培优拓展 集合的新定义问题-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

培优拓展　集合的新定义问题 (见学生用书P14)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　 例(1)2024·诸暨中学高一设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有∈S，∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若S为“完美集合”，则一定有0∈S； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合A＝为“完美集合”； ④ 若S为“完美集合”，则满足STR的任意集合T也是“完美集合”． 其中真命题是(　A　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ (2)设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则∈M，则下列结论中不正确的有__3__个． ①集合M中至多有2个元素； ②集合M中至少有4个元素； ③集合M中有且仅有4个元素； ④集合M中至多有4个元素． (3)给定集合A，若对于任意a，b∈A，总有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合．给出以下三个结论： ①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中所有正确结论的序号是__②__． 【解析】 (1)对于①，若S为“完美集合”，对任意的x∈S，0＝∈S，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合A＝，在集合A中任意取两个元素，x＝a＋b，y＝c＋d，其中a，b，c，d为整数，则x＋y＝∈S，x－y＝∈S，xy＝∈S， 集合A＝为“完美集合”，③对； 对于④，S＝，T＝，也满足④，但是集合T不是一个完美集合，④错． 故选A. (2)因为若a∈M，则∈M，所以＝－∈M，＝∈M， 则＝＝a∈M； 当a≠－1，0，1时，4个元素a，，－，中，任意两个元素都不相等， 所以集合M中至少有4个元素． 故可判断出①错误，②正确，③错误，④错误， (3)①中，－4＋(－2)＝－6A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确． 活学活用 　　　　 　　　　　　　　　　 1．定义集合A，B的一种运算“*”：A*B＝，若A＝，B＝，则A*B的元素个数为(　C　) A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】 由题可知，A*B＝，故A*B中的元素个数为4. 2．已知集合A＝，B＝，定义集合A⊕B＝，则A⊕B中元素个数为(　D　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 A＝＝，B＝＝， 由A⊕B＝，得x1＋x2可取2，3，4，y1＋y2可取2，3，4，所以A⊕B＝{，，，，，，，，}，有9个元素． 3．2024·保定一中高一定义集合的商集运算为＝.已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　B　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 由题意知，B＝{0，1，2}，＝，则∪B＝，共有7个元素． 4．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1S且x－1S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有__6__个． 【解析】 由题意知这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个． 5．对集合A，B，定义AB＝. (1)若AB的元素个数为4，则A，B可以为A＝__(答案不唯一)__，B＝__ __．(写出一组即可) (2)若集合M满足：存在M的子集A，B，使得AB的元素个数不小于100，且对任意∈AB，均有∈AB，则集合M的元素个数的最小值是__10__． 【解析】 设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n， 根据题意可知集合AB的元素个数为mn. (1)若AB的元素个数为4，则A，B可以为A＝，B＝. (2)若对任意∈AB，均有∈AB，则A＝B，m＝n， 又AB的元素个数不小于100，则mn＝m2≥100，解得m≥10， 因为A，B是集合M的子集，所以集合M的元素个数的最小值是10. [题后感悟] (1)正确理解创新定义．这类问题不是简单地考查集合的概念或性质问题，而是考查以集合为载体的有关新定义问题，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等． (2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素． 学科网（北京）股份有限公司 $$