第2章 第六节 幂函数与二次函数（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第六节　幂函数与二次函数 明确目标 1.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解二次函数的图象和性质(单调性、对称性、最值、顶点等),能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 教材再回首 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 ①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限. ②幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ③在直线x=1右侧,幂函数的指数由下向上逐渐增大. (3)幂函数的性质 ①幂函数在　　　　　上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点　　　　　和　　　　,且在(0,+∞)上单调　　　; ③当α<0时,幂函数的图象都过点　　　　,且在(0,+∞)上单调　　　. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)=　　　　　　　 顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为　　　 零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 　　 值域 对称轴 x=　　　 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上　　　　　; 在上　　　　 在上　　　　　; 在上　　　　 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(4)的值是 (　　) A.64 B.4 C. D. 2.(人B必修①P98T7改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为 (　　) A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] 3.(人A必修①P58T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 4.(苏教必修①P140例2改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则a,b,c的大小关系是　　　　　.(用“<”连接) 二、易错小题的警醒训练 1.若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 2.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围为 (　　) A.(-1,5) B.(3,5) C.(5,+∞) D.(3,+∞) 题点一　幂函数的图象与性质(自主练通) 1.[多选]幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是 (　　) A.m=3 B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于原点对称 2.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为 (　　) A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m C.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1 3.已知幂函数f(x)的图象过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,则下列结论正确的是 (　　) A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x2)<x2f(x1) C.> D.< 4.[多选]已知实数a,b满足等式=,则下列五个关系式中可能成立的是 (　　) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<b D.-1<b<a<0 |思维建模| (1)幂函数图象的特点:掌握幂函数的图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题点二　二次函数的解析式 [例1]　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式. |思维建模|　求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标,宜选用一般式; (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式; (3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式. [即时训练] 1.已知函数f(x)为二次函数,f(x)的图象过点(0,2),对称轴为x=-,函数f(x)在R上的最小值为,则f(x)的解析式为　　　　　　　. 2.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1,13),且函数y=f是偶函数,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　. 题点三　二次函数的图象与性质 考法(一)　二次函数的图象 [例2]　(多选)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴是直线x=-1,则下列四个结论中,错误的是 (　　) A.abc>0 B.2a-b≠0 C.4ac-b2<0 D.4a+c<2b 考法(二)　二次函数的单调性与最值 [例3] (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时,有最大值2,则a的值为　　　　. (2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是　　　　. |思维建模|　二次函数单调性与最值问题的解题策略 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系.当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. (2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解. [即时训练] 3.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a<b<c,且a+b+c=0,则f(x)的图象可能是 (　　) 4.已知函数f(x)=x2+2x-4. (1)若f(x)在区间[a,a+1]上不具有单调性,求实数a的取值范围; (2)若t>-2,求f(x)在区间[-2,t]上的最小值g(t). 课下作业:请完成“课时跟踪检测(十一)” 学科网（北京）股份有限公司 $$