高效作业68 5.6.1 5.6.2 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

高效作业68[5.6.1　5.6.2　第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质] (见学生用书P361) [A级　教材落实与巩固] 　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　 1．已知函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象如右所示，则(　D　) A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 2．若将函数y＝2sin 的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为(　A　) A．x＝＋ B．x＝－ C．x＝－ D．x＝＋ 3．[多选题]已知函数f(x)＝sin ，则f(　BD　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．图象关于点成中心对称 D．图象关于点成中心对称 【解析】 因为f＝sin ＝ sin ＝cos x，故函数f为偶函数． 因为函数f图象的对称中心坐标为，所以函数f的图象关于点成中心对称． 4．设函数f(x)＝A sin ＋B(A＞0，ω＞0)的定义域为R，周期为，值域为[－1，3]，则函数f(x)的解析式为(　A　) A．f(x)＝2sin ＋1 B．f(x)＝2sin －1 C．f(x)＝－2sin －1 D．f(x)＝－2sin ＋1 5．已知函数f＝sin (ω>0，0<φ<π)的部分图象如下，△ABC是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且＝3，则(　D　) A．f＝ B．f＋f＝0 C．f在上单调递减 D．函数f的图象关于点中心对称 【解析】 由△ABC为等腰直角三角形，C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1，所以AB＝2，则函数f的周期为4.由＝4，ω>0，可得ω＝，又＝3，所以A，B，则C，将点C代入f＝sin ，得1＝sin ，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z.而0<φ<π，则φ＝，所以f＝sin ，则f＝sin ＝－，A错误；f＋f＝sin ＋sin ＝sin ＋sin ＝，B错误；若x∈，则x＋∈，显然函数不是单调的，C错误；f＝sin ＝sin ＝0，所以函数f的图象关于点中心对称，D正确. 6．如图，这是一个直径为6 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，y<0表示P在水面下)，则(　A　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝6 D．ω＝，A＝6 【解析】 由题意知，水轮的半径为3 m，水轮圆心O距离水面2 m，所以A＝3.因为水轮每分钟转2圈，所以转一圈需要30 s，所以T＝30＝，解得ω＝. 7．2024·缙云中学高一已知f＝sin (2x＋φ)是奇函数，关于该函数，有下列四个说法： ①f的最小正周期为2π；②f在上单调递增；③当x∈时，f的取值范围为；④f的图象可由g＝sin 的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为(　A　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ∵定义在R上的函数f＝sin 是奇函数， 即f＝sin ＝0，∵<π，∴φ＝0， f＝sin 2x， ∴最小正周期为T＝＝π，故①错误； ∵当x∈时，2x∈，由复合函数的单调性知，内函数t＝2x是单调递增的， 外函数y＝sin t在t∈上也单调递增， ∴函数f在上单调递增，故②正确； ∵当x∈时，2x∈，∴f的取值范围为，故③错误； ∵函数f的图象可由g＝sin 的图象向右平移个单位长度得到，故④错误． 8．[多选题]已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ) 的部分图象如上，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　ABC　) A．函数f(x)最靠近原点的零点为－ B．函数f(x)的图象与y轴的交点为(0，) C．函数f是偶函数 D．函数f(x)在上单调递增 【解析】 根据函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2， 设f(x)的最小正周期为T，则＝－＝，所以T＝2π，ω＝＝1. 因为f＝2cos ＝2，且|φ|<， 所以φ＝－，故f(x)＝2cos . 令f(x)＝2cos ＝0，得x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z，因此函数f(x)最靠近原点的零点为－，故A正确； 由f(0)＝2cos ＝，因此函数f(x)的图象与y轴的交点为(0，)，故B正确； 由f＝2cos (x－π)＝－2cos x，因此函数f是偶函数，C符合题意； 令2kπ－π≤x－≤2kπ，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，此时函数f(x)单调递增， 于是函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，D不正确． 9．已知函数f(x)＝4sin ＋2(ω>0，0<φ<π)为偶函数，点A，B是f(x)图象上的两点，若的最小值为2，则f＝__4__． 【解析】 因为函数f(x)＝4sin ＋2为偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝4sin ＋2＝4cos ωx＋2，因为的最小值为2，所以T＝8，所以＝8，即ω＝，所以f(x)＝4cos x＋2，所以f＝4cos ＋2＝4. 10．2024·泰安一中高一已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，且图象上一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式． (2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值． 解：(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M，得A＝2. 由最小正周期T＝π，得ω＝＝＝2. 由点M在图象上，得2sin ＝－2， 即sin ＝－1， 所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 故φ＝2kπ－(k∈Z). 又φ∈， 所以k＝1，φ＝. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin . (2)因为x∈，所以2x＋∈， 所以当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1； 当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值. [B级　基本方法与思维] 11．已知函数f(x)＝sin (ω>0，<π)，其图象关于点成中心对称，相邻两条对称轴的距离为，且对任意x∈R，都有f(x)≥f，则在下列区间中，f(x)单调递减的是(　C　) A． B． C． D． 【解析】 因为相邻两条对称轴的距离为，所以函数的最小正周期为T＝2×＝π，所以ω＝＝2，对任意x∈R，都有f(x)≥f，则f是函数的最小值，＋＝，－＝，因此在上函数单调递增，D错误；在上单调递减，C正确；是函数的一个最大值点，AB错误，故选C. 12．2024·保定三中高一记函数f(x)＝sin ＋b的最小正周期为T，若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　A　) A．1 B． C． D．3 【解析】 因为函数f(x)的最小正周期T＝，所以<<π2<ω<3， y＝f(x)的图象关于点中心对称， 所以结合2<ω<3， 得<k<，k∈Zk＝4，于是ω＝， 所以f(x)＝sin ＋2， 因此f＝sin ＋2＝sin ＋2＝－1＋2＝1. 13．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式． (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解：(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝. 又当t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5； 当t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝， ∴函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24). (2)∵当y>1时，才对冲浪爱好者开放， ∴y＝cos t＋1>1，即cos t>0， 则2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z， 解得12k－3<t<12k＋3(k∈Z). 又0≤t≤24，∴0≤t<3或9<t<15或21<t≤24， ∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动，即9<t<15. [C级　素养形成与创优] 14．2024·北仑中学高一下图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象． (1)求函数f(x)的解析式． (2)求函数f(x)的单调递增区间． (3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 解：(1)由题中的图象知，A＝2，＝－＝， 所以T＝π，ω＝＝2. 因为图象过点， 所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z. 因为|φ|<， 所以φ＝， 故函数解析式为f(x)＝2sin . (2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (3)由题意得g(x)＝2sin 在上的图象，如图所示， 由函数的图象可知，当m∈时，方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根， 故实数m的取值范围是[，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$