第1章 第二节 常用逻辑用语（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二节 常用逻辑用语 明确目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断方法.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定. 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 目录 3 课前·“四基”落实 01 1.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果_______，则p是q的充分条件； (2)如果_______，则p是q的必要条件； (3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作_______，则p是q的充要条件. 教材再回首 p⇒q q⇒p p⇔q 2.充分、必要条件与对应集合间的关系 设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的______条件，q是p的______条件. (2)若A⫋B，则p是q的____________条件，q是p的___________条件. (3)若A=B，则p是q的______条件. 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 ______ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 ______ ∀ ∃ 4.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，􀱑p(x) ∀x∈M，􀱑p(x) 命题的否定与原命题的真假性相反. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立. √ 2.(人A必修①P23T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 3.(苏教必修①P47T10)若命题“∀x∈R，x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，1] B.(-∞，1) C.[1，+∞) D.(1，+∞) √ 4.(人A必修①P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　　　　　　　　　.  任意一个偶数都不是素数 二、易错小题的警醒训练 1.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定是(　　) A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n>x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n>x2 √ 解析：含有量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，可知选D. (易错点：忽视含量词命题的否定规则) 2.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是　　 　.  解析：因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，+∞)是(3，+∞)的真子集，由图可知m>3. (易错点：混淆充分不必要与必要不充分条件与集合的关系) (3，+∞) 课堂·题点精研 02 [例1] (1)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3，则a=b；由函数y=3x单调递增可知，若3a=3b，则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，故选C. √ 题点一　充分、必要条件的判断 (2)已知x∈R，则“0<ln x≤”是“≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：由0<ln x≤，得1<x≤，记为A={x|1<x≤}.由≤1⇒ ≤0⇒(x-1)(x-2)≤0且x≠1，解得1<x≤2，记为B={x|1<x≤2}，所以A⫋B，则“0<ln x≤”是“≤1”的充分不必要条件. 区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同. 深化认知 思维建模 判断充分、必要条件的2种方法 定义法 根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题 集合法 根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题 1.(2025·重庆一模)已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|-a≤x≤a+1}，则“a=1”是“A⊆B”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当a=1时，B={x|-1≤x≤2}，此时A=B，即a=1可以推出A⊆B.若A⊆B，所以得到a≥1，所以A⊆B推不出a=1，即“a=1”是“A⊆B”的充分不必要条件. 即时训练 √ 当命题可以用集合表示时，小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两集合范围一样，就是充要条件的关系. 深化认知 2.(2024·和平二模)若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为 (　　) A.-2<x<1 B.-1<x<1 C.0<x<2 D.-1<x<0 解析：不等式x2<1等价于-1<x<1，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(-1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意. √ 3.(2024·北京西城三模)对于无穷数列{an}，定义dn=an+1-an(n=1，2，3，…)，则“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：{an}为递增数列时，有dn=an+1-an>0，不能得到{dn}为递增数列，充分性不成立；{dn}为递增数列时，不一定有dn>0，即不能得到{an}为递增数列，必要性不成立.所以“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的既不充分也不必要条件. √ [例2]　已知集合A={x|log2 x<m}，B=，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m的取值 范围是　　 　.  解析：由log2 x<m，得0<x<2m.所以A=(0，2m)；由≤1得-1≤0，即≤0，所以≤0，解得x<4.所以B=(-∞，4).因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B且A≠B.所以2m≤4⇒m≤2. (-∞，2] 题点二　充分、必要条件的应用 由充分、必要条件求参数范围的策略 思维建模 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值 慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 4.已知集合A=，或x>2}，B={x|2a≤x≤a+3}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A.当B=∅时满足题意，即2a>a+3，所以a>3；当B≠∅时，或解得a<-4或1<a≤3.综上可得，实数a的取值范围是(-∞， -4)∪(1，+∞). 即时训练 (-∞，-4)∪(1，+∞) 5.已知命题p：2<x<3，命题q：|2x-a|<2，若命题􀱑q是命题􀱑p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　.  方法引入：p是q的充分不必要条件，等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. 解析：由|2x-a|<2，可得<x<，由于命题􀱑q是命题􀱑p的充分不必要条件，故命题p是命题q的充分不必要条件，故{x|2<x<3}⫋， 所以(等号不能同时成立)，可得4≤a≤6，即实数a的取值范围 是[4，6]. [4，6] [例3] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 √ 题点三　全称量词与存在量词 解析：法一　对于p，由|x+1|>1，得x2+2x>0，解得x>0或x<-2，显然∀x∈R，|x+1|>1不恒成立，所以命题p为假命题，􀱑p为真命题. 对于q，由x3=x，解得x=0或x=1或x=-1，所以∃x>0使得x3=x，所以q是真命题，􀱑q是假命题. 法二　对于p，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，􀱑p是真命题.对于q，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，􀱑q是假命题.综上，􀱑p和q都是真命题. (2)若命题“∀x<2，2x<a”为真命题，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞，4] B.(-∞，4) C.[4，+∞) D.(4，+∞) 解析：函数y=2x在R上单调递增，当x<2时，2x<22=4，“∀x<2，2x<a”为真命题，则a≥4，即实数a的取值范围为[4，+∞). √ 含量词命题的解题策略 (1)要判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题. 思维建模 6.(2025·长春模拟)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则 (　　) A.∀x∈R，f(-x)+f(x)≠0 B.∀x∈R，f(-x)-f(x)≠0 C.∃x∈R，f(-x)+f(x)≠0 D.∃x∈R，f(-x)-f(x)≠0 解析：定义域为R的函数f(x)是偶函数⇔∀x∈R，f(-x)-f(x)=0，所以f(x)不是偶函数⇔∃x∈R，f(-x)-f(x)≠0. √ 即时训练 7.若命题“∃x∈R，x2+4x+t<0”是假命题，则实数t的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析：因为命题“∃x∈R，x2+4x+t<0”是假命题，所以命题“∀x∈R，x2+4x+t≥0”是真命题，因此有Δ=42-4t≤0⇒t≥4，所以实数t的最小值为4，故选C. √ 8.[多选]下列四个命题是假命题的为 (　　) A.∃x∈Z使1<4x<3 　B.∃x∈N使5x+1=0 C.∀x∈R，x2-1=0 　D.∀x∈R，x2+x+2>0 解析：由1<4x<3，得<x<，故不存在x∈Z，使1<4x<3，故A错误；由5x+1=0，得x=，故不存在x∈N，使5x+1=0，故B错误；当x≠±1时，x2-1≠0，故C错误；由于x2+x+2=+>0，故∀x∈R，x2+x+2>0，故D正确.故选ABC. √ √ √ 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标 题目难度稍大，可据自身学情选做) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 一、单选题 1.(2025·遵义一模)已知命题p：∀x>1，ln x>-，则􀱑p为(　　) A.∀x>1，ln x≤- B.∃x≤1，ln x<- C.∃x≤1，ln x≤- D.∃x>1，ln x≤- 解析：由命题p：∀x>1，ln x>-可知，􀱑p为∃x>1，ln x≤-，故D正确，A、B、C错误.故选D. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 2.(2024·梅州二模)常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”.就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定会经历风雨，所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 3.已知命题：“∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，4) B.(-∞，4] C.(4，+∞) D.[4，+∞) 解析：“∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，故Δ=16-4a≥0，解得a≤4. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 4.集合A={x|-1<x<2}，B={x|-2<x<m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-1，2) B.[2，+∞) C.(-2，2] D.(2，+∞) 解析： A={x|-1<x<2}，B={x|-2<x<m}，因为x∈B的充分条件是x∈A，所以A⊆B，则m≥2. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 5.(2024·商洛三模)已知a，b∈R，则“<”是“a3>b3”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若<，则a>b>0，所以a3>b3，充分性成立；若a3>b3，则a>b，但<不一定成立，不满足必要性.所以“<”是“a3>b3”的充分不必要条件. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 6.已知命题p：∀x∈R，ex>1；命题q：∃x∈(0，π)，sin x=，则(　　) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：对于p而言，取x=0，则ex=1，所以p是假命题，􀱑p是真命题；对于q而言，x∈(0，π)，则sin x∈(0，1]，∈(0，1)，所以q是真命题，􀱑q是假命题.综上，􀱑p和q都是真命题. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 7.已知f(x)=-3，则f(x)<5的一个必要不充分条件是(　　) A.x>-4 B.x>-3 C.x<-2 D.x<-3 解析：由不等式f(x)<5，可得-3<5，即<8，解得x>-3，结合选项，可得f(x)<5的一个必要不充分条件为x>-4. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 8.已知函数f(x)=cos(x+φ)，则“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17 解析：由题意可知，f(x)的定义域为R，若f(0)=cos φ=0，可得φ=+kπ，k∈Z.若k为偶数，则f(x)=cos=cos= -sin x(k∈Z)为奇函数；若k为奇数，则f(x)=cos= -cos=sin x(k∈Z)为奇函数，即充分性成立；若f(x)为奇函数，则f(0)=0，即必要性成立.综上所述，“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 9.若命题“∃x∈(0，+∞)，使得ax>x2+4成立”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.(4，+∞) B.(-∞，4) C.[4，+∞) D.(-∞，4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：命题“∃x∈(0，+∞)，使得ax>x2+4成立”的否定为“∀x∈(0，+∞)，ax≤x2+4”，依题意，命题“∀x∈(0，+∞)，ax≤x2+4”为真命题， 存在量词命题为假等价于其否命题对应的全称量词命题为真； 当x∈(0，+∞)时，ax≤x2+4⇔a≤x+， 分离参数，利用基本不等式求解 而x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号.因此a≤4， 即实数a的取值范围是(-∞，4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 10.(2025·门头沟一模)设a>0，b>0，则“lg(a+b)>0”是“lg(ab)>0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：充分性：若a>0，b>0，由lg(a+b)>0，取a=3，b=，但是lg(ab)=0，充分性不成立；必要性：由lg(ab)>0，得ab>1，又a>0，b>0，则a，b中至少有一个大于1，若都小于或等于1，根据不等式的性质知，其乘积也小于或等于1，与乘积大于1矛盾，则a+b>1，故lg(a+b)>0，必要性成立，所以lg(a+b)>0是lg(ab)>0的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 二、多选题 11.命题“∃x∈[1，2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥1 B.a≥4 C.a≥-2 D.a=4 解析：命题“∃x∈[1，2]，x2≤a”是真命题等价于a≥1，即命题“∃x∈[1，2]，x2≤a”为真命题所对应的a的取值范围为[1，+∞)，显然[4，+∞)⫋[1，+∞)，{4}⫋[1，+∞)，故选BD. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 习得方略：“∃x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”为真命题，实质上就是不等式能成立，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 12.下列命题为真命题的是 (　　) A.∃x∈R，sin x= B.∃x∈R，ln x=-1 C.∀x∈R，x2>0 D.∀x∈R，3x>0 解析：对于A，x=时，sin x=，故A正确；对于B，当x=时，ln x=ln =-1，故B正确；对于C，当x=0时，x2=0，故C错误；对于D，因为y=3x的值域为(0，+∞)，故D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 13.下列说法正确的有 (　　) A.命题p：∃x∈R，x2+2x+2<0，则命题p的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0 B.“>”是“x<y”的必要不充分条件 C.对于实数x，“x≠5”是“|x-3|≠2”的必要不充分条件 D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：对于A，命题p的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0，故A正确；对于B，由>可知有两种情况，①xy>0且y>x；②y<0<x，故>不能推出x<y，由x<y也不能推出>，所以“>”是“x<y”的既不充分也不必要条件，故B错误；因为|x-3|≠2，等价于x≠5或x≠1，故C正确；对于D，关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根，则解得m<0.所以“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 三、填空题 14.(2024·潍坊二模)已知命题p：∃x∈[-1，1]，x2>a，则􀱑p为　 　.  解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得􀱑p为∀x∈[-1，1]，x2≤a. ∀x∈[-1，1]，x2≤a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 15.(2025·沈阳质量检测)“sin x=1”的一个充分不必要条件是　 　.  解析：当x=时，sin x=1，由sin x=1可得x=+2kπ，k∈Z，故“sin x=1”的一个充分不必要条件是“x=”. x=(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 16.已知集合A={x|1<2x<8，x∈R}，B={x|m+1<x<3，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是　　 　.  解析：A={x|1<2x<8}={x|20<2x<23}={x|0<x<3}， 转化为同底数幂形式，利用指数函数的单调性进行等价转化 若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则集合A是集合B的真子集，所以m+1<0， 注意集合间的关系，得出的是m+1<0，切忌写为m+1≤0或m+1>0 解得m<-1，所以实数m的取值范围是(-∞，-1). (-∞，-1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17.已知p：≤2；q：x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若􀱑p是􀱑q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　　 　.  解析：≤2⇔|x-4|≤6⇔-2≤x≤10，于是得命题p：x∈[-2，10].当m>0时，x2-2x+1-m2≤0⇔1-m≤x≤1+m，于是得命题q：x∈[1-m，1+m].因为􀱑p是􀱑q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此[-2，10]⫋[1-m，1+m]，则有或解得m≥9. [9，+∞) 17 $$