5.必修1 第五章 三角函数(教师版)-【高中数学】5年(2021-2025)真题按章分类

【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第一册 第五章 三角函数 38个单选题 + 2个多选题 + 13个填空题 + 3个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则(  ) A. B. C. D. 1.B 解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令，则，所以，所以。 解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以。 2.(2021高考·全国)若，则(  ) A. B. C. D. 2.A ，，，，解得，，。 3.(2021高考·全国)(  ) A. B. C. D. 3.D 由题意，。 4.(2021高考·全国)函数的最小正周期和最大值分别是(  ) A.和 B.和2 C.和 D.和2 4.C 由题，，所以的最小正周期为，最大值为。 5.(2021高考·全国)若，则(  ) A. B. C. D. 5.C 将式子进行齐次化处理得：。 6.(2021高考·全国)下列区间中，函数单调递增的区间是(  ) A. B. C. D. 6.A 因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A入选，B不选。取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD不选。 7.(2021高考·北京)函数是( ) A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2 C.奇函数，且最大值为 D.偶函数，且最大值为 7.D 由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值. 8.(2021高考·天津)设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是(  ) A. B. C. D. 8.A 最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得， (1)时，当时，有4个零点，即；当，有5个零点，即；当，有6个零点，即。 (2)当时，，，当时，，无零点；当时，，有1个零点；当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是。 9.(2022高考·全国)若，则(  ) A. B. C. D. 9.C 【方法一】：直接法 由已知得：，即：，即：所以 【方法二】：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A， B；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D。 【方法三】：三角恒等变换 所以即 。 10.(2022高考·全国)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是(  ) A. B. C. D. 10.A 设，则，排除B。设，当时，，所以，排除C。设，则，排除D。 11.(2022高考·全国)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是(  ) A. B. C. D. 11.C 由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为。 12.(2022高考·全国)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 12.C 解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即。 13.(2022高考·全国)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，，“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：.当时，(  ) A. B. C. D. 13.B 解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以。 14.(2022高考·全国)函数在区间的图象大致为(  ) A. B. C. D. 14.A 令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C。 15.(2022高考·全国)记函数的最小正周期为T.若，且的图象关于点中心对称，则(  ) A.1 B. C. D.3 15.A 由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以。 16.(2022高考·天津)已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到。 以上四个说法中，正确的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 16.A 因为，所以的最小正周期为，①不正确。令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确。由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确。 17.(2023高考·全国)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 17.C 因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，做出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为3。 18.(2023高考·全国)设甲：，乙：，则(  ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 18.B 当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出综上可知，甲是乙的必要不充分条件。 19.(2023高考·全国)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则(  ) A. B. C. D. 19.D 因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则。 20.(2023高考·全国)已知，则(  ) A. B. C. D. 20.B 因为，而，因此，则，所以。 21.(2023高考·全国)已知为锐角，，则(  ) A. B. C. D. 21.D 因为，而为锐角，解得： 。 22.(2023高考·天津)已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为(  ) A. B. C. D. 22.B 由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，CD不选。当时，函数值，故是函数的一个对称中心，A不选。当时，函数值，故是函数的一条对称轴。 23.(2023高考·天津)函数的图象如下图所示，则的解析式可能为(  ) A. B. C. D. 23.D 由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除。当时、，即A、C中上函数值为正，排除。 24.(2024高考·全国)函数在区间的图象大致为( ) A. B. C. D. 24.B ，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D. 25.(2024高考·全国)设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( ) A. B. C.1 D.2 25.D 解法一：令，即，可得， 令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得， 若，令，可得，因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：. 解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意. 26.(2024高考·全国)已知，则( ) A. B. C. D. 26.B 因为，所以，，所以. 27.(2024高考·全国)当时，曲线与的交点个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 27.C 因为函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 28.(2024高考·全国)已知，则( ) A. B. C. D. 28.A 因为，所以，而，所以，故即，从而，故. 29.(2024高考·北京)设函数.已知，，且的最小值为，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 29.B 由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，则，即， 且，所以. 30.(2024高考·天津)已知函数的最小正周期为.则在的最小值是( ) A. B. C.0 D. 30.A ，由得，即，当时，，画出图象，如下图，由图可知，在上递减，所以，当时，。 31.(2024高考·天津)下列函数是偶函数的是( ) A. B. C. D. 31.B 对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，，则，则不是偶函数，故D错误. 32.(2024高考·上海)下列函数的最小正周期是的是(    ) A. B. C. D. 32.A 对A，，周期，A正确。对B，，周期，B错误。对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，C错误。对于选项D，，周期，D错误。 33.(2025高考·北京)设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为(  ) A.8 B.6 C.4 D.3 33.C 函数，设函数的最小正周期为T，由可得，所以，即；又函数在上存在零点，且当时，，所以，即；综上，的最小值为4，C正确。 34.(2025高考·北京)为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的(  ) A.横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) C.纵坐标变为原来的倍(横坐标不变) D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变) 34.A 因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，A正确。 35.(2025高考·天津)，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为(  ) A. B. C.1 D.0 35.A 设的最小正周期为，根据题意有，，由正弦函数的对称性可知，即，又在上单调递增，则，∴，则，∵，∴时，，∴，当时，，由正弦函数的单调性可知，A正确。 36.(2025高考·全国一卷)若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为(  ) A. B. C. D. 36.B 根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，即的对称中心是，即，又，则时最小，最小值是，即，B正确。 37.(2025高考·天津)设，则“”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 37.A 由，则“”是“”的充分条件；又当时，，可知，故“”不是“”的必要条件，综上可知，“”是“”的充分不必要条件，A正确。 38.(2025高考·全国二卷)已知，，则(  ) A. B. C. D. 38.D ，因为，则，则，则，D正确。 二、多选题 39.(2024高考·全国)对于函数和，下列说法中正确的有( ) A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴 39.BC A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A错误； B选项，显然，B正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D错误. 40.(2025高考·全国一卷)已知的面积为，若，则(  ) A. B. C. D. 40.ABC ，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确；由诱导公式，，展开可得，即，下证。 方法一：分类讨论若，则可知等式成立；若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，于是，与条件不符，则不成立；若，类似可推导出，则不成立，综上讨论可知，，即。 方法二：边角转化时，由，则，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，则，若，则，注意到，则，于是(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是，结合，而都是锐角，则，于是，这和相矛盾，故不成立，则 方法三：结合射影定理(方法一改进)由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积(方法一改进) 续法三：，可知同时为或者异号，即，展开可得，，即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知。由，由，则，即，则，同理，由上述推导，，则，不妨设，则，即，由两角和差的正弦公式可知，C正确。由两角和的正切公式可得，，设，则，由，则，则，于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D错误，ABC正确。 。 三、填空题 41.(2021高考·全国)已知函数的部分图像如图所示，则__________. 41. 由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：。 42.(2021高考·北京)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为__________. 42.(满足即可) 与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为. 43.(2022高考·全国)记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为__________. 43. 的最小值为3 解： 因为，(，)所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时。 44.(2023高考·全国)若，则__________. 44. 因为，则，又因为，则，且，解得或(舍去)，所以. 45.(2023高考·全国)若为偶函数，则__________. 45. 2 因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以。 46.(2023高考·全国)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是__________. 46. 的取值范围是 因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故， 47.(2023高考·全国)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则__________. 47. 设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，.因为，所以，即，.所以，所以或，又因为，所以，。 48.(2024高考·全国)函数在上的最大值是 . 48.2 ，当时，，当时，即时，. 49.(2024高考·全国)已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 49. 解法一：由题意得，因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立 ，解得. 解法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,，，则 故答案为：. 50.(2024高考·北京)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 . 50./ 由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 51.(2025高考·上海)函数在上的值域为 . 51. 由函数在上单调递增，在单调递减，且，故函数在上的值域为。 52.(2025高考·北京)已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， . 52.(答案不唯一)；(答案不唯一) 因为，，所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，故且，即，故取可满足题设要求；故答案为：；(答案不唯一) 53.(2025高考·北京)关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中正确结论的序号是 . 53.②③ 对于①，若存在在上的增函数，满足，则，即，故时，，故，故即，矛盾，故①错误；对于②，取，该函数为上的减函数且，故该函数符合，②正确。对于③，取，此时，由可得有无穷多个，③正确。对于④，若存在，使得，令，则，但，矛盾，故满足的函数不存在，④错误。 四、解答题 54.(2023高考·北京)设函数。 (1)若，求的值。 (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值。 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减。 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 54.【答案】(1) (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得， 【解析】(1)因为所以，因为，所以。 (2)，所以，所以的最大值为，最小值为，若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；若选条件②：因为在上单调递增，且，所以，所以，，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，；若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即，以下与条件②相同。 55.(2025高考·全国二卷)已知函数。 (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间。 55.【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】(1)由题意，所以； (2)由(1)可知，所，所以函数的值域为，令，解得，令，解得，所以函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为。 56.(2025高考·上海)已知函数的定义域为.对于正实数a，定义集合. (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有.写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点. 56.【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析 【解析】(1)，，则不是中的元素。 (2)法一：因为，则存在实数使得，且，当时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得，则，则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，由图知，假设交点分别为，，联立方程组得 (3)对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知。首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个。 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第一册 第五章 三角函数 38个单选题 + 2个多选题 + 13个填空题 + 3个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则(  ) A. B. C. D. 2.(2021高考·全国)若，则(  ) A. B. C. D. 3.(2021高考·全国)(  ) A. B. C. D. 4.(2021高考·全国)函数的最小正周期和最大值分别是(  ) A.和 B.和2 C.和 D.和2 5.(2021高考·全国)若，则(  ) A. B. C. D. 6.(2021高考·全国)下列区间中，函数单调递增的区间是(  ) A. B. C. D. 7.(2021高考·北京)函数是( ) A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2 C.奇函数，且最大值为 D.偶函数，且最大值为 8.(2021高考·天津)设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是(  ) A. B. C. D. 9.(2022高考·全国)若，则(  ) A. B. C. D. 10.(2022高考·全国)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是(  ) A. B. C. D. 11.(2022高考·全国)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是(  ) A. B. C. D. 12.(2022高考·全国)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 13.(2022高考·全国)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，，“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：.当时，(  ) A. B. C. D. 14.(2022高考·全国)函数在区间的图象大致为(  ) A. B. C. D. 15.(2022高考·全国)记函数的最小正周期为T.若，且的图象关于点中心对称，则(  ) A.1 B. C. D.3 16.(2022高考·天津)已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到。 以上四个说法中，正确的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 17.(2023高考·全国)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 18.(2023高考·全国)设甲：，乙：，则(  ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 19.(2023高考·全国)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则(  ) A. B. C. D. 20.(2023高考·全国)已知，则(  ) A. B. C. D. 21.(2023高考·全国)已知为锐角，，则(  ) A. B. C. D. 22.(2023高考·天津)已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为(  ) A. B. C. D. 23.(2023高考·天津)函数的图象如下图所示，则的解析式可能为(  ) A. B. C. D. 24.(2024高考·全国)函数在区间的图象大致为( ) A. B. C. D. 25.(2024高考·全国)设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( ) A. B. C.1 D.2 26.(2024高考·全国)已知，则( ) A. B. C. D. 27.(2024高考·全国)当时，曲线与的交点个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 28.(2024高考·全国)已知，则( ) A. B. C. D. 29.(2024高考·北京)设函数.已知，，且的最小值为，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 30.(2024高考·天津)已知函数的最小正周期为.则在的最小值是( ) A. B. C.0 D. 31.(2024高考·天津)下列函数是偶函数的是( ) A. B. C. D. 32.(2024高考·上海)下列函数的最小正周期是的是(    ) A. B. C. D. 33.(2025高考·北京)设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为(  ) A.8 B.6 C.4 D.3 34.(2025高考·北京)为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的(  ) A.横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) C.纵坐标变为原来的倍(横坐标不变) D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变) 35.(2025高考·天津)，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为(  ) A. B. C.1 D.0 36.(2025高考·全国一卷)若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为(  ) A. B. C. D. 37.(2025高考·天津)设，则“”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 38.(2025高考·全国二卷)已知，，则(  ) A. B. C. D. 二、多选题 39.(2024高考·全国)对于函数和，下列说法中正确的有( ) A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴 40.(2025高考·全国一卷)已知的面积为，若，则(  ) A. B. C. D. 三、填空题 41.(2021高考·全国)已知函数的部分图像如图所示，则__________. 42.(2021高考·北京)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为__________. 43.(2022高考·全国)记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为__________. 44.(2023高考·全国)若，则__________. 45.(2023高考·全国)若为偶函数，则__________. 46.(2023高考·全国)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是__________. 47.(2023高考·全国)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则__________. 48.(2024高考·全国)函数在上的最大值是 . 49.(2024高考·全国)已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 50.(2024高考·北京)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 . 51.(2025高考·上海)函数在上的值域为 . 52.(2025高考·北京)已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， . 53.(2025高考·北京)关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中正确结论的序号是 . 四、解答题 54.(2023高考·北京)设函数。 (1)若，求的值。 (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值。 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减。 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 55.(2025高考·全国二卷)已知函数。 (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间。 56.(2025高考·上海)已知函数的定义域为.对于正实数a，定义集合. (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有.写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点. 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第一册 第五章 三角函数 参考答案及解析 一、单选题 1.B 解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令，则，所以，所以。 解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以。 2.A ，，，，解得，，。 3.D 由题意，。 4.C 由题，，所以的最小正周期为，最大值为。 5.C 将式子进行齐次化处理得：。 6.A 因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A入选，B不选。取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD不选。 7.D 由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值. 8.A 最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得， (1)时，当时，有4个零点，即；当，有5个零点，即；当，有6个零点，即。 (2)当时，，，当时，，无零点；当时，，有1个零点；当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是。 9.C 【方法一】：直接法 由已知得：，即：，即：所以 【方法二】：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A， B；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D。 【方法三】：三角恒等变换 所以即 。 10.A 设，则，排除B。设，当时，，所以，排除C。设，则，排除D。 11.C 由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为。 12.C 解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即。 13.B 解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以。 14.A 令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C。 15.A 由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以。 16.A 因为，所以的最小正周期为，①不正确。令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确。由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确。 17.C 因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，做出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为3。 18.B 当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出综上可知，甲是乙的必要不充分条件。 19.D 因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则。 20.B 因为，而，因此，则，所以。 21.D 因为，而为锐角，解得： 。 22.B 由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，CD不选。当时，函数值，故是函数的一个对称中心，A不选。当时，函数值，故是函数的一条对称轴。 23.D 由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除。当时、，即A、C中上函数值为正，排除。 24.B ，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D. 25.D 解法一：令，即，可得， 令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得， 若，令，可得，因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：. 解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意. 26.B 因为，所以，，所以. 27.C 因为函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 28.A 因为，所以，而，所以，故即，从而，故. 29.B 由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，则，即， 且，所以. 30.A ，由得，即，当时，，画出图象，如下图，由图可知，在上递减，所以，当时，。 31.B 对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，，则，则不是偶函数，故D错误. 32.A 对A，，周期，A正确。对B，，周期，B错误。对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，C错误。对于选项D，，周期，D错误。 33.C 函数，设函数的最小正周期为T，由可得，所以，即；又函数在上存在零点，且当时，，所以，即；综上，的最小值为4，C正确。 34.A 因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，A正确。 35.A 设的最小正周期为，根据题意有，，由正弦函数的对称性可知，即，又在上单调递增，则，∴，则，∵，∴时，，∴，当时，，由正弦函数的单调性可知，A正确。 36.B 根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，即的对称中心是，即，又，则时最小，最小值是，即，B正确。 37.A 由，则“”是“”的充分条件；又当时，，可知，故“”不是“”的必要条件，综上可知，“”是“”的充分不必要条件，A正确。 38.D ，因为，则，则，则，D正确。 二、多选题 39.BC A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A错误； B选项，显然，B正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D错误. 40.ABC ，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确；由诱导公式，，展开可得，即，下证。 方法一：分类讨论若，则可知等式成立；若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，于是，与条件不符，则不成立；若，类似可推导出，则不成立，综上讨论可知，，即。 方法二：边角转化时，由，则，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，则，若，则，注意到，则，于是(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是，结合，而都是锐角，则，于是，这和相矛盾，故不成立，则 方法三：结合射影定理(方法一改进)由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积(方法一改进) 续法三：，可知同时为或者异号，即，展开可得，，即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知。由，由，则，即，则，同理，由上述推导，，则，不妨设，则，即，由两角和差的正弦公式可知，C正确。由两角和的正切公式可得，，设，则，由，则，则，于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D错误，ABC正确。 三、填空题 41. 由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：。 42.(满足即可) 与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为. 43. 的最小值为3 解： 因为，(，)所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时。 44. 因为，则，又因为，则，且，解得或(舍去)，所以. 45. 2 因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以。 46. 的取值范围是 因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故。 47. 设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，.因为，所以，即，.所以，所以或，又因为，所以，。 48.2 ，当时，，当时，即时，. 49. 解法一：由题意得， 因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立 ，解得. 解法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,，， 故答案为：. 50./ 由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 51. 由函数在上单调递增，在单调递减，且，故函数在上的值域为。 52.(答案不唯一)；(答案不唯一) 因为，，所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，故且，即，故取可满足题设要求；故答案为：；(答案不唯一) 53.②③ 对于①，若存在在上的增函数，满足，则，即，故时，，故，故即，矛盾，故①错误；对于②，取，该函数为上的减函数且，故该函数符合，②正确。对于③，取，此时，由可得有无穷多个，③正确。对于④，若存在，使得，令，则，但，矛盾，故满足的函数不存在，④错误。 四、解答题 54.【答案】(1) (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得， 【解析】(1)因为所以，因为，所以。 (2)，所以，所以的最大值为，最小值为，若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；若选条件②：因为在上单调递增，且，所以，所以，，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，；若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即，以下与条件②相同。 55.【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】(1)由题意，所以； (2)由(1)可知，所，所以函数的值域为，令，解得，令，解得，所以函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为。 56.【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析 【解析】(1)，，则不是中的元素。 (2)法一：因为，则存在实数使得，且，当时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得，则，则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，由图知，假设交点分别为，，联立方程组得 (3)对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知。首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个。 6 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$