)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。 (1)若，求B； (2)求的最小值。 43.【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为，即，而，所以。 (2)由(1)知，，所以，而，所以，即有，所以所以.当且仅当时取等号，所以的最小值为。 44.(2022高考·北京)在中，。 (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长。 44.【答案】(1) (2) 【解析】(1)解：因为，则，由已知可得，可得，因此，。 (2)解：由三角形的面积公式可得，解得由余弦定理可得，，所以，的周长为。 45.(2022高考·天津)在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值。 45.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)因为，即，而，代入得，解得：。 (2)由(1)可求出，而，所以，又，所以。 (3)因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，故。 46.(2023高考·全国)记的内角的对边分别为，已知。 (1)求； (2)若，求面积。 46.【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为，所以，解得：。(2)由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为。 47.(2023高考·全国)在中，已知，，。 (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积。 47.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由余弦定理可得：，则，，。 (2)由三角形面积公式可得，则。 48.(2023高考·全国)已知在中，。 (1)求； (2)设，求边上的高。 48.【答案】(1) (2)6 【解析】(1)，，即，又，，，。即，所以，。 (2)由(1)知，，由 ，由正弦定理，，可得，，。 49.(2023高考·全国)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且。 (1)若，求； (2)若，求。 49.【答案】(1) (2) 【解析】(1)方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以。 方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以。 (2)方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以。 方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以。 50.(2023高考·天津)在中，角所对的边分别是.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求。 50.【答案】(1) (2)5 (3) 【解析】(1)由正弦定理可得，，即，解得：。 (2)由余弦定理可得，，即，解得：或(舍去)。 (3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，。 51.(2024高考·全国)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A. (2)若，，求的周长. 51.【答案】(1) (2) 【解析】(1)方法一：常规方法(辅助角公式)。由可得，即， 由于，故，解得. 方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)。由，又，消去得到：，解得，又，故. 方法三：利用极值点求解。设，则， 显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故. 方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)。设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故. 方法五：利用万能公式求解。设，根据万能公式，， 整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故 (2)由题设条件和正弦定理。，又，则，进而，得到，于是， ， 由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为. 52.(2024高考·全国)记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c. 52.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， 注意到，所以. (2)由(1)可得，，，从而，， 而，由正弦定理有， 从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ，由已知的面积为，可得，所以. 53.(2024高考·天津)在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)求； (3)求的值. 53.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)设，，则根据余弦定理得， 即，解得(负舍)；则. (2)因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， (3)，则， 因为为三角形内角，所以， 所以 54.(2024高考·北京)在中，内角的对边分别为，为钝角，，. (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 54.【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【解析】(1)由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得，因为为钝角，则. (2)选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则， 则. 55.(2025高考·天津)在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值. 55.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)已知，由正弦定理，得，显然，得，由，故。 (2)由(1)知，且，，由余弦定理，则，解得(舍去)，故。 (3)由正弦定理，且，得，且，则为锐角，故，故，且；故。 56.(2025高考·北京)在中，. (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 56.【答案】(1)6 (2)答案见解析 【解析】(1)因为，所以，由正弦定理有，解得； (2)如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；若选②，，由有，由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得，此时三角形是存在的，且唯一确定，所以，即，所以边上的高；若选③，的面积是，则，解得，由余弦定理可得可以唯一确定，进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第二册 第六章 平面向量及其应用 23个单选题 + 0个多选题 + 13个填空题 + 20个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高(  ) A.表高 B.表高 C.表距 D.表距 2.(2021高考·全国)在中，已知，，，则(  ) A.1 B. C. D.3 3.(2021高考·全国)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，.由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为()(  ) A.346 B.373 C.446 D.473 4.(2022高考·全国)已知向量，若，则(  ) A. B. C.5 D.6 5.(2022高考·全国)已知向量，则(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2022高考·全国)已知向量满足，则(  ) A. B. C.1 D.2 7.(2022高考·全国)在中，点D在边AB上，记，则(  ) A. B. C. D. 8.(2023高考·全国)在中，内角的对边分别是，若，且，则(  ) A. B. C. D. 9.(2023高考·全国)已知向量，则(  ) A. B. C. D. 10.(2023高考·全国)已知向量满足，且，则(  ) A. B. C. D. 11.(2023高考·全国)已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为(  ) A. B. C. D. 12.(2023高考·全国)已知向量，若，则(  ) A. B. C. D. 13.(2023高考·北京)在中，，则(  ) A. B. C. D. 14.(2023高考·北京)已知向量满足，则(  ) A. B. C.0 D.1 15.(2024高考·全国)已知向量，若，则( ) A. B. C.1 D.2 16.(2024高考·全国)已知向量满足，且，则( ) A. B. C. D.1 17.(2024高考·全国)设向量，则( ) A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件 18.(2024高考·全国)在中,内角所对的边分别为，若，，则( ) A. B. C. D. 19.(2024高考·北京)设 ，是向量，则“”是“或”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 20.(2025高考·北京)在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 21.(2025高考·新课标Ⅰ卷)已知向量，若，则(  ) A. B. C.1 D.2 22.(2025高考·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同)，单位(m/s)，则真风为(  ) 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 23.(2025高考·全国二卷)在中，，，，则(  ) A. B. C. D. 二、填空题 24.(2021高考·全国)已知向量，，，__________. 25.(2021高考·全国)已知向量，若，则__________. 26.(2021高考·全国)已知向量.若，则__________. 27.(2021高考·全国)若向量满足，则__________. 28.(2022高考·全国)已知向量.若，则__________. 29.(2022高考·全国)已知中，点D在边BC上，.当取得最小值时，__________. 30.(2022高考·全国)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则__________. 31.(2023高考·全国)在中，，的角平分线交BC于D，则__________. 32.(2023高考·全国)已知向量，满足，，则__________. 33.(2024高考·天津)在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 . 34.(2024高考·上海)已知，且，则的值为 . 35.(2025高考·全国二卷)已知平面向量若，则 36.(2025高考·天津)中，D为AB边中点，，则 (用，表示)，若，，则 三、解答题 37.(2021高考·全国)在中，角、、所对的边长分别为、、，，。 (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 38.(2021高考·全国)记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，。 (1)证明： (2)若，求。 39.(2021高考·北京)在中，，。 (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长。 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 40.(2021高考·天津)在，角所对的边分别为，已知，. (I)求a的值； (II)求的值； (III)求的值. 41.(2022高考·全国)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知。 (1)求的面积； (2)若，求b。 42.(2022高考·全国)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。 (1)若，求C； (2)证明：。 43.(2022高考·全国)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。 (1)若，求B； (2)求的最小值。 44.(2022高考·北京)在中，。 (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长。 45.(2022高考·天津)在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值。 46.(2023高考·全国)记的内角的对边分别为，已知。 (1)求； (2)若，求面积。 47.(2023高考·全国)在中，已知，，。 (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积。 48.(2023高考·全国)已知在中，。 (1)求； (2)设，求边上的高。 49.(2023高考·全国)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且。 (1)若，求； (2)若，求。 50.(2023高考·天津)在中，角所对的边分别是.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求。 51.(2024高考·全国)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A. (2)若，，求的周长. 52.(2024高考·全国)记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c. 53.(2024高考·天津)在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)求； (3)求的值. 54.(2024高考·北京)在中，内角的对边分别为，为钝角，，. (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 55.(2025高考·天津)在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值. 56.(2025高考·北京)在中，. (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第二册 第六章 平面向量及其应用 参考答案及解析 一、单选题 1.A 如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以，而 ，即＝ 。 2.D 设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：(舍去)， 3.B 过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以所以.因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以。 4.C 解：，，即，解得。 5.D 因为，所以。 6.C 解：∵，又∵∴9，∴。 7.B 因为点D在边AB上，，所以，即，所以 。 8.C 由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则。 9.B 因为，所以，则，，所以。 10.D 因为，所以，即，即，所以如图，设， 由题知，是等腰直角三角形，AB边上的高，所以，，。 11.A 如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得 当点位于直线异侧时，设，则： ，则当时，有最大值1。 当点位于直线同侧时，设，则： ，，则当时，有最大值。综上可得，的最大值为。 12.D 因为，所以，，由可得，，即，整理得：。 13.B 因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以。 14.B 向量满足，所以。 15.D 因为，所以，所以即，故. 16.B 因为，所以，即，又因为，所以，从而. 17.C 对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，A错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，D错误. 18.C 因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则. 19.B 因为，可得，即，可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 20.D 因为，，由平方可得，，所以.，，所以，，又，即，所以，即，D入选。 21.D 因为，所以，所以即，故，D入选。 22.A 由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，A正确。 23.A 由题意得，又，所以，A正确。 二、填空题 24. 由已知可得，因此，。 25. 因为，所以由可得，，解得. 26. ，，解得。 27. ∵∴∴。 28./ 由题意知：，解得。 29./ 【方法一】：余弦定理 设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，. 【方法二】：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系则C(2t，0)，A(1，)，B(-t，0) 【方法三】：余弦定理 设BD=x，CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立。 【方法四】：判别式法 设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即。 30.11 解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以. 31.2 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：。 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，因为，所以，，又，所以，即. 32. 法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以. 法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即。 33. ， 解法一：因为，即，则， 可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则， 可得 ，又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设，且为中点，则， 可得，则， 且，所以当时，取到最小值为. 34.15 ，，解得. 35. ，因为，则，则，解得.则，则. 36. ； 如图， 因为，所以，所以.因为D为线段的中点，所以；又因为，所以，，所以所以，所以，故答案为：；。 三、解答题 37.【答案】(1) (2)存在，且 【解析】(1)因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，。 (2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故。 38.【答案】(1)，因为，所以，即又因为，所以 (2) 【解析】(1)外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即又因为，所以。 (2)【方法一】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，① 在中，②由①②得，整理得，又因为，所以，解得或，当时，(舍去)当时，.所以。 【方法二】：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即， 而，即，故有，从而.由，即，即，即，故，即，又，所以，则. 【方法三】：正弦定理、余弦定理相结合由(1)知，再由得.在中，由正弦定理得.又，所以，化简得.在中，由正弦定理知，又由，所以在中，由余弦定理，得。 【方法四】：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则. 由，得，中，.在中，为，所以，整理得又因为，所以，或. 【方法五】：平面向量基本定理 因为，所以以向量为基底，有.所以，即，又因为，所以.③由余弦定理得，所以④联立③④，得.所以或。 【方法六】：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则。 由(1)知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动，，则。⑤由知，，即，⑥联立⑤⑥解得或(舍去)，，入⑥式得，由余弦定理得。 39.【答案】(1) (2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由(1)可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得， ，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由(1)可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：。 【解析】(1)，则由正弦定理可得，，，，，，解得。 40.【答案】(I). (II). (III). 【解析】(II).因为，由正弦定理可得，，。 (III).由余弦定理可得。 ， ，，所以 。 41.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则。 (2)由正弦定理得：，则，则，。 42.【答案】(1) (2)原等式成立 【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以。 (2) 由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立。 43.【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为，即，而，所以。 (2)由(1)知，，所以，而，所以，即有，所以所以.当且仅当时取等号，所以的最小值为。 44.【答案】(1) (2) 【解析】(1)解：因为，则，由已知可得，可得，因此，。 (2)解：由三角形的面积公式可得，解得由余弦定理可得，，所以，的周长为。 45.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)因为，即，而，代入得，解得：。 (2)由(1)可求出，而，所以，又，所以。 (3)因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，故。 46.【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为，所以，解得：。(2)由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为。 47.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由余弦定理可得：，则，，。 (2)由三角形面积公式可得，则。 48.【答案】(1) (2)6 【解析】(1)，，即，又，，，。即，所以，。 (2)由(1)知，，由 ，由正弦定理，，可得，，。 49.【答案】(1) (2) 【解析】(1)方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以。 方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以。 (2)方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以。 方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以。 50.【答案】(1) (2)5 (3) 【解析】(1)由正弦定理可得，，即，解得：。 (2)由余弦定理可得，，即，解得：或(舍去)。 (3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，。 51.【答案】(1) (2) 【解析】(1)方法一：常规方法(辅助角公式)。由可得，即， 由于，故，解得. 方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)。由，又，消去得到：，解得，又，故. 方法三：利用极值点求解。设，则， 显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故. 方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)。设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故. 方法五：利用万能公式求解。设，根据万能公式，， 整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故 (2)由题设条件和正弦定理。，又，则，进而，得到，于是， ， 由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为. 52.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， 注意到，所以. (2)由(1)可得，，，从而，， 而，由正弦定理有， 从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ，由已知的面积为，可得，所以. 53.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)设，，则根据余弦定理得， 即，解得(负舍)；则. (2)因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， (3)，则， 因为为三角形内角，所以， 所以 54.【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【解析】(1)由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得，因为为钝角，则. (2)选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则， 则. 55.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)已知，由正弦定理，得，显然，得，由，故。 (2)由(1)知，且，，由余弦定理，则，解得(舍去)，故。 (3)由正弦定理，且，得，且，则为锐角，故，故，且；故。 56.【答案】(1)6 (2)答案见解析 【解析】(1)因为，所以，由正弦定理有，解得； (2)如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；若选②，，由有，由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得，此时三角形是存在的，且唯一确定，所以，即，所以边上的高；若选③，的面积是，则，解得，由余弦定理可得可以唯一确定，进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即。 18 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$