第1章 第三节 不等式及其性质（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三节 不等式及其性质 明确目标 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个数的大小. 2.理解不等式的概念与性质，并掌握不等式性质的简单应用. 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 目录 3 课前·“四基”落实 01 1.比较两个实数大小的方法 教材再回首 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔________；a<b⇔_________ 可逆 传递性 a>b，b>c⇒_______；a<b，b<c⇒________ 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒__________；a>b，c<0⇒__________ c的符号 b<a b>a a>c a<c ac>bc ac<bc 续表 同向可加性 a>b，c>d⇒_____________ 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒___________ 同向，同正 可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 a+c>b+d ac>bd 解题结论拓展 1.倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，0<c<d⇒>； (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)<>(b-m>0)； (2)><(b-m>0). 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P43T8改编)[多选]下列命题是真命题的是(　　) A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则> √ √ √ 2.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+，b=2+2，则a，b的大小关系是(　　) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 解析：因为(+)2-(2+2)2=16+2-(16+2)=2(-)>0，所以(+)2>(2+2)2，所以+>2+2，即a>b. √ 3.(苏教必修①P76T8改编)已知a-1>0，则下列结论正确的是 (　　) A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a 解析：因为a-1>0，所以a>1，由不等式基本性质可得-a<-1，故-a< -1<1<a，B正确，A、C、D错误. √ 4.(人A必修①P43T5改编)已知2<a<3，-2<b<-1，则a+2b的取值范围为 (　　) A.(-2，1) B.(0，2) C.(-4，-2) D.(0，1) 解析：因为-2<b<-1，所以-4<2b<-2，又2<a<3，所以-2<a+2b<1. √ 二、易错小题的警醒训练 [多选]下列不等式关系成立的是(　　) A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b，<，则ab>0 C.若a>b，>，则a>0>b D.若a>b，a2>b2，则a>b>0 √ √ 解析：对于A，当c=0时，ac2=bc2=0，故A错误；对于B，因为a>b，所以b-a<0，又<，即-=<0，所以ab>0，故B正确；对于C，因为a>b，所以b-a<0，又>，即-=>0，所以ab<0，所以a>0>b，故C正确；对于D，若a=2，b=-1，满足a2>b2，a>b，但是a>0>b，故D错误.故选BC. (易错点：在利用不等式的性质比较大小时，在不等式的两边同乘一个正数不改变不等式的符号，但如果同乘0，则不等式两边都是0，此题A选项易错之处在于忽视c=0的情形，D选项易错之处在于忽视b≤0的情形) 课堂·题点精研 02 1.若a<0，b<0，则p=+与q=a+b的大小关系为(　　) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 解析：法一：特殊值排除法　令a=b=-1，则p=q=-2，排除A、C；令a=-1，b=-2，则p<q，排除D.故选B. (注意：当两个式子比较大小时，可直接赋值求解) 法二：作差法　p-q=+-a-b=+=(b2-a2)= =.因为a<0，b<0，所以a+b<0，ab>0.若a=b，则p-q=0，故p=q；若a≠b，则p-q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B. √ 题点一　比较数(式)的大小(自主练通) 2.若a=4d+，b=4d2++1，则(　　) A.a≥b B.a>b C.a=b D.a<b 解析：因为a=4d+，b=4d2++1，则c≥0，所以b-a=(4d2++1)-(4d+)=(4d2-4d+1)+(-)=(2d-1)2 +(-)≥0+(-)>-=0，所以b>a，即a<b，故选D. √ 3.若实数m，n，p满足m=4，n=5，p=，则(　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 解析：因为实数m，n，p满足m=4，n=5，p=，所以==·<1，所以m<n.又==·>1，所以m>p.所以p<m<n. √ 4.已知a>0，b>0，a≠b，则aabb与(ab的大小关系是　　 　　.  解析：因为=·=·=， (注意：分类讨论a与b的关系) 当a>b>0时，>1，>0，所以>1，所以>1，所以aabb>(ab；当b>a>0时，0<<1，<0，所以>1，所以>1，所以aabb>(ab.综上，aabb>(ab. aabb>(ab 1.作差法的步骤和关注点 思维建模 步骤 作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论 关注点 利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形 2.作商法的步骤和关注点 步骤 作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论 关注点 作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等 拓展与建模：糖水不等式 (1)教材母题：(人教A版必修①P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式： ①设a>b>0，m>0，则有<. ②糖水不等式的倒数形式：设a>b>0，m>0，则有>. (2)对数型糖水不等式 ①设n∈N*，且n>1，则有logn+1n<logn+2(n+1). ②设a>b>1，m>0，则有logab<loga+m(b+m). ③上式的倒数形式：设a>b>1，m>0，则有logba>logb+m(a+m). [示例]　比较大小：log74　　　log96.  解题观摩： 法一： log74-log96=(log74-1)-(log96-1)=log7-log9<log9-log9<0. 法二：普通型糖水不等式 log74=<=<=log96. 法三：对数型糖水不等式 由对数型糖水不等式直接可得log74<log96. [例1]　(多选)已知a>b，c∈R，则下列不等式不一定成立的是 (　　) A.a(c-1)2>b(c-1)2 B.> C.a(c2+2)>b(c2+1) D.ab2>a2b √ √ √ 题点二　不等式的基本性质 解析：对于A，当c=1时，可得(c-1)2=0，此时a(c-1)2=b(c-1)2，所以不等式a(c-1)2>b(c-1)2不一定成立，符合题意；对于B，因为c2-c+1=+>0，可得>0，又由a>b，所以>一定成立，不符合题意；对于C，当a=-1，b=-2，c=0时，可得a(c2+2)=-2，b(c2+1)=-2，此时a(c2+2)=b(c2+1)，所以a(c2+2)>b(c2+1)不一定成立，符合题意；对于D，由ab2-a2b=ab(b-a)，因为a>b，可得b-a<0，又ab的符号不确定，所以ab2>a2b不一定成立，符合题意. 判断命题真假的2种方法 思维建模 直接法 直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 特殊值法 注意取值要遵守三个原则：①满足题设条件；②取值要简单，便于验证计算；③所取的值要有代表性 1.[多选]若m>n>0>p，m+p≠0，则 (　　) A.> B.m2-p2>0 C.> D.m2-n>n2-m 即时训练 √ √ 解析：对于A，由题意可得<，因为p<0，所以>，故A正确；对于B，当m=2，p=-3时，满足已知条件，但m2-p2<0，故B错误；对于C，当m=3，n=2，p=-1时，满足已知条件，但<，故C错误；对于D，m2-n-(n2-m)=m2-n2+m-n=(m-n)(m+n+1)，因为m>n>0，可得(m-n)(m+n+1)>0，所以m2-n>n2-m，故D正确. 2.[多选]若a<b<-1，c>0，则下列不等式一定成立的是 (　　) A.a->b- B.a-<b- C.ln(b-a)>0 D.> √ √ 解析：对于A，由a--b+=(a-b)+=(a-b)·，因为a<b<-1，可得a-b<0，ab>1，ab+1>0，所以(a-b)·<0，所以a-<b-，所以A错误；对于B，由a--b+=(a-b)+=(a-b)·，因为a<b<-1，可得a-b<0，ab>1，ab-1>0，所以(a-b)·<0，所以a-<b-，所以B正确；对于C，由a<b，可得b-a>0，当b-a∈(0，1)时，ln(b-a)<0，当b-a=1时，ln(b-a)=0，当b-a>1时，ln(b-a)>0，所以C错误；对于D，由a<b<-1，可得>1，0<<1，又由c>0，根据指数函数的性质，可得>，所以D正确. [例2] (1)已知1≤a-b≤2，3≤a+b≤4，则ab的最大值为　　　.  解析：4ab=(a+b)2-(a-b)2，由不等式的性质9≤(a+b)2≤16，1≤(a-b)2≤4，所以-4≤-(a-b)2≤-1，所以5≤(a+b)2-(a-b)2≤15，所以≤ab ≤，当且仅当时，且已知a+b>0，a-b>0，解得即ab的最大值为. 题点三　不等式性质的综合应用 (2)记max{x1，x2，x3}表示x1，x2，x3这3个数中最大的数.已知a，b，c都是正实数，M=max，则M的最小值为　　　.  解析：因为M=max，所以a≤M，≤M，所以+≤+≤M，所以≤M，即M≥，当且仅当a==时取等号，所以M的最小值为. 求代数式取值范围的注意点 (1)同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. (2)多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解. 思维建模 3.[多选]已知实数x，y满足1<x<6，2<y<3，则下列结论正确的是 (　　) A.3<x+y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<6 解析：因为1<x<6，2<y<3，则3<x+y<9，2<xy<18，故A、C正确；由题知-3<-y<-2，故-2<x-y<4，B错误；1<y-1<2，则<<1，故<<6，D正确.故选ACD. 即时训练 √ √ √ 4.设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，则的最大值是　　　.  快审准解：先寻找xy2，的等量关系，若直接判断不出来，可利用待定系数法求解，再利用不等式性质求解. 32 解析： =·， ∵3≤≤4，∴27≤≤64. ∵2≤xy2≤3，∴≤≤， 根据不等式的性质得9≤·≤32， 即的最大值为32， 当且仅当即时取到. 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 一、单选题 1.已知a>b，则下列不等式一定成立的是 (　　) A.< B.2a>2b C.a2>b2 D.|a|>|b| 解析：取a=1，b=-2，满足a>b，显然有>，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A、C、D都不正确；指数函数y=2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 2.若1<a<3，-4<b<2，则a-|b|的取值范围是 (　　) A.(-3，3] B.(-3，5) C.(-3，3) D.(1，4) 解析：由题设0≤|b|<4，则-4<-|b|≤0.又1<a<3，所以-3<a-|b|<3. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 3.已知b<a<-3b，则的取值范围为(　 ) A.(0，3) B.[0，3) C.(3，+∞) D.(1，3) 解析：因为b<a<-3b，所以b<0，则<0，将不等式b<a<-3b的两边同时乘以可得，-3<<1，所以0≤<3，故选B. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 4.(2025·北京东城一模)已知a，b∈R，ab≠0，且a<b，则下列结论正确的是 (　　) A.> B.ab<b2 C.a3<b3 D.lg|a|<lg|b| 解析：当a=-2，b=1时，<，lg|a|>lg|b|，故A、D错误；当a=-2，b= -1时，ab=2>1=b2，故B错误；对于C，因为a<b，所以a-b<0，因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，则a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)<0，所以a3<b3，故C正确. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 5.已知a<b<c，a+b+c=0，则下列结论正确的是 (　　) A.ab<b2　 B.ac>bc C.< D.<1 解析：因为a<b<c，a+b+c=0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b=0时，ab=b2，故A错误；因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B错误；因为a<0<c，所以<，故C正确；因为a<b，所以-a>-b，所以c-a>c-b>0，所以>1，故D错误. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 6.(2024·长沙二模)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是 (　　) A.c2>cd B.a-c<b-d C.ac<bd D.->0 17 解析：由0>c>d和不等式性质可得c2<cd，故A错误；因为a>b>0>c>d，若取a=2，b=1，c=-1，d=-2，则a-c=3，b-d=3，所以a-c=b-d，ac=-2，bd=-2，所以ac=bd，故B、C错误；因为a>b>0，则0<<，又因为0>c>d，则0<-c<-d，由不等式的同向皆正可乘性得，-<-，故->0，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 7.已知m5=4，n8=9，0.9p=0.8，则正数m，n，p的大小关系为 (　　) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m 解析：由m5=4，得m==<，由n8=9，得n==.因此== ==>1，即>m>n.由0.9p=0.8，得p=log0.90.8> log0.90.81=2，于是正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 8.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b+c≤3a，则的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.(1，3) C.(0，2) D.(0，3) 17 解析：由已知及三角形三边关系得 所以则两式相加得0<<4， 所以0<<2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 9.(2025·成都模拟)已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为 (　　) A.> B.ln(a+1)>ln(b+1) C.a3>b3>0 D.> 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：对于A，>，不能推出a>b>0，如>，反之a>b>0，则有<，即>是a>b>0的既不充分也不必要条件，A错误；对于B，由ln(a+1)>ln(b+1)，得a+1>b+1>0，即a>b>-1，不能推出a>b>0，反之a>b>0，则a>b>-1，因此“ln(a+1)>ln(b+1)”是“a>b>0”的必要不充分条件，B正确；对于C，a3>b3>0⇔a>b>0，a3>b3>0是a>b>0的充要条件，C错误；对于D，由>，得a>b≥1>0，反之a>b>0不能推出a>b≥1，因此“>”是“a>b>0”的充分不必要条件，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 二、多选题 10.(2025·黄冈一模)已知c<0<b<a，则下列结论正确的是(　　) A.ac+b<bc+a B.b3+c3<a3 C.< D.> 快审准解：选项A、B、D，利用不等式的性质计算即可，选项C，因为b+c可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：因为c<0<b<a，所以ac<bc⇒ac+b<bc+a，故A正确；因为c<0<b<a，所以b3<a3，c3<0⇒b3+c3<a3，故B正确；因为c<0<b<a，不妨令a=3，b=2，c=-1，得=2，=，此时>，故C错误；因为c<0<b<a，所以>>0⇒<⇒>，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 11.若实数a，b满足1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，则下列结论正确的是 (　　) A.0≤a≤4 B.-1≤b≤3 C.-2≤3a-2b≤10 D.-6≤3a-2b≤14 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：由题意，1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，两式相加得0≤2a≤8，即0≤a≤4，故A正确；由-1≤a-b≤3，得-3≤b-a≤1，又1≤a+b≤5，所以两式相加得-2≤2b≤6，即-1≤b≤3，故B正确；设3a-2b=m(a+ b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，则解得则3a-2b=(a+b)+(a-b)，因为1≤a+b≤5，所以≤(a+b)≤，因为-1≤a-b≤3，所以-≤(a-b)≤，所以-2≤(a+b)+(a-b)≤10，即-2≤3a-2b≤10，故C正确，D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 12.已知非零实数a，b满足|a|>|b|+1，则下列不等关系一定成立的是 (　 ) A.a>b+1 B.ln a2>ln(b2+1) C.a2>4b D.>1 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：|-5|>|2|+1，而-5<2+1，故A错误；∵|a|>|b|+1，∴|a|2>(|b|+1)2，即a2>b2+2|b|+1>b2+1，∴a2>b2+1>0，又函数y=ln x在(0，+∞)上单调递增，ln a2>ln(b2+1)，故B正确；由B中分析得，a2>b2+2|b|+1，∴a2-4b>b2+2|b|+1-4b，∵|b|≥b，∴a2-4b>b2+2|b|+1-4b≥b2-2b+1=(b-1)2≥0，∴a2>4b，故C正确；由a2>b2+2|b|+1，∴|a|2>|b|2，即>1，∴>1，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 易错防范：对于C选项，常见的错误解法如下：由A选项知0≤a≤4，所以0≤3a≤12，由B选项知-1≤b≤3，所以-6≤-2b≤2，从而-6≤3a-2b≤14.该方法求出来的范围比正确范围要大，原因是此方法忽略了a和b的关系，事实上a和b有相互制约的关系，两者不可能在各自的范围内随意取值，比如取a=4，b=-1，满足0≤a≤4，-1≤b≤3，但不满足条件-1≤a-b≤3，从而3a-2b取不到14，所以此类题型注意结合“整体代换”思想求解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 13.已知不相等的两个正实数a和b，满足ab>1，则下列不等式正确的是(　 ) A.ab+1>a+b B.log2(a+b)>1 C.a+<b+ D.a+b>+ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：由于两个不相等的正实数a和b，满足ab>1，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即(1-a)(1-b)=1+ab-a-b<0，故ab+1<a+b，A错误；由题意得a+b>2>2，所以log2(a+b)>1，B正确；a+-=a-b+-=(a-b)，其中1->0，但不知道a和b的大小关系，故当a>b时，a+>b+，当a<b时，a+<b+，C错误；a+b-=(a+b)，其中1->0，a+b>0，所以a+b-=(a+b)>0，即a+b>+，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 三、填空题 14.已知m∈R，则2m2+3m-1与m2+4m-2的大小关系为　　 　　　　　　.  解析：由2m2+3m-1-(m2+4m-2)=m2-m+1=+>0， 所以2m2+3m-1>m2+4m-2. 2m2+3m-1>m2+4m-2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 15.下列论断中：①>；②>；③b+1>|a|；④b-1>a2；⑤b3>(a-1)3.以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　　 　.(作答时，请按“序号⇒序号”的格式书写)  ①⇒②(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：①中>>0，所以a>0，故①等价于|b|>a>0；②等价于b2>a2，a≠0，即|b|>|a|，a≠0；③等价于b>|a|-1；④等价于b>a2+1；⑤等价于b>a-1.①可以推出②，因为当|b|>a>0时，|b|>|a|=a，故b2>a2；③可以推出⑤，因为当b>|a|-1时，b>|a|-1≥a-1，故b>a-1；④可以推出③，因为当④成立时，根据基本不等式，b>a2+1≥2|a|>|a|-1，故③成立；④可以推出⑤，因为“④⇒③”与“③⇒⑤”都成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 16.已知a>b>c，2a+b+c=0，则的取值范围是　 　　.  解析：因为a>b>c，2a+b+c=0，故a>0，c<0，所以<0，1>>，2++=0，所以=--2，所以有1>-2->，解不等式得-3<<-1，故的取值范围是(-3，-1). (-3，-1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17.记min{x，y，z}表示x，y，z中最小的数.设a>0，b>0，则min的最大值为　　 　.  快审准解：关键是分a是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 2 17 解析：若a≤，则ab≤1，此时min= min，因为a=1+3ab≤4，所以a和+3b中至少有一个小于等于2，所以min≤2，又当a=2，b=时，a==+3b=2，所以min的最大值为2.若a>，则ab>1，此时min=min，因为=+3<4，所以和+3b中至少有一个小于2，所以min<2.综上，min的最大值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 $$