1.4.2 充要条件-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

1．4.2　充要条件 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明． (见学生用书P17)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　√　) (2)若p⇏q和q⇏p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　√　) (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(　√　) (4)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”表达的意义相同．(　×　) (5)证明“p的充要条件是q”，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性．(　×　)(见学生用书P18)　　　　　　　 类型一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 　　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5. (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2. (3)p：a是自然数；q：a是正数． (4)p：|x|<2，q：－3<x<5. 解：(1)∵－1≤x≤5x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． (2)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (3)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分也不必要条件． (4)由定义法可知，p⇒q且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件． [题后感悟] 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用pq与qp的等价关系． 类型二　充要条件的证明 例2　2024·北仑中学高一证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 证明：充分性：因为ac<0， 所以Δ＝b2－4ac>0，<0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根． 设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2， 则x1x2＝<0， 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． 必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根， 所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，所以ac<0. 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 活学活用 求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三条边) 证明：必要性： 因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c，所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性： 由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立． 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. [题后感悟] (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的． 类型三　充分条件、必要条件及充要条件的应用 例3 2024·苏州中学高一已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 迁移探究 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB. 所以或 解不等式组得m>9或m≥9， 所以m≥9， 即实数m的取值范围是m≥9. 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．“1<x<2”是“x≤2”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，AB.故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件． 2．“集合M∩N＝N”是“M∪N＝M”的(　C　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 M∩N＝NNMM∪N＝M. 3．[多选题]2024·湖州中学高一下列说法中正确的是(　ABC　) A．“A∩B＝B”是“B＝ф”的必要不充分条件 B．“x＝3”的一个必要不充分条件是“x2－2x－3＝0” C．“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数” D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件 【解析】 由A∩B＝B得BA，所以“B＝ф”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的一个必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程|x|＝1，得x＝±1，则“|x|＝1”是“x＝1”的必要条件，D错误． 4．使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　C　) A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤－或x≥3 【解析】 选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件． 5．二次函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是__m＝－2__． 【解析】 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称． 学科网（北京）股份有限公司 $$