高效作业66 5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

高效作业66[5.5.2　第2课时　简单的三角恒等变换(二)](见学生用书P355) [A级　教材落实与巩固] 　　　　　　　　 　　　　　 　　　　 1．函数f(x)＝sin x＋cos x图象的一个对称中心是(　D　) A． B． C． D． 【解析】 因为f(x)＝sin x＋cos x＝sin ，根据函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，可知四个选项中只有当x＝－时，f＝0，即函数f(x)图象的一个对称中心为. 2．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则f(x)的(　B　) A．最小正周期为π，最小值为－－1 B．最小正周期为π，最小值为－2 C．最小正周期为2π，最小值为－－1 D．最小正周期为2π，最小值为－2 【解析】 因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin ，所以最小正周期为T＝＝π，最小值为－2. 3．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于(　C　) A．4 B．－6 C．－4 D．－3 【解析】 f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin ＋a＋1. 当x∈时，2x＋∈， ∴f(x)min＝2×＋a＋1＝－4，∴a＝－4. 4．若sin α－cos α＝，则cos 等于(　D　) A． B．－ C． D．－ 【解析】 因为sin α－cos α＝2＝ －2cos ＝，所以cos ＝－. 5．函数f(x)＝sin x－cos 的值域为(　B　) A．[－2，2] B．[－，] C．[－1，1] D． 【解析】 因为f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝ ＝sin ，所以函数f(x)的值域为[－，]. 6．等于(　A　) A． B．1 C． D． 【解析】 ＝＝＝＝. 7．若不等式4sin2x＋4sinx cos x＋5≤m在上有解，则实数m的最小值为(　B　) A．11 B．5 C．－5 D．－11 【解析】 设y＝4sin2x＋4sinx cos x＋5＝2(1－cos 2x)＋2sin 2x＋5＝4sin ＋7. 因为x∈，所以2x－∈， 所以y＝4sin ＋7∈[5，11]， 又y≤m有解，故实数m的最小值为5. 8．2024·孝感中学高一若－λcos 10°＝，则λ的值为(　B　) A．1 B．4 C．－1 D．2 【解析】 若－λcos 10°＝， 则λ＝ ＝ ＝＝4. 9．已知2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝____，b＝__1__. 【解析】 2cos2x＋sin2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝ sin ＋1，∴A＝，b＝1. 10．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期是__2π__． 【解析】 f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2cos ，所以函数f(x)的最小正周期是2π. 11．在△ABC中，cos B＝，则cos2＋tan2＝____． 【解析】cos2＋tan2＝＋＝＋ ＝＋＝＋＝＋＝＋＝. 12．2024·长沙一中高一设函数f(x)＝2sin x·cos x＋cos 2x(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期． (2)求函数y＝f(x)－(cos x－sin x)·(cos x＋sin x＋1)的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝2sin x cos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以T＝π. (2)因为y＝f(x)－(cos x－sin x)·(cos x＋sin x＋1) ＝2sin x cos x＋cos 2x－(cos2x－sin2x)－(cosx－sin x) ＝2sin x cos x－(cos x－sin x)，令t＝cos x－sin x＝－sin ，则t∈，且 2sin x cos x＝1－t2，所以y＝－t2－t＋1＝－＋∈.故所求函数的取值范围为. [B级　基本方法与思维] 13．[多选题]已知函数f(x)＝2sin x·cos ＋，则(　BC　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的最大值为2 【解析】 f(x)＝2sin x＋＝sin x cos x＋(1－2sin2x)＝sin2x＋cos 2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期为 ＝π，最大值为1，故AD错误；令2x＋＝＋kπ，则x＝＋(k∈Z)，即对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，故B正确；令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为，又，所以f(x)在上单调递减，故C正确． 14．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2＝____． 【解析】设OC＝r.因为AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，所以AD＝，所以OD＝，所以CD＝r，所以tan θ＝＝.因为tan θ＝＝，所以tan＝(负值舍去)， 所以tan2＝. 15．2024·丽水中学高一如图，某儿童公园设计了一个直角三角形滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB＝20米，设∠AOB＝θrad，一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t2和sin θ的积成正比，当θ＝且小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米． (1)求s关于时间t的函数表达式． (2)请确定θ的值，使小朋友从点A滑到点O所需的时间最短． 解：(1)由题意，设s＝kt2sin θ，t≥0，k>0， 当θ＝，t＝2时，s＝10， 所以10＝k×22sin ，解得k＝5， 故s关于时间t的函数表达式为s＝5t2sin θ，t≥0. (2)由题意，∠OBA为直角，∠AOB＝θ rad， 可得OA＝，所以＝5t2sin θ， 化简可得t＝＝， 所以当θ＝时，时间t最短． [C级　素养形成与创优] 16．已知POQ是半径为5，圆心角为θ(tan θ＝2)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．当矩形ABCD的周长最大时，BC边的长为____． 【解析】 由tan θ＝＝2， sin2θ＋cos2θ＝1， 0<θ<，得 设∠COP＝α，则AD＝BC＝OC sin α＝5sin α， OB＝OC cos α＝5cos α， 在Rt△OAD中，∠AOD＝θ， ∴OA＝＝sin α， ∴CD＝AB＝OB－OA＝5cos α－sin α， ∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝ 2×＝5 ＝5sin ， 当α＋θ＝时，矩形ABCD的周长取最大值5， 此时BC＝5sin α＝5sin ＝5cos θ＝. 17．阅读下面的材料： sin 3θ＝sin ＝sin 2θcos θ＋cos 2θsin θ ＝2sin θcos2θ＋sinθ ＝2sin θ＋ ＝3sinθ－4sin3θ. 解答下列问题： (1)证明：cos3θ＝4cos3θ－3cosθ. (2)若函数f(x)＝＋sin －5，x∈，求f(x)的值域． 解：(1)证明：cos 3θ＝cos ＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ ＝cosθ－2sin2θcosθ＝2cos3θ－cosθ－2cosθ ＝4cos3θ－3cosθ， 即cos 3θ＝4cos3θ－3cosθ得证． (2)f(x)＝＋sin －5 ＝＋sin －5＝＋sin －5 ＝＋sin －5 ＝－＋sin－5 ＝－＋sin－5 ＝－4sin2＋sin－2， 令t＝sin ，g＝－4t2＋t－2， 因为x∈，所以x＋∈， 所以t＝sin ∈. 又函数g＝－4t2＋t－2的图象开口向下，对称轴为直线t＝， 所以函数g＝－4t2＋t－2在t∈上单调递减， 因此g≤g<g，即－6＋≤g<－3， 所以f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$