阶段小卷(7)3.3-3.4-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

阶段小卷(七)[3.3－3.4] (见学生用书P273) [时间：40分钟　满分：100分] 一、单选题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．设f＝xα，则“函数f的图象经过点”是“函数f在上单调递减”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 函数f的图象经过点，则f＝＝1， 因为α∈，所以α＝2，所以f＝x2，所以f在上单调递减． 而f在上单调递减，函数f的图象不一定经过点，如f＝x－1. 所以“函数f的图象经过点”是“函数f在上单调递减”的充分不必要条件． 2．已知幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是(　A　) A．　　　　B．　　　C．　　　　D． 【解析】 设幂函数的解析式为y＝xα，因为该幂函数的图象经过点P，所以16α＝，即24α＝2－2，解得α＝－，即函数y＝x－，也即f＝， 则函数的定义域为，所以排除选项CD；又f＝1>f＝，函数单调递减，故排除B，故选A. 3．已知幂函数f(x)＝mxm－满足条件f(3－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　B　) A． B． C． D． 【解析】 因为f(x)＝mxm－为幂函数，所以m＝1，则f(x)＝x， 故f(x)的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由f(3－a)>f(a)，可得解得0≤a<， 故a的取值范围为. 4．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为150元，每天都客满．公司欲提高客房档次，并提高租金．如果每间房日租金每增加10元，客房出租数就会减少5间，若不考虑其他因素，旅游公司将每间客房日租金提高______元时，每天客房的租金总收入最高(　C　) A．210或220 B．220或240 C．220或230 D．230或240 【解析】 设客房日租金提高10x元，则每天客房出租数为300－5x.设客房租金总收入为y元，则有y＝(150＋10x)·(300－5x)＝－50＋(0<x<60，x∈N*)，所以当x＝22或23时，y有最大值，为70 300元，所以当每间客房日租金提高220元或230元时，客房租金总收入最高，为每天70 300元． 5．已知幂函数f的图象经过点，则函数g＝f在区间上的最大值是(　D　) A．－2 B．－3 C．－4 D．－5 【解析】 设幂函数f＝xα，α∈R，因为过点，所以＝2α，解得α＝－1，f＝x－1＝，则函数g＝f＝＝1－. 因为函数y＝－单调递增，所以g单调递增，则当x∈时， g＝g＝－5. 6．若点在幂函数f(x)＝xn的图象上，则函数g(x)＝＋的值域是(　B　) A． B． C． D． 7．2024·余姚中学高一下列比较大小中正确的是(　C　) A．< B．< C．(－2.1)<(－2.2)－ D．< 【解析】 对于A选项，因为y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，所以<，故A错误， 对于B选项，因为y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，所以>，故B错误， 对于C选项，y＝x为奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以y＝x在(－∞，0)上单调递增， 因为(－2.2)－＝＝，又<，所以(－2.1)<(－2.2)－，故C正确， 对于D选项，y＝x在[0，＋∞)上单调递增，又＝，所以>，所以>，故D错误． 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 8．在某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠： (1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠； (2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠劵； (3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠； (4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是(　ABD　) A．如果购物总额为78元，则应付款为73元 B．如果应付款为234元，则购物总额为260元 C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元 D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 【解析】 对于A，如果购物总额为78元，满足超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券，则应付款为73元，故A正确； 对于B，如果购物总额为x元，超过100元但不超300元，则应付款为0.9x＝234元，解得x＝260，故B正确． 对于C，如果购物总额为368元，购物总额超过300元，则应付款为300×0.9＋68×0.8＝324.4(元)，故C错误； 对于D，如果购物时一次性全部付款442.8元，说明购物总额超过300元，设购物总额为x元，则300×0.9＋(x－300)×0.8＝442.8，解得x＝516元，故D正确． 9． 2024·金陵中学高一已知幂函数f的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(0<x1<x2)是函数图象上任意不同的两点，则下列结论中正确的有(　BC　) A．x1f>x2f B．x1f<x2f C．> D．< 【解析】 因为f是幂函数，可设f＝xα，因为幂函数f的图象经过点， 所以＝，即2－＝2－3α，解得α＝，所以f(x)＝，定义域为， 设g(x)＝xf(x)＝x＝x，因为>0，所以g在上单调递增， 若0<x1<x2，则有g(x1)<g(x2)， 即x1f<x2f，故A不正确； 设h(x)＝＝＝＝x－，定义域为(0，＋∞)， 因为－<0，所以h在(0，＋∞)上单调递减， 若0<x1<x2，则有h(x1)>h(x2)，即>，即x1f<x2f，故B，C正确，D不正确．故选BC. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 10．若函数f＝·xm为幂函数，则f＝__－__． 【解析】 由于f是幂函数，所以m＋4＝1，所以m＝－3，所以f＝x－3，则f＝＝－. 11．幂函数f＝x是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则函数解析式为__f(x)＝x或f(x)＝x__． 【解析】 ∵f＝x是幂函数，也是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增， ∴且7＋3t－2t2为偶数，解得t＝1或t＝－1， 当t＝1时，f＝x， 当t＝－1时，f＝x． 12．某口罩批发商销售的口罩规格为每包100只，每包成本价为10元．经过一段时间，批发商发现当以每包12元出售时，每天销量为800包，若每包口罩的批发价每涨1元，销售量就减少40包．当定价为每包__21__元时，批发商获得的利润最大． 【解析】 设涨价为x元，则获利y＝[(12＋x)－10](800－40x)＝40(2＋x)(20－x)＝40(－x2＋18x＋40)，所以当x＝9时，ymax＝40×121＝4 840，所以定价为12＋9＝21(元)时，批发商获得的利润最大． 13．已知幂函数y＝xm2－2m－3的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足<的a的取值范围为__∪__． 【解析】 幂函数y＝xm2－2m－3在上单调递减，故m2－2m－3<0，解得－1<m<3. 又m∈N*，故m＝1，2. 当m＝1时，y＝x－4关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，y＝x－3不关于y轴对称，舍去； 故m＝1，<，函数y＝x－在和上单调递减， 故a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 14．(11分)2024·荆州中学高一已知幂函数f(x)的图象经过A(2，)，B(1，1)，C，D四点中的两点，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (1)求f(x)的解析式． (2)若f(a＋1)＝f(2a－3)，求实数a的值． 解：(1)设f(x)＝xα， 易知幂函数f(x)的图象必过点B(1，1)， 当幂函数f(x)的图象经过点A(2，)时，2α＝＝2，所以α＝， f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当幂函数f(x)的图象经过点C时，3α＝＝3－2，所以α＝－2，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 当幂函数f(x)的图象经过点D时，＝＝，所以α＝2， f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意： 故f(x)＝x－2. (2)易知f(x)＝x－2的定义域为，且为偶函数， 由f(a＋1)＝f(2a－3)可得，|a＋1|＝|2a－3|≠0， 两边平方整理得，3a2－14a＋8＝0， 解得a＝或a＝4. 故实数a的值为4或. 15．(11分)已知幂函数f(x)＝x－3n2＋9(n∈N)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数y＝f(x)的解析式． (2)设函数g(x)＝＋2tx＋3，求函数y＝g(x)在区间[2，6]上的最小值G(t). 解：(1)因为幂函数f(x)＝x－3n2＋9(n∈N)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以－3n2＋9>0(n∈N)，故n＝0或1. 当n＝0时，f(x)＝x9，不满足题意，故舍去； 当n＝1时，f(x)＝x6，满足题意， 故f(x)＝x6. (2)因为g(x)＝＋2tx＋3，由(1)可得g(x)＝x2＋2tx＋3，函数y＝g(x)的图象的对称轴为直线x＝－t， 当－t≤2即t≥－2时， 函数y＝g(x)在区间[2，6]上单调递增， 所以G(t)＝g(2)＝4t＋7； 当2<－t<6即－6<t<－2时， 函数y＝g(x)在区间[2，－t]上单调递减，在区间[－t，6]上单调递增， 所以G(t)＝g(－t)＝－t2＋3； 当－t≥6即t≤－6时，函数y＝g(x)在区间[2，6]上单调递减，所以G(t)＝g(6)＝12t＋39. 综上所述，G＝ 16．(11分)2024·北仑中学高一某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为y＝且每处理1吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解：(1)设该项目获得的利润为Q(元)，当x∈[200，300]时， 则有Q＝200x－x2＋200x－80 000＝－(x－400)2，x∈[200，300]. 显然Q<0，∴该项目不会获利． 当x＝300时， Qmax＝－×(300－400)2＝－5 000. ∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)设每吨的平均处理成本为z(元)，则有 z＝＝ 当x∈[120，144)时，z＝(x－120)2＋240， ∴zmin＝240； 当x∈[144，500)时，z＝＋－200≥2－200＝200.当且仅当＝，即x＝400时，等号成立，∴zmin＝200. ∵240>200，∴该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 学科网（北京）股份有限公司 $$