5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

第3课时　两角和与差的正切公式 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用． (见学生用书P174)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) (1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　√　) (2)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立．(　×　) (3)tan 可以使用公式tan (α＋β)＝求值．(　×　) (4)＝tan 128°.(　√　) (见学生用书P174)　　　　　　　 类型一　化简求值 计算下列各式的值． (1)tan . (2). 解：(1)∵tan 75°＝tan ＝ ＝＝＝＝2＋， ∴tan ＝－tan 75°＝－2－. (2)原式 ＝tan ＝tan 150°＝－tan 30°＝－. 活学活用 (1)tan 15°＋tan 105°＝__－2__． (2)＝__－1__． 【解析】 (1)tan 15°＋tan 105°＝tan (45°－30°)＋tan (45°＋60°) ＝＋＝＋＝－2. (2)原式＝＝＝＝－1. [题后感悟] 在应用公式时应先从所要化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． 类型二　给值求值(角) 2024·台州一中高一已知sin α＝，α为第二象限角，且tan (α＋β)＝－，则tan β的值为(　C　) A．－ B． C．－ D． 【解析】 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－， ∴tan α＝－. ∵tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝－. 活学活用 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求： (1)tan (α＋β)的值． (2)α＋2β的大小． 解：由条件得cos α＝，cos β＝. ∵α，β为锐角， ∴sin α＝＝，sinβ＝＝. 因此tanα＝＝7，tan β＝＝. (1)tan (α＋β)＝＝＝－3. (2)tan (α＋2β)＝tan [β＋(α＋β)]＝ ＝＝－1. ∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝. [题后感悟] (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 类型三　　两角和与差的正切公式的综合应用 2024·枣庄一中高一已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　B　) A． B．－ C．或－ D．－或 【解析】 由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，∴tan α<0，tan β<0. ∴tan (α＋β)＝＝＝. 又∵－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0， ∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－. 活学活用 [多选题]2024·武汉六中高一已知在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则下列各式中正确的是(　CD　) A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 【解析】 ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C， ∴tan (A＋B)＝，∴选项A，B错误； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝， ∴tan A tan B＝.① 又tan A＋tan B＝，② ∴联立①②解得tan A＝tan B＝， ∴cos B＝sin A，故选项C，D正确． [题后感悟] 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，一是这两个整体与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．tan 15°＝(　C　) A．－2＋ B．－2－ C．2－ D．2＋ 【解析】 tan 15°＝tan (45°－30°) ＝＝＝2－. 2．与 相等的是(　B　) A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21° 【解析】 原式 ＝＝tan ＝tan 24°. 3．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于(　B　) A． B．2 C．1＋ D．不确定 【解析】 ∵α＋β＝， ∴tan (α＋β)＝＝－1， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β ＝1－(tan αtan β－1)＋tan αtan β＝2. 4．2024·丽水中学高一在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则C＝____． 【解析】 由题意得tan A＋tan B＝，tan A tan B＝， ∴tan (A＋B)＝＝＝1. 又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan (A＋B)＝－1，∴C＝. 5．已知tan ＝，tan ＝－，则tan ＝____． 【解析】 tan ＝tan ＝ ＝. 温馨提示：课后请完成高效作业63 学科网（北京）股份有限公司 $$