3.2.2 第2课时 奇偶性的应用-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

第2课时　奇偶性的应用 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式． (见学生用书P75)　　　　　　　 判断正误 (请在括号中打“√”或“×”) (1)若f(x)为奇函数且在[a，b]上有最大值，则f(x)在[－b，－a]上有最小值．(　√　) (2)若函数f(x)为偶函数且在[1，2]上单调递增，则f(x)在[－2，－1]上也是单调递增．(　×　) (3)若偶函数f(x)在[0，4]上单调递增，则在[－1，0]上单调递减．(　√　) (见学生用书P75)　　　　　　　 类型一　根据函数的奇偶性求函数的解析式 角度1　定义法求函数解析式 例1　若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式． 解：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)， 所以当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1. 故f(x)＝ 迁移探究 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式． 解：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x)＝x2＋2x－1，即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1. [题后感悟] 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．(3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x). 角度2　方程组法求函数解析式 例2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋， 所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2.② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2， (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 活学活用 2024·东阳中学高一已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x＋3，则f(x)－g(x)＝__－x2＋2x－3__． 【解析】 根据题意，f(x)＋g(x)＝x2＋2x＋3，则f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3，又由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，则有－f(x)＋g(x)＝x2－2x＋3，变形可得f(x)－g(x)＝－x2＋2x－3. [题后感悟] 已知函数f(x)，g(x)的组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解． 类型二　利用函数奇偶性与单调性比较大小 例3 (1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　B　) A．f＜f(－1)＜f(2) B．f(2)＜f＜f(－1) C．f(2)＜f(－1)＜f D．f(－1)＜f＜f(2) (2)已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　B　) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) 【解析】 (1)因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2).又f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，所以f(2)＝f(－2)＜f＜f(－1). (2)∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在R上单调递增，∴f(－1)<f(－0.5)<f(0). [题后感悟] 比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 类型三　利用函数单调性与奇偶性解不等式 例4 2024·苏州中学高一已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解：因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f(x)在区间[－2，2]上单调递减． 又f(1－m)<f(m)， 所以即解得－1≤m<. 故实数m的取值范围是. 活学活用 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是(　C　) A．[－2，2] B．[－2，1] C．[－1，3] D．[0，2] 【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－1.因为奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在R上是减函数．由－1≤f(x－1)≤1得f(2)≤f(x－1)≤f(－2)，所以2≥x－1≥－2，解得－1≤x≤3. [题后感悟] 抽象不等式问题的解题步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系． (2)利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　A　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是(　B　) A．y＝ B．f(x)＝x3 C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 3．已知偶函数f(x)在[0，π]上单调递增，则下列关系式成立的是(　C　) A．f(－π)＞f＞f(2) B．f(2)＞f＞f(－π) C．f(－π)＞f(2)＞f D．f＞f(2)＞f(－π) 【解析】 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－π)＝f(π)，f＝f.又因为f(x)在[0，π]上单调递增，所以f(π)＞f(2)＞f，即f(－π)＞f(2)＞f. 4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是__<x<__． 【解析】 因为f(x)为偶函数且在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，且图象关于y轴对称．因为f(2x－1)<f，所以|2x－1|<，即－<2x－1<，则<x<. 5．2024·余姚中学高一已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3. (1)试求f(x)在R上的解析式． (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间． 解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0. 设x<0，则－x>0， 因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3. 所以当x<0时，f(x)＝－f(－x) ＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3. 于是有f(x) ＝ (2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图． 由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1，0)，(0，1). 温馨提示：课后请完成高效作业25 学科网（北京）股份有限公司 $$