第1章 第一节 集 合（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第一章|集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 明确目标 1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,能用列举法或描述法表示集合. 2.理解集合之间的包含与相等,能识别给定集合的子集,了解全集与空集. 3.理解并会求两个集合的并、交、补集,能用Venn图表示集合的基本关系与运算. 教材再回首 1.集合与元素 元素的特性 　　　　、　　　　、　　　　 集合的表示法 　　　　、　　　　、　　　　 常见数集 自然数集(非负整数集),记作　　;正整数集,记作　　　　　或N+;整数集,记作　　 　;有理数集,记作　　;实数集,记作　　 元素与集合 的关系 若a属于集合A,记作　　　　; 若b不属于集合A,记作　　　 2.集合间的基本关系 文字语言 符号语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 　　　或　　　 真子集 集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A 　　　或　　　 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 　　　　　　⇔A=B 空集是任何集合的　　　,任何非空集合的　　　 3.集合的基本运算 语言表示 图形表示 符号语言 并 集 所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B=　　　　　　　 交 集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B=　　　　　　　 补 集 若全集为U,则集合A的补集为∁UA ∁UA=　　　　　　　　　 4.集合的运算性质 交集 A∩B=　　　　,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩A=A,A∩∅=　　,A⊆B⇔A∩B=　　 并集 A∪B=　　　,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=　　,A∪∅=　　,A⊆B⇔A∪B=　　 补集 ∁U(∁UA)=　　,∁U∅=　　,∁UU=∅,A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=　　　 解题结论拓展 (1)(人B必修①P14“探索与研究”结论)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. (2)集合关系的传递性:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. (3)(人B必修①P19“探索与研究”结论)德·摩根定律:∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). (4)(人A必修①P15“阅读与思考”结论)容斥原理:对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(苏教必修①P23T7)若M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R},则∁MN= (　　) A.{-1,3} B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7} C.{0,1,2,4,5,6,7} D.{1,2,3,4,5,6,7} 2.(人A必修①P14T1改编)若集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B=　　　　. 3.(人A必修①P9T5改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.已知集合A={y|y=x2},B={x|y=},则A∩B= (　　) A.[0,+∞) B.[-1,+∞) C.[-1,0] D.(-1,0) 2.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为 (　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或 题点一　集合的含义与表示(自主练通) 1.(2025·沈阳模拟)下列四个命题正确的个数是 (　　) ①{0}是空集;②若a∈N,则-a∉N;③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素;④集合是有限集. A.1 B.2 C.3 D.0 2.(2024·济南二模)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为 (　　) A.{0} B.{1} C.{-1,1} D.{0,-1,1} 3.已知集合A={x|ln x<1},若a∉A,则a可能是 (　　) A. B.1 C.2 D.3 4.(2025·大连模拟)已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则下列结论正确的是 (　　) A.a+b∈M B.a+b∈Q C.a-b∈P D.a·b∈Q |思维建模| 与集合概念有关问题的求解策略 (1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件, 从而准确把握集合的含义. (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 自主空间: 题点二　集合间的基本关系 [例1] (1)已知集合M=,N=,则下列表述正确的是 (　　) A.M∩N=∅ B.M∪N=R C.M⊆N D.N⊆M (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= (　　) A.2 B.1 C. D.-1 |思维建模| 集合间基本关系解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图以及结构法判断两集合间的关系.如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论. (2)确定非空集合A的子集的个数,需要先确定集合A中的元素的个数.不能忽略任何非空集合是它自身的子集. (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图求解. [即时训练] 1.(2024·鹰潭三模)已知集合A={x||x-1|≤2},B={-t,t},且B⊆A,则实数t的取值范围是 (　　) A.[-1,1] B.[-3,3] C.[-1,0)∪(0,1] D.[-3,0)∪(0,3] 2.(2024·重庆三模)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|-1<x<5,x∈N},则满足A⊆CB的集合C的个数为　　　. |谨记结论| 1.绝对值不等式的解法 (1)|x|>a(a>0)⇔x>a或x<-a; (2)|x|<a(a>0)⇔-a<x<a; (3)|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c; (4)|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≤-c或ax+b≥c. 2.A⊆B⇒ 题点三　集合的基本运算 考法(一)　集合的运算 [例2] (1)(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)= (　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} (2)已知集合A=,B={y||y|<2},则A∪B= (　　) A.(-2,1) B.(-1,2) C.∅ D.(-2,5) 考法(二)　求参数的值或范围 [例3] (1)(2024·武汉二模)设集合A={x∈Z|x(x-4)<0},B={x|x2-2x+m=0},若A∩B={3},则B= (　　) A.{-3,1} B.{-1,3} C.{1,3} D.{-3,-1} (2)(2025·亳州模拟)已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x≤a+4},若B⊆(A∩B),则a的取值范围为 (　　) A.{a|-2<a<-1} B.{a|a<-2} C.{a|a≤-1} D.{a|a>-2} |思维建模| 解决集合运算问题的技巧 (1)对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示. (2)根据集合运算的结果,利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程(不等式)求解. |易错提醒| [例3]中的第(2)题,易忽略B为空集的情况,因为空集是任何集合的子集,所以在含参集合中若未指明集合非空,要考虑集合为空集的情况,同时注意所得结果端点值的取舍. [即时训练] 3.(2025·德阳模拟)设全集U={x∈N|x2-5x≤0},∁UA={2,5},B={1,2,3},则A∩B= (　　) A.{1} B.{2} C.{1,3} D.{2,3} 4.已知集合A={x|x>a},B={x|1<x≤2},且A∪∁RB=R,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 5.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤6},如图所示,则图中阴影部分表示的集合是 (　　) A.{x|-1≤x≤6}　　 B.{x|x<-1} C.{x|x>6}　　　 　 D.{x|x<-1,或x>6} 自主空间: |习得方略|(左栏T5延伸) 集合混合运算中的Venn图 题点四　集合的新定义问题 [例4]　若规定集合E={0,1,2,…,n}的子集{a1,a2,a3,…,am}为E的第k个子集,其中k=+++…+,则E的第211个子集的真子集个数是　　　. [即时训练] 6.定义:如果集合U存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空真子集A1,A2,…, Ak(k∈N*),且A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称子集族{A1,A2,…,Ak}构成集合U的一个k划分.已知集合I={x∈N|x2-6x+5<0},则集合I的所有划分的个数为 (　　) A.3 B.4 C.14 D.16 7.(2024·怀化二模)给定整数n≥3,有n个实数元素的集合S,定义其相伴数集T={|a-b||a,b∈S,a≠b},如果min(T)=1,则称集合S为一个n元规范数集.(注:min(X)表示数集X中的最小数)对于集合M={-0.1,-1.1,2,2.5},N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},则下列结论正确的是 (　　) A.M是规范数集,N不是规范数集 B.M是规范数集,N是规范数集 C.M不是规范数集,N是规范数集 D.M不是规范数集,N不是规范数集 |思维建模| 集合新定义问题的“三定” (1)定元素:确定已知集合中所含的元素,利用列举法写出所有元素. (2)定运算:根据要求及新定义运算,将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题,或转化为数的有关运算问题. (3)定结果:根据定义的运算进行求解,利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素. 自主空间: 课下作业:请完成“课时跟踪检测(一)” 学科网（北京）股份有限公司 $$