高效作业70 5.7 第1课时 三角函数的应用(一)-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

高效作业70[5.7　第1课时　三角函数的应用(一)](见学生用书P365) [A级　教材落实与巩固] 　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　 1．若一台发电机的输出电流与时间的关系是f(x)＝2sin (x∈(0，＋∞))，则该函数的周期、振幅、初相分别是(　B　) A．，2， B．，2， C．，2，－ D．，2，－ 2．若商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则人流量增加的时间段是(　C　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin ，s2＝5cos .则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　C　) A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定 4．[多选题]如图，这是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　ABD　) A．该质点的运动周期为0.8 s B．该质点运动的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 【解析】 由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0. 5．半径为2 m的水轮如图所示，水轮的圆心O距离水面 m．已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式y＝A sin ＋k.从点P离开水面开始计时，则点P到达最高点所需最短时间为(　B　) A．s B．s C．s D．10 s 【解析】 水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数y＝f的最小正周期为15 s，则ω＝， 由水轮的半径为2 m，水轮圆心O距离水面 m， 因为y＝A sin ＋k，可得k＝，A＝2，所以y＝2sin ＋， 当水轮上点P从水中浮出，即x＝0 s时开始计时， 令x－＝，解得x＝，点P第一次到达最高点需要 s． 6．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数I＝5sin ，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行了__25__次． 【解析】 ∵周期T＝＝(s)，∴频率为每秒50次． ∴0.5 s往复运行了25次． 7．已知某地一天的温度y(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足y＝10－8sin ，则该地这一天的最大温差为__16__℃. 【解析】 因为0≤t≤24，则0≤≤2π，所以ymax＝18，ymin＝2， 所以最大温差为ymax－ymin＝18－2＝16(℃). 8．2024·宁波中学高一一个观览车示意图如下所示，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面的距离为h. (1)求h与θ之间的函数解析式． (2)设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h与t之间的函数解析式． 解：(1)如图，过点O作地面的平行线ON，交圆O于点N，过点B作ON的垂线BM，交ON于点M. 当＜θ≤π时，∠BOM＝θ－， h＝OA＋0.8＋BM＝5.6＋4.8sin . 当0≤θ≤或π＜θ≤2π时，上述解析式也适合． 综上所述，h＝5.6＋4.8sin . (2)因为点A在⊙O上逆时针运动的角速度是 rad/s， 所以t s转过的弧度数为t， 所以h＝4.8sin ＋5.6，t∈[0，＋∞). [B级　基本方法与思维] 9．在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时，则物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系式为(　D　) A．x＝sin B．x＝3sin t C．x＝sin D．x＝3sin 【解析】 设位移x关于时间t的函数为x＝f(t)＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则A＝3，周期T＝＝3，故ω＝，由题意可知当t＝0时，f(t)取得最大值3，故3sin φ＝3，故φ＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，x＝3sin . 10．2024·南京外国语高一据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按y＝A sin (ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低，为5千元，根据以上条件可确定y(单位：千元)的函数解析式为(　A　) A．y＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*) B．y＝9sin (1≤x≤12，x∈N*) C．y＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N*) D．y＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*) 【解析】 由题意，可得A＝＝2，b＝7， 周期T＝＝2×(7－3)＝8， ∴ω＝，∴y＝2sin ＋7. ∵当x＝3时，y＝9，∴2sin ＋7＝9. 即sin ＝1. 又|φ|<，∴φ＝－， ∴y＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*). 11．某市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　C　) A．10 000元 B．9 500元 C．9 000元 D．8 500元 【解析】 因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)， 所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000； 当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500， 所以ω可取，φ可取π， 即y＝500sin ＋9 500， 所以当x＝3时，y＝9 000. [C级　素养形成与创优] 12．2024·广雅中学高一风车发电是指把风的动能转为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高70米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且4秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面30米).设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数关系式为__S＝70－40__cos__t(t≥0)__，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为____秒． 【解析】 设S＝A sin ＋B(A>0，ω>0)，由题得所以A＝40，B＝70， 又＝4，∴ω＝，所以S＝40sin ＋70.又函数的图象过点(0，30)，所以30＝40sin ＋70，所以φ＝－，所以S＝40sin ＋70＝70－40cos t. 所以S＝70－40cos t. 令70－40cos t≥50，所以cos t≤， 所以2kπ＋≤t≤2kπ＋，k∈Z， 所以4k＋≤t≤4k＋，k∈Z.当k＝0时，≤t≤， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为秒． 13．某国际“花式风筝冲浪”集训队，在某海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图．观察散点图，从①y＝A sin (ωt＋φ), ②y＝A cos (ωt＋φ)＋b，③y＝－A sin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式． (2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？ 解：(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示． 依题意，选②y＝A cos (ωt＋φ)＋b作为函数模型， ∴A＝＝，b＝＝，T＝12， ∴ω＝＝， ∴y＝cos ＋. 又∵函数图象过点(3，2.4)， 即2.4＝cos ＋， ∴cos ＝1，∴sin φ＝－1， 又∵－π<φ<0，∴φ＝－， ∴y＝cos ＋＝sin t＋ . (2)由(1)知，y＝sin t＋， 令y≥1.05，即sin t＋≥1.05， ∴sin t≥－， ∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)， ∴12k－1≤t≤12k＋7. 又∵5≤t≤18， ∴5≤t≤7或11≤t≤18， ∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全． 学科网（北京）股份有限公司 $$