第二十章 轴对称（复习课件）数学人教版五四制八年级上册

单元复习课件 第二十章 轴对称 人教版五四制·八年级上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 BY YUSHEN BY YUSHEN 1.掌握轴对称的基本概念和性质：理解轴对称的意义，熟悉轴对称图形的特征，能够识别和绘制简单的轴对称图形。 3.解决最短路径问题：学会利用轴对称原理解决实际生活中的最短路径问题，掌握路径选择的依据和方法，提升综合应用能力。 2. 掌握等腰三角形的性质和应用：理解等腰三角形的轴对称性，能够利用其性质解决与角度、边长相关的几何问题。 单元学习目标 BY YUSHEN BY YUSHEN 单元知识图谱 BY YUSHEN BY YUSHEN 一、轴对称的相关定义和性质 (1) 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做____________，这条直线就是它的_________. (2) 将一个平面图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴. 轴对称图形 对称轴 1.定义 考点串讲 BY YUSHEN BY YUSHEN (3) 轴对称图形的________，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2. 性质 (1) 关于某直线对称的两个图形是全等图形； (2) 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________； 垂直平分线 对称轴 二、垂直平分线的性质和判定 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______. 相等 判定：与线段两个______距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 端点 考点串讲 BY YUSHEN BY YUSHEN 点 (x，y) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ； 三、平面直角坐标系中的轴对称 (x，-y) 点 (x，y) 关于 y 轴对称的点的坐标为 . (-x，y) 四、等腰三角形的性质及判定 1. 性质 (1) 两腰相等； (4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”. 顶角平分线 (3) 两个_______相等，简称“等边对等角”； 底角 (2) 是轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴； 考点串讲 BY YUSHEN BY YUSHEN 2. 判定 (1) 有两边相等的三角形是等腰三角形； (2) 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）. 等角对等边 五、等边三角形的性质及判定 1. 性质 (1) 等边三角形的三边都相等； (2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于_____； (3) 是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线； (4) 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”. 60° (5) 在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 考点串讲 BY YUSHEN BY YUSHEN 2. 判定 (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形； (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形； (3) 有一个角是 60° 的___________是等边三角形. 等腰三角形 六、有关作图 1. 过已知直线外的一点作该直线的垂线； 2. 作线段的垂直平分线； 3. 最短路径问题：(1) 将军饮马问题；(2) 造桥选址问题. 考点串讲 BY YUSHEN BY YUSHEN 题型一：轴对称及轴对称图形 例1 下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　） A B C D C 题型剖析 BY YUSHEN BY YUSHEN 练1 如图，∠3 = 30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为______. 60° 练2 如图，如果直线l是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝120°，∠C＝110°，那么∠CDE的度数等于（　　） A．40° B．60° C．70° D．80° D 练3 将一张矩形纸片叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=_____cm． 6 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 题型二：关于坐标轴对称的点的坐标 例2 按要求完成作图： (1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标： x y O A B C A1 B1 C1 A1 在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别为（ ） A. 3，-2 B. -3，-2 C. 3，2 D. -3，2 C P(-3,0) 例3 题型剖析 BY YUSHEN BY YUSHEN 练6 已知点P1（a＋1，4）和P2（2，b）关于y轴对称，则a－b的值为（　　） A．－7 B．－1 C．1 D．5 A 点（－1，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，－2） C．（－1，－2） D．（2，－1） 点P（3，4）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，－4） B．（－3，4） C．（－4，－3） D．（－4，3） C B 练4 练5 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 题型三：线段垂直平分线的性质和判定 例4 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝10， △ABD的周长是40，则△ABC的周长是（　　） A．70 B．60 C．50 D．40 B 已知△ABC，∠BAC=110°，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线且DE交BC于M点，FG交BC于N点，求∠MAN的度数. 解：设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴110°+∠B+∠C=180°，∴x+y=70°．∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．∴∠DAF=∠BAC-（x+y）=110°-70°=40°．（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm） 例5 题型剖析 BY YUSHEN BY YUSHEN 练7 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝110°，则∠EAF为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° B 如图，已知AC=AD，BC=BD，则（ ） A.CD平分∠ACB B.CD垂直平分AB C.AB垂直平分CD D.CD与AB互相垂直平分 C 练8 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 练9 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE， 已知AB+BD=DC.求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 证明：∵AD是高，∴AD⊥BC， 又∵BD=DE， ∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB=AE， ∴AB+BD=AE+DE， 又∵AB+BD=DC， ∴DC=AE+DE， ∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上． 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 题型四：等腰三角形的性质和判定 例6 如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（　　） A．D是BC中点 B．AD 平分∠BAC C．AB＝2BD D．∠B＝∠C C 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD. 求证：△OAB是等腰三角形． ∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BCA， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC，∴∠ABD＝∠BAC， ∴OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形．   例7 题型剖析 BY YUSHEN BY YUSHEN 练10 长方形具有对边平行的特征，将长方形ABCD按如图所示折叠． （1）若∠FEC＝64°，求∠1的度数； （2）求证：△EFG是等腰三角形． 解：(1) 由折叠得∠GEF＝∠CEF＝64°，∴∠GEB＝52°， ∵AD∥BC，∴∠1＝∠GEB＝52°. (2) 由折叠得∠GEF＝∠CEF，∵AD∥BC， ∴∠GFE＝∠CEF，∴∠GEF＝∠GFE， ∴EG＝FG，∴△EFG是等腰三角形． 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 练11 如图，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，延长DE交AB的延长线于F.（1）求证：△BFE≌△CDE；（2）求证：AE⊥DF. 解：(1) ∵AB∥CD，∴∠F＝∠CDE， 在△BFE和R△CDE中， ， ∴△BFE≌△CDE.   (2) ∵AB∥CD，∴∠F＝∠CDE， ∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADF， ∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF， 由(1)得△BFE≌△CDE，∴DE＝FE，∴AE⊥DF. 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 题型五：等边三角形的性质和判定 例8 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　） A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC C.△BDE是等边三角形 D.△ADE的周长是9 B 题型剖析 BY YUSHEN BY YUSHEN 练12 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC， 点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°， 则BC=_____． 2 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB， 过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 解： （1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4． 练13 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 题型六：含30°角的直角三角形 例9 如图，△ABC为等边三角形， DC∥AB，AD⊥CD于D，若CD＝2， 则AB的长度为　　　　　． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， AD是△ABC的角平分线， CD＝2，则BC＝　　　　　． 4 6 例10 题型剖析 BY YUSHEN BY YUSHEN 练14 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， AE⊥AC，DE垂直平分AB于D，若DE＝2， 则EC＝　　　　　． 如图，等边△ABC中，AD＝BD，过点D作DF⊥AC 于点F，过点F作FE⊥BC于点E，若AF＝6，则 线段BE的长为　　　　　． 8 15 练15 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 题型七：最短路径问题 例11 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点， AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 B A B C D F E 解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点， 即点B与点C关于直线AD对称. ∵点F在AD上，故BF=CF. 即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值， 故连接CE即可， 线段CE的长即为BF+EF的最小值. 题型剖析 BY YUSHEN BY YUSHEN 练16 如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是( ) A．10 B．15 C．20 D．30 A 解析：过点P作关于OA，OB对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点Q，OB于点R，此时△PQR周长的最小，连接OP1 和OP2，可证△OP1 P2为等边三角形，边长为10． 针对训练 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型一：平面几何三要素 课堂总结 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型二：黄金三角形 课堂总结 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型三：坐标中的对称 课堂总结 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型四：手拉手模型 课堂总结 BY YUSHEN BY YUSHEN $$