4.2.2 指数函数的图象和性质(一)-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

4.2.2　指数函数的图象和性质(一) 1．掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题． (见学生用书P97)　　　　　　　 常用结论 1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究． 3．在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 判断正误 (请在括号中打“√”或“×”) 指数函数的图象 (1)y＝(＋1)x在R上单调递增．(　√　) (2)函数y＝2－x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．(　×　) (3)函数f(x)＝ax－2－3(a>0且a≠1)的图象必经过的定点是(2，－3).(　×　) (4)若am>1，则m>0.(　×　) 与指数函数有关的定义域、值域问题 (5)若a>1，则当f(x)有最大值时，g(x)＝af(x)也有最大值．(　√　) (6)若函数g(x)＝af(x)(a>0，且a≠1)，则g(x)与f(x)的定义域与值域相同．(　×　) (7)若函数g(x)＝af(x)(a>0，且a≠1)的值域为(0，＋∞)，则f(x)的值域必为R.(　√　) (见学生用书P98)　　　　　　　 类型一　指数函数的图象 角度1　指数函数的图象特征 　　2024·厦门一中高一下图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数a的值可取为，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4中a的值依次为(　D　) A．，，，　　　B．，，， C．，，， D．，，， 【解析】 设曲线C1，C2，C3，C4中a的值依次是a1，a2，a3，a4，由指数函数的性质，知0<a1<1，0<a2<1，a3>1，a4>1，从而排除选项A，B.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，从而得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝.故选D. 活学活用 同一直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝xa(a>0，且a≠1)的图象可能是(　B　) 　A.　　　　B.　　　　　　C.　　　　　D. 【解析】 ∵a>0且a≠1，y＝a－x＝. ∴选项A，B中，0<<1，即a>1；选项C，D中，>1，即0<a<1. 对于幂函数y＝xa(a>0)的图象， 选项A中，0<a<1；选项B，C中，a>1；选项D中，a<0.因此选项B符合． [题后感悟] 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大致形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 角度2　指数函数图象的应用 例2 (1)2024·绍兴一中高一已知函数f(x)＝ax－4－(a>0且a≠1)的图象过定点(m，n)，则＝(　D　) A． B． C． D． (2)若函数y＝ax＋m－1(a>0，a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则(　B　) A．a>1 B．a>1且m<0 C．0<a<1且m>0 D．0<a<1 【解析】 (1)因为指数函数y＝bx(b>0且b≠1)过定点(0，1)，所以f(x)＝ax－4－(a>0且a≠1)的图象过定点，所以m＝4，n＝，所以mn＝，所以＝＝＝＝. (2)函数y＝ax＋m－1(a>0，a≠1)的图象是把函数y＝ax的图象向上或向下平移|m－1|个单位长度得到的．∵函数y＝ax＋m－1(a>0，a≠1)的图象经过第一、三、四象限，∴a>1且m－1<－1，得a>1且m<0. 活学活用 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图象如右，其中 a , b 为常数，则下列结论正确的是(　D　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (2)函数 y＝a2x＋1＋1(a>0，且 a≠1)的图象过定点____． 【解析】 (1)由图象可知函数f(x)单调递减，所以0<a<1.又0<f<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0. (2)令2x＋1＝0，得x＝－，y＝2，所以函数图象恒过点. [题后感悟] 指数函数图象问题的处理技巧 (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点；(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 类型二　与指数函数有关的定义域、值域问题 2024·青岛二中高一求下列函数的定义域和值域． (1)y＝0.4.(2)y＝3.(3) y＝. 解：(1)由x－1≠0，得x≠1.故所求函数的定义域为{x|x≠1}． 由≠0，得y≠1.故所求函数的值域为{y|y>0且y≠1}． (2)由5x－1≥0，得x≥.故所求函数的定义域为.由≥0，得y≥1，故所求函数的值域为[1，＋∞). (3)依题意知，函数的定义域为R，y＝＝1－，因为3x>0，所以1＋3x>1，所以0<<1，所以－1<－<0，所以0<1－<1，所以函数的值域为(0，1). 活学活用 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝5.(2)y＝.(3)y＝. 解：(1)定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)；值域为(0，1)∪(1，＋∞). (2)定义域为R；值域为(0，＋∞). (3)由－1≥0，得x≤0. ∴定义域为(－∞，0]；值域为[0，＋∞). [题后感悟] (1)形如y＝af(x)的函数的定义域是使f(x)有意义的x的集合．(2)求形如y＝af(x)的函数的值域时要先求出f(x)的值域，再由单调性得出af(x)的值域．若a>0且a≠1，要对a进行分类讨论． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　C　) 　 A． 　　　　　　　　　　B． 　 C．　　　　　　　　　　 D. 【解析】 由于0<m<n<1，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象． 2．2024·唐山一中高一已知f(x＋1)的定义域是[0，31)，则f(2x)的定义域是(　C　) A．[1，32) B．[－1，30) C．[0，5) D．(－∞，30] 【解析】 ∵f(x＋1)的定义域是[0，31)，即0≤x<31，∴1≤x＋1<32，∴f(x)的定义域是[1，32)，∴若f(2x)有意义，则必须满足20＝1≤2x<32＝25，∴0≤x<5. 3．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　A　) A．0<a<1且b<0 B．a>0且b>0 C．0<a<1且b>0 D．a>1且b<0 【解析】 如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零)，即a0＋b－1<0，且0<a<1，所以0<a<1，且b<0. 4．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点__(2，2)__． 【解析】 因为a0＝1，所以当x＝2时，ax－2＋1＝2，所以函数y＝ax－2＋1必经过点(2，2). 5．2024·鄞州中学高一求下列函数的定义域和值域． (1)y＝2－1.(2)y＝－2. 解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2>0且2≠1，故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞). (2)函数y＝－2的定义域为实数集R，由于2x2≥0，所以2x2－2≥－2，故0<－2≤9，所以函数y＝－2的值域为(0，9]. 温馨提示：课后请完成高效作业34 学科网（北京）股份有限公司 $$