1.4.1 充分条件与必要条件-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 1.理解充分条件、必要条件的概念，了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.2.能通过充分性、必要性解决简单的问题.3.能对充分条件进行证明． (见学生用书P15)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) 充分条件 (1)已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题．(　√　) (2)“xy>0”是“x，y都大于0”成立的充分条件．(　×　) (3)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．(　×　) (4)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　×　) 必要条件 (5)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　×　) (6)已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q.(　√　) (7)q是p的必要条件的含义是：若q不成立，则p一定不成立．(　√　) (8)q不是p的必要条件时，p推不出q.(　√　)(见学生用书P15)　　　　　　　 类型一　充分条件的判断 　　 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R. (2)若a＜b，则＜1. (3)若x>1，则x2>1. (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3. (5)在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC. 解：(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1， 因此p⇒/q，所以p不是q的充分条件． (3)由x＞1可以推出x2＞1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． 活学活用 [多选题]下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　BCD　) A．若x2＝y2，则x＝y B．若内错角相等，则两直线平行 C．若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数 D．若2＋2＝0，则(x－1)(y－2)＝0 【解析】 若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此pq，所以p不是q的充分条件，故A错误．“若内错角相等，则两直线平行”是真命题，所以p⇒q，所以p是q的充分条件，故B正确．若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位数字为偶数，所以p⇒q，所以p是q的充分条件，故C正确．因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒ (x－1)(y－2)＝0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件，故D正确． [题后感悟] 充分条件的判断方法 (1)定义法 (2)集合关系法 已知条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若AB，则甲是乙的充分条件． (3)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 类型二　必要条件的判断 例2 2024·东营一中高一下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形的两条对角线相等． (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形． (3)若＝，则x＝y. (4)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0. 解：(1)等腰梯形的两条对角线相等，因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此pq，所以q不是p的必要条件． (3)若＝，则x＝y是真命题，因此pq，所以q是p的必要条件． (4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0”为假命题，因此pq，所以q不是p的必要条件． 活学活用 [多选题]下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是(　BD　) A．若|x|＞2，则x＞2 B．若∠A和∠B是对顶角，则∠A＝∠B C．已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d D．若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的四条边相等 【解析】 对于A，因为当|x|＞2时，x＞2或x＜－2，所以pq，所以q不是p的必要条件． 对于B，因为对顶角相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 对于C，1≠3，7≠5，但是1＋7＝3＋5，所以pq，所以q不是p的必要条件． 对于D，正方形的四条边相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． [题后感悟] 必要条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． 类型三　充分条件、必要条件的应用 　　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解：p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为pq，所以AB， 所以⇒－≤a<0， 所以a的取值范围是－≤a<0. 活学活用 2024·鲁迅中学高一已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求实数a的取值范围． 解：因为N是M的必要条件，所以M⇒N. 于是从而可得－2≤a≤7. 故实数a的取值范围为{a|－2≤a≤7}． [题后感悟] 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，有时还需要借助数轴解决问题． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是(　A　) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 【解析】 若x>4，则x>3. 2．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则(　B　) A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．p既是q的充分条件，也是q的必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【解析】 由a∈M∪Na∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即pq，但q⇒p. 3．对于任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　B　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 【解析】 ∵a＝b⇒ac＝bc，∴“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件． 4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是__a≤1__． 【解析】 因为x>1⇒x>a，所以a≤1. 5．2024·嘉兴一中高一已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是__－1≤a≤5__． 【解析】 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以QP， 所以即所以－1≤a≤5. 学科网（北京）股份有限公司 $$