2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

第2课时　一元二次不等式的应用

1．掌握简单的分式不等式的解法.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决．(见学生用书P44)　　　　　　　

 

 

判断正误(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式>0，则有x>0且x－1>0.(　×　)

(2)不等式<0 (x－1)(2x＋3)<0.(　√　)

(3)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)

(4)>12x＋1>1－x.(　×　)

(5)≤4x＋10≤x＋2.(　×　)

(见学生用书P44)　　　　　　　

类型一　解分式不等式

例1解下列不等式：

(1)<0.

(2)≥0.

(3)>1.

解：(1)<0可变形为(x＋1)(2x－1)<0，

∴－1<x<，∴不等式的解集为.

(2)≥0可变形为≤0，

∴x－1＝0或<0，

∴x－1＝0或(3x＋5)(x－1)<0，

∴x＝1或－<x<1，即－<x≤1.

∴不等式解集为.

(3)>1可变形为>0，

∴x＋2<0，∴x<－2，∴不等式解集为{x|x<－2}．

活学活用

(1)关于x的不等式ax－b>0的解集是，

求关于x的不等式>0的解集．

(2)解不等式<3.

解：(1)∵不等式ax－b>0的解集是，∴a>0，且a＝2b，

则不等式>0等价于>0，∴(x－1)(x－5)<0，解得1<x<5.

因此原不等式的解集为{x|1<x<5}．

(2)不等式<3可改写为－3<0，即<0.

可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，

解得－1<x<1.

所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}．

[题后感悟]

分式不等式的解法

(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

类型二　一元二次不等式的实际应用

例22024·湖州二中高一某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少？当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小？

解：设花坛宽度为x m，则草坪的长为m，

宽为m.

根据题意得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，

整理得x2－700x＋60 000≥0，

解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，

因此0<x≤100.

故当花坛的宽度x在0<x≤100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．

绿草坪的面积S＝(800－2x)(600－2x)＝4x2－2 800x＋480 000，

图象的对称轴为直线x＝－＝350，开口向上，

所以当x＝100时，Smin＝(800－2×100)(600－2×100)＝600×400＝240 000，

所以当花坛宽度为100 m时，绿草坪面积最小．

活学活用