1.2 直角三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固 一、最短路径问题 1.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A.12 B.2 C.20cm D.6 2.如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm． A.12 B.20 C.24 D.28 3.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm 4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 5.如图，已知圆柱的底面周长18cm，高为12cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　 　cm． 6.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的．” 任务： （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做　  　定理； （2）请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 7.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 二、互逆命题与互逆定理 1.下列定理中，其逆命题是假命题的是（　　） A.两直线平行，内错角相等 B.对顶角相等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等边三角形的三个内角都是60° 2.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A.有两个角相等的三角形是等腰三角形 B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D.不是等腰三角形的两个角不相等 3.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.同位角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.若a=b,则|a|=|b| D.末位数是零的整数能被5整除 4.命题“若a=b,则-a=-b”的逆命题是                   ． 5.命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是             .这个逆命题是       命题．（填真或假） 6.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②∠A=∠B；③CE平分∠DCA．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 7.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 三、勾股定理的的逆定理 1.如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　） A. B. C.3 D.4 2.下列结论正确的是（　　） A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90° C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17，则该三角形是直角三角形 D.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形 3.下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A.a∶b∶c＝1∶∶2 B.a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0） C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5 D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 4.如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，BC=，AD=，则DE＝　     　． 5.如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，则CE的长为 　     　． 6.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝26cm，DC＝24cm，求四边形ABCD的面积． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　     　； （2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC． 四、勾股数 1.若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（　　） A. B.4 C.或4 D.2 2.下列各组数据中是勾股数的是（　　） A.6，8，10 B.0.3，0.4，0.5 C.，， D.5，11，12 3.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.0.3，0.4，0.5 B.3，4，5 C.，， D.5，7，12 4.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　          　． 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 6.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 7.（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 五、用HL判定三角形全等 1.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 2.能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.斜边相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 4.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△_________≌△_________． 5.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 6.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ 7.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 六、勾股定理 1.已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足|x2﹣4|+＝0，则第三边的长为（　　） A. B.或 C.或 D.或或 2.如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A. B. C. D. 3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（　　） A.S3+S4＝4（S1+S2） B.S1﹣S2＝S3﹣S4 C.S4﹣S1＝S3﹣S2 D.S4﹣3S1＝S3﹣3S2 4.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 　     　． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为 　    　． 6.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 7.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长． 七、勾股定理的应用 1.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2米．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5米 B.3米 C.1.5米 D.3.5米 3.已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为（　　） A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 4.如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 5.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 7.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 八、直角三角形的性质 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA=55°，则∠B的度数为（　　） A.55° B.45° C.35° D.25° 2.如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 3.在△ABC中，∠A=56°，∠B=34°，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形 4.如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C=90°，则图中∠1+∠2的度数为       ． 5.如图，直角△ABC中，∠C=90°，AE，BD分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，则∠DEA=        . 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF. 7.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF是△ABC 的角平分线，过点D作DG∥AF交BC于点G，求证：∠CEF=∠CGD． 北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固（参考答案） 一、最短路径问题 1.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A.12 B.2 C.20cm D.6 【答案】C 【解析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于DE的对称点A'，过点B作BC⊥CD于点C， ∵圆柱形容器高为18cm，点A处离杯上沿2cm，点B处离杯底4cm， ∴AD＝A'D＝2cm，CD＝18﹣4＝14（cm）， ∴A'C＝AD+CD＝2+14＝16（cm）， ∵底面周长为24cm， ∴BC=， 根据勾股定理可得A'B=， 故选：C． 2.如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm． A.12 B.20 C.24 D.28 【答案】B 【解析】如图所示，作点F关于AB的对称点F′，连接SF′，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度＝SF′的长度， 过S作SE⊥F′F于E， 在Rt△SEF′中，∵SE＝×24＝12（cm），EF＝16﹣2+2＝16（cm）， ∴SF'＝＝20（cm）． 故选：B． 3.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm 【答案】B 【解析】∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm， 设扇形的圆心角为n度， ∴＝20π， 解得n＝120， ∴∠ABA′＝120°， 作BC⊥AA′于点C， ∴∠BAA′＝30°， ∴BC＝15cm， ∴AC＝15cm， ∴AA′＝2AC＝30cm， ∴这条彩带的最短长度是30cm． 故选：B． 4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】如图， 将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离， AC＝＝（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm． 故答案为：． 5.如图，已知圆柱的底面周长18cm，高为12cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　 　cm． 【答案】15 【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ∵AC＝9cm，BC＝12cm， ∴AB＝＝15cm， 故答案为：15． 6.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的．” 任务： （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做　  　定理； （2）请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】解 （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理．故答案为：勾股． （2）如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3＝15（尺）， 因此葛藤长为＝25（尺）． 答：问题中葛藤的最短长度是25尺． 7.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】解 （1）由题意得，该长方体中能放入木棒的最大长度是（cm）． （2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm， 所以最短路程为cm； （3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝13（cm）． 二、互逆命题与互逆定理 1.下列定理中，其逆命题是假命题的是（　　） A.两直线平行，内错角相等 B.对顶角相等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等边三角形的三个内角都是60° 【答案】B 【解析】A.逆命题为内错角相等，两直线平行，是真命题； B.逆命题为相等的角为对顶角，是假命题； C.逆命题两个底角相等的三角形为等腰三角形，是真命题； D.逆命题为三个内角都是60°的三角形是等边三角形，是真命题； 故选：B． 2.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A.有两个角相等的三角形是等腰三角形 B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D.不是等腰三角形的两个角不相等 【答案】A 【解析】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形， 故选：A． 3.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.同位角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.若a=b,则|a|=|b| D.末位数是零的整数能被5整除 【答案】B 【解析】A．逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”，是假命题，如：对顶角相等，但不是同位角； B．逆命题为“如果三角形的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，因为三角形的内角和为180°，当两个角的和为90°时，另一个角是直角； C．逆命题为“若|a|=|b|，则a=b”，是假命题，如：a=2，b=-2时便不成立； D．逆命题为“如果一个整数能被5整除，那么这个数的末位数是零”，是假命题，如：25便不成立． 故选：B． 4.命题“若a=b,则-a=-b”的逆命题是                   ． 【答案】若-a=-b,则a=b 5.命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是             .这个逆命题是       命题．（填真或假） 【答案】三个角都相等的三角形是等边三角形 真 6.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②∠A=∠B；③CE平分∠DCA．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】解 选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A=∠ECA，∠B=∠ECD， ∵∠A=∠B， ∴∠ECA=∠ECD， ∴CE平分∠DCA； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A=∠ECA，∠B=∠ECD， ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA=∠ECD， ∴∠A=∠B； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA=∠ECD， ∵∠A=∠B，∠A+∠B=∠ACD=∠ECD+∠ECA， ∴∠A=∠ECA=∠B=∠ECD， ∴AB∥CE． 7.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 【答案】解 （1）∵DE∥BC， ∴∠1=∠2， ∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴CD∥FG， ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB． （2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴FG∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2， ∴DE∥BC． 三、勾股定理的的逆定理 1.如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　） A. B. C.3 D.4 【答案】A 【解析】∵BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∴AC2+BC2＝32+42＝25＝AB2， ∴∠C＝90°， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝2， ∴BD=， 故选：A． 2.下列结论正确的是（　　） A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90° C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17，则该三角形是直角三角形 D.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，故A说法错误，不符合题意； △ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，故B说法错误，不符合题意； 若三角形的三边长之比为8∶16∶17，其三边不符合勾股定理的逆定理，则该三角形不是直角三角形，故C说法错误，不符合题意； 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则∠C＝180°×＝90°，则△ABC是直角三角形，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 3.下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A.a∶b∶c＝1∶∶2 B.a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0） C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5 D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 【答案】D 【解析】A.因为a∶b∶c＝1∶∶2，设a＝x，b＝x，c＝2x，所以x2+（x）2＝（2x）2，故△ABC是直角三角形； B.因为（9k）2+（40k）2＝（41k）2（k＞0），故△ABC是直角三角形； C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝90°，故△ABC是直角三角形； D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝75°，故△ABC不是直角三角形． 故选：D． 4.如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，BC=，AD=，则DE＝　     　． 【答案】2 【解析】∵BD＝1，DC＝3，BC＝， 又∵12+32＝（）2， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴AC＝＝＝4， 又∵E点为AC的中点， ∴DE＝AC＝2． 故答案为：2． 5.如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，则CE的长为 　     　． 【答案】8 【解析】过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，如图所示， 则∠AMD＝∠AMC＝∠BNC＝90°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACM+∠BCN＝∠BCN+∠CBN＝90°， ∴∠ACM＝∠CBN， ∵AC＝BC，∠AMC＝∠BNC＝90°， ∴△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN，BN＝CM， ∵AD＝AC，AM⊥CD， ∴DM=CM= =3， ∴AM=， ∴CN＝AM＝4， ∵BC＝BE，BN⊥CE， ∴EN=CN=， ∴CE＝2CN＝8， 故答案为：8． 6.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝26cm，DC＝24cm，求四边形ABCD的面积． 【答案】解 连接BD， ∵AB⊥AD， ∴∠A＝90°， ∴△ABD为直角三角形， ∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102， ∴BD＝10cm， 在△BCD中，BC＝26cm，CD＝24cm， ∵DC2+BD2＝BC2， ∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24﹣×6×8＝96（cm2）． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　     　； （2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC． 【答案】解 （1）AB＝＝5． （2）如图所示． 四、勾股数 1.若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（　　） A. B.4 C.或4 D.2 【答案】B 【解析】∵3，a，5是勾股数， ∴a＝＝4，或a＝＝（舍去）． 故选：B． 2.下列各组数据中是勾股数的是（　　） A.6，8，10 B.0.3，0.4，0.5 C.，， D.5，11，12 【答案】A 【解析】∵62+82＝102， ∴6，8，10是勾股数； 0.3，0.4，0.5与，，均不是整数，不是勾股数； ∵52+112＝146≠122， ∴5，11，12不是勾股数， 故选：A． 3.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.0.3，0.4，0.5 B.3，4，5 C.，， D.5，7，12 【答案】B 【解析】A.不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，不符合题意； B.是勾股数，因为32+42＝52，符合题意； C.不是勾股数，因为，，不是正整数，不符合题意； D.不是勾股数，因为52+72≠122，不符合题意． 故选：B． 4.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　          　． 【答案】（15，112，113） 【解析】由勾股数组（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，即（13，84，61）， 第7组勾股数中间的数为7×（15+1）＝112，即（15，112，113）， 故答案为（15，112，113）． 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 【答案】3，4，5（答案不唯一）． 【解析】一组“勾股数”3，4，5（答案不唯一）． 故答案为3，4，5（答案不唯一）． 6.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5． （2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2． 证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2 ＝k2+k4+1﹣k2 ＝k4+k2+1； 右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1． ∴左边＝右边， ∴等式成立． 7.（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】解 （1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴3k，4k，5k都是正整数， ∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2， ∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数． （2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴ak，bk，ck是三个正整数， ∵a2+b2＝c2， ∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2， ∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数． 五、用HL判定三角形全等 1.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 【答案】A 【解析】添加AB=AC，符合判定定理HL； 添加BD=DC，符合判定定理SAS； 添加∠B=∠C，符合判定定理AAS； 添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA； 选其中任何一个均可．故选A． 2.能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.斜边相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等 【答案】D 【解析】A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误． B，C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B，C选项错误． D选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定． 故选D． 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′， Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C． 4.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△_________≌△_________． 【答案】AB DCF 【解析】∵在△ABE和△DCF中，AE⊥BC，DF⊥BC，AE=DF，AB=DC，符合直角三角形全等条件HL，所以△ABE≌△DCF，故填ABE；DCF． 5.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 【答案】AB=CD 【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等． 6.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ 【答案】解 不正确，因为AC不是△ABC和△ACD的对应边， 故不能判定△ABC≌△ACD． 7.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 【答案】证明 ∵BF=EC， ∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 六、勾股定理 1.已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足|x2﹣4|+＝0，则第三边的长为（　　） A. B.或 C.或 D.或或 【答案】D 【解析】∵|x2﹣4|+＝0 ∴x2﹣4＝0，y2﹣5y+6＝0， 解得x＝2（负值已舍去），y＝2或y＝3， 当x＝2，y＝2时，第三边长为＝2； 当x＝2，y＝3时，如果x，y都为直角边，第三边长为＝； 当x＝2，y＝3时，如果y为斜边，第三边长为＝； 综上所述，第三边的长为或或2， 故选：D． 2.如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵数轴上点A对应的数是2，点C对应的数是﹣2， ∴AC＝4， ∵∠ACB＝90°， 由勾股定理得，AB＝＝＝2， ∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D， ∴AD＝AB＝2， ∵点D在原点的左侧， ∴点D表示的数为﹣（2﹣2）＝2﹣2， 故选：D． 3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（　　） A.S3+S4＝4（S1+S2） B.S1﹣S2＝S3﹣S4 C.S4﹣S1＝S3﹣S2 D.S4﹣3S1＝S3﹣3S2 【答案】B 【解析】如图，连接AC， 根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2，AC2＝AD2+CD2， ∴AC2=S1+S4，AC2=S2+S3， ∴S1+S4＝S2+S3， ∴S1﹣S2＝S3﹣S4， 故选：B． 4.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 　     　． 【答案】16 【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8， ∴BC＝＝10， ∵DE是边AB的垂直平分线， ∴BD＝AD， ∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16． 故答案为：16． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为 　    　． 【答案】 【解析】∵分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2， ∴＝= S1，＝=S2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC2+BC2＝AB2＝25， ∴S1+S2＝＝， 故答案为：． 6.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 【答案】解 （1）∵CE是AB边上的中线， ∴AE＝BE＝5， ∴AB＝10， 又∵AC＝8，BC＝6， ∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵CD是△ABC的高， ∴S△ABC=， ∴CD＝=4.8； （2）在Rt△BDC中，由勾股定理得， BD＝＝3.6， ∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4． 7.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长． 【答案】解 （1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE， ∴AE＝AB＝EC， ∴∠CAE＝∠C， ∵∠BAE＝44°， ∴∠AED= (180°-44°)=68°， ∴∠C=∠AED=34°． （2）由（1）知：EC＝AE＝AB， ∵DE＝BD． ∴AB+BD＝EC+DE＝DC， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+7＝17（cm）． 答：△ABC的周长为17cm． 七、勾股定理的应用 1.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 【答案】B 【解析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15﹣12＝3（cm）， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15﹣13＝2（cm）， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm， 故选：B． 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2米．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5米 B.3米 C.1.5米 D.3.5米 【答案】A 【解析】设BO＝x米， 依题意得，AC＝0.5米，BD＝0.5米，AO＝2米． 在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB2＝AO2+OB2＝22+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得，CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， ∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， 解得，x＝1.5， ∴AB＝＝2.5（米）， 即梯子的长度AB为2.5米， 故选：A． 3.已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为（　　） A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，AC＝10m，BC＝6m， ∴AB＝＝＝8（m）， 在Rt△AB′C′中，AC′＝10m，B′C′＝8m， ∴AB′＝＝6（m）， ∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）； 故选：C． 4.如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 【答案】13.6 【解析】∵BD⊥CE， ∴∠BDC＝90°， 由勾股定理得， CD＝＝＝12（米）， ∵四边形BAED是矩形， ∴DE＝AB＝1.6（米）， ∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米）， 故答案为：13.6． 5.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 【答案】101 【解析】设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E， 则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1． 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得2r＝101． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故答案为：101． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】解 （1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程． （2）∵CD＝17m，AD＝8m，AD2+AC2＝DC2， ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是114m2． 7.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】解 在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 八、直角三角形的性质 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA=55°，则∠B的度数为（　　） A.55° B.45° C.35° D.25° 【答案】C 【解析】∵EF∥AB， ∴∠A=∠ECA=55°， ∵∠ACB=90， ∴∠B=90°-∠A=35°． 故选：C． 2.如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【答案】A 【解析】△ABC是直角三角形：理由如下： ∵ED⊥AB， ∴∠1+∠A=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠2+∠A=90°， ∴∠ACB=90°， 即△ACB是直角三角形． 故选：A． 3.在△ABC中，∠A=56°，∠B=34°，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形 【答案】B 【解析】由题意∠C=180°-∠A-∠B=180°-56°-34°=90°， ∴△ABC是直角三角形， 故选：B． 4.如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C=90°，则图中∠1+∠2的度数为       ． 【答案】270 【解析】∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°， ∴∠1+∠2=360°-90°=270°， 故答案为：270． 5.如图，直角△ABC中，∠C=90°，AE，BD分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，则∠DEA=        . 【答案】45° 【解析】∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-90°=90°， ∵AE，BD分别是∠CAB，∠CBA的角平分线， ∴∠EAB=∠BAC，∠EBA=∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA=（∠BAC+∠ABC）=×90°=45°， 由三角形的外角性质得∠DEA=∠EAB+∠EBA=45°． 故答案为：45°． 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF. 【答案】证明 ∵AE平分∠CAB（已知）， ∴∠CAE=∠FAB（角平分线的定义）， ∵∠ACE=90°（已知）， ∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的两锐角互余）， ∵CD是△ABC的高（已知）， ∴∠FDA=90°（三角形高的定义）， ∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的两锐角互余）， ∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）， ∵∠CFE=∠AFD（对顶角相等）， ∴∠CFE=∠CEF（等量代换）， 7.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF是△ABC 的角平分线，过点D作DG∥AF交BC于点G，求证：∠CEF=∠CGD． 【答案】证明 ∵CD⊥AB（已知）， ∴∠ADC=90°（垂直定义）， ∴∠DAE+∠AED=90°（直角三角形两锐角互余）， ∵∠ACB=90°（已知）， ∴∠CAF+∠CFA=90°（直角三角形两锐角互余）， ∵AF是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠CAF=∠DAE（角平分线定义）， ∴∠AED=∠CFA（等角的余角相等）， ∵∠AED=∠CEF（对顶角相等）， ∴∠CEF=∠CFA （等量代换）， ∵DG∥AF（已知）， ∴∠CFA=∠CGD（两直线平行，同位角相等）， ∴∠CEF=∠CGD（等量代换）． 学科网（北京）股份有限公司 $$