高效作业13 2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

高效作业13[2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用] [A级　教材落实与巩固] 　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　 1．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为(　A　) A．81 m2 B．36 m2 C．18 m2 D．9 m2 2．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25，则该公司每台机器年平均利润的最大值是(　A　) A．8万元 B．12万元 C．28万元 D．56万元 3．如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是(　D　) A． B． C．1 D．2 【解析】 设一个正方形的边长为x，面积之和为y，则另一个正方形的边长为2－x，0＜x＜2， 则y＝x2＋≥＝2， 当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立， 故两个正方形面积之和的最小值为2. 4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　B　) A．30件 B．60件 C．80件 D．100件 【解析】 根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是900＋x×＝900＋x2，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y， 则y＝＝＋(x∈N*)， 由基本不等式，得＋≥2＝30， 当且仅当＝，即x＝60时，等号成立， 即每批生产产品60件时，平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小． 5．[多选题]一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有(　AC　) A． B． C． D． 【解析】 不妨设矩形的长宽分别为a，b，则＝a＋b≥2＝2≥S. 对于A项，显然1≤＝1成立，符合题意， 对于C项，显然7≤＝9成立，符合题意， 即A，C正确； 对于B项，显然6≤＝4不成立， 对于D项，显然3≤＝不成立，即B，D错误． 故选AC. 6．某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x台机器人的总成本为P(x)＝x2＋x＋150(单位：万元).若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人__300__台． 【解析】 购买x台机器人的总成本为P(x)＝x2＋x＋150，则平均成本＝＋1＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即x＝300时，平均成本最低，为2万元. 7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过__2__h后池水中该药品的浓度达到最大． 8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽 2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是__56__dm2. 【解析】 设阴影部分的竖边长为x dm，则另一边长为 dm，四周空白部分的面积是y dm2. 由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)， 当且仅当x＝，即x＝12时等号成立．即四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 9．某公司设计了如下的绿化景观地带，这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接，两条平行线段的长为100 m，这样设计有什么好处？你能说出这样设计的理由吗？ 解：设矩形的长为x m，半圆的直径为d m，中间矩形的面积是S m2， 则S＝dx，且2x＋πd＝400， 所以S＝dx＝·πd·2x ≤×＝， 当且仅当πd＝2x＝200，即x＝100，d＝时，等号成立．因此这样设计的一个好处是此时中间矩形的面积最大． [B级　基本方法与思维] 10．某合作社需要分装一批蔬菜．已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成．为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕．由于现有的男女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装．已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗．根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克．则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为(　B　) A．10 B．15 C．30 D．45 【解析】 设安排男社员x名，女社员y名， 根据题意，可得＋＝1，平均损耗蔬菜量之和为＋， 则＋＝·＝＋＋≥2＋＝＋＝15，当且仅当＝，即x＝8，y＝6时等号成立， 则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为15. 11．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度最大的一种是(　D　) A．先提价p%，后提价q%(p≠q) B．先提价q%，后提价p%(p≠q) C．两次都提价%(p≠q) D．两次都提价%(p≠q) 【解析】 设提价前的价格为1，由题意可知，A，B选项的两次提价后的价格均为(1＋p%)(1＋q%)；C选项的提价后的价格为，D选项的提价后的价格为， 又∵<， ∴(1＋p%)(1＋q%)<<， ∴提价幅度最大的为D选项． 12．2024·厦门一中高一某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__12__ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 【解析】 设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 13．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求，在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2.设矩形的一边长为x m，总造价为y元． (1)求y关于x的函数解析式． (2)当x取何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 解：(1)因为矩形区域的面积为200 m2，故矩形的邻边长为 m， 绿化的面积为2×2×x＋2×2×＝4x＋－16， 中间区域硬化地面的面积为(x－4)＝216－4x－， 故y＝×200＋×100，整理得y＝400x＋＋18 400. 由可得4<x<50， 故y＝400x＋＋18 400(4<x<50). (2)由基本不等式，可得400x＋＋18 400≥400×2＋18 400＝8 000＋18 400，当且仅当x＝10时等号成立， 故当x＝10时，总造价最低且最低为(8 000＋18 400)元． [C级　素养形成与创优] 14．已知长为a，宽为b的长方形，如果该长方形的面积与边长为k1的正方形面积相等；该长方形周长与边长为k2的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为k3的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为k4的正方形面积和周长的比相等，那么k1，k2，k3，k4的大小关系为(　D　) A．k1≤k4≤k2≤k3 B．k3≤k1≤k2≤k4 C．k4≤k1≤k3≤k2 D．k4≤k1≤k2≤k3 【解析】 由题意可得，ab＝k①，a＋b＝2k2②，＝k3③，＝④，且a，b>0， 由基本不等式的关系可知，a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立， 由①②得，2k2≥2k1，所以k2≥k1⑤. 因为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2， 所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b时等号成立， 由②③得，2k≥，所以k3≥k2⑥. 又≤＝，当且仅当a＝b时等号成立， 由①④得，≤，所以k4≤k1⑦. 综合⑤⑥⑦可得，k4≤k1≤k2≤k3. 15．2024·无锡一中高一“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图1)的两直角边长分别为a和b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长．”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图2和图3所示的解答，则图1中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为____，当内接正方形的面积为1时，图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为__2__. 【解析】 设内接正方形的边长为x，则题图2中的长方形的面积为ab，题图3中的长方形的面积为(a＋b)x，因为题图2和题图3的面积相等，则ab＝(a＋b)x，解得x＝，故内接正方形的边长为.当内接正方形的面积为1时，内接正方形的边长x＝1，则有a＋b＝ab，利用基本不等式可得，a＋b＝ab≥2，故ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab－2≥2，故面积总和的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$