第8章 第三节 圆的方程（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三节 圆的方程 明确目标 1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的标准方程与一般方程解决一些简单的数学问题. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.圆的定义及方程 定义 平面上到______的距离等于_______的点的集合叫做圆 标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，圆心：________，半径：r 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，圆心：_____________，半径：r=_________________ 定点 定长 (a，b) 2.点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在_____ (x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在_____ (x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在______ 圆上 圆外 圆内 3.常见圆的方程的设法   标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0 过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0 与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2 x2+y2+Dx+Ey+D2=0 与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2 x2+y2+Dx+Ey+E2=0 4.(人A选必修①P88T5结论)已知圆的一条直径的端点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 一、教材小题的导向训练 1.(人A选必修①P85T1改编)圆心坐标为(2，-3)且过原点的圆的方程是(　　) A.(x-2)2+(y+3)2= B.(x+2)2+(y+3)2= C.(x+2)2+(y-3)2=13 D.(x-2)2+(y+3)2=13 √ 典题细发掘 2.(人A选必修①P102T7改编)若曲线C：x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　.  解析：由x2+y2+2ax-4ay-10a=0，得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a，由该曲线表示圆，可知5a2+10a>0，即a<-2或a>0. (-∞，-2)∪(0，+∞) 3.(北师大选必修①P44T2)已知圆C：2x2+2y2+4x-2y-1=0，则圆心的坐标为　　　　，半径为　　　　.  4.(人A选必修①P85T4改编)已知△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△AOB的外接圆的标准方程是　　　　　　　　　.  解析：显然△AOB为直角三角形，AB为斜边，AB中点为，|AB|==5，于是△AOB的外接圆是以为圆心，以为半径的圆，即(x-2)2+=. (x-2)2+= 二、易错小题的警醒训练 1.若点(1，2)在圆(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  解析：∵点(1，2)在圆的外部，∴(1+a)2+(2-a)2>2a2，即5-2a>0，a<，又2a2>0，∴a≠0，∴实数a的取值范围为(-∞，0)∪. (易错点：本题易忽视隐含条件2a2>0，致误) (-∞，0)∪ 2.若圆C：x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点，则实数m的值为　　.  解析：∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆，∴[-2(m-1)]2 +[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2-6m+4=0，∴m=2或m=1(舍去)，∴m=2. (易错点：遗漏方程表示圆的充要条件而产生增解) 2 课堂·题点精研 02 题点一　圆的方程 [例1] (1)过△ABC外接圆上异于该三角形顶点的任意一点P作三边的垂线，则三垂足共线，该定理称为西姆松定理，过三垂足的直线称为△ABC关于点P的西姆松线.若△ABC中A(2，0)，直线AB与x轴垂直，y轴上的点P为劣弧 的中点，△ABC关于点P的西姆松线与直线AC交于点Q，则△ABC外接圆的标准方程为(　　) A.+(y-2)2= B.+(y-2)2= C.+(y-3)2= D.+(y-3)2= √ 解析：因为直线AB与x轴垂直，所以设B(2，2b)，则P(0，b).如图，由题意知AC⊥PQ，直线AC(即直线AQ)的斜率为=1，所以直线PQ的斜率为=-1，解得b=3，所以△ABC的外接圆经过点A(2，0)，B(2，6)，P(0，3).设△ABC外接圆的标准方程为(x-m)2+(y-n)2=r2， 则解得所以△ABC外接圆的标准方程为+(y-3)2=. (2)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉ M的方程为　　　　　　　.  解析：法一　设☉ M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则解得 ∴ ☉ M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. (x-1)2+(y+1)2=5 法二　设☉ M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)， 则M， ∴解得 ∴ ☉ M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0，即(x-1)2+(y+1)2=5. 法三　设A(3，0)，B(0，1)， ☉ M的半径为r，则kAB==-，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y-=3，即3x-y-4=0.联立得解得M(1，-1)， ∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5， ∴ ☉ M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 思维建模 1.求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 2.确定圆心的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上； (3)圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上. 即时训练 1.(2025·海南模拟)下列方程中表示圆心在直线y=x上，半径为，且过原点的圆的是(　　) A.(x-1)2+(y-1)2= B.(x-1)2+(y+1)2= C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 √ 解析：因为圆心在y=x上，所以设圆心为(a，a)，因为圆的半径为，所以设圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=2，因为该圆过原点，所以(-a)2+(-a)2=2，解得a=±1，所以圆心为(1，1)或(-1，-1)，当圆心为(1，1)时，圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2，D正确；当圆心为(-1，-1)时，圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.故选D. 2.(2024·聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 (　　) A.(x+)2+(y-)2= B.(x-)2+(y+)2=2 C.(x-)2+(y+)2= D.(x+)2+(y-)2=2 √ 解析：由题意设所求的圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a<0，b>0)，则即解得所以圆C的方程为(x+)2+(y-)2=2. 题点二　与圆有关的轨迹问题 [例2]　(2025·枣庄月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)， B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； 解：法一：直接法　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且直线AC，BC的斜率均存在，所以kAC kBC=-1. 又kAC=，kBC=，所以·=-1，化简得x2+y2-2x-3=0. 因此直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0). 法二：定义法　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解：相关点法　设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式，得x=，y=， 所以x0=2x-3，y0=2y. 由(1)，知点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0)， 将x0=2x-3，y0=2y代入，得(2x-4)2+(2y)2=4，即(x-2)2+y2=1(y≠0). 所以直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 思维建模 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解. 即时训练 3.(2025·邯郸模拟)由动点P向圆M：(x+2)2+(y+3)2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为 (　　) A.(x+2)2+(y+3)2=4 B.(x+2)2+(y+3)2=2 C.(x-2)2+(y-3)2=4 D.(x-2)2+(y-3)2=2 √ 解析：因为四边形APBM为正方形，且|MA|=|MB|=1，所以|MP|=，故动点P的轨迹是以M为圆心，为半径的圆，其方程为(x+2)2+(y+3)2=2.故选B. 4.设定点M(-3，4)，点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为_______________________ 　　　　　　　　　　　　　　　　.  解析：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)， 则线段OP的中点坐标为， 线段MN的中点坐标为. (x+3)2+(y-4)2=4， 除去两点和 因为平行四边形的对角线互相平分，所以线段OP与MN的中点为同一点，即==，整理得又点N(x0，y0)在圆x2+y2=4上，所以(x+3)2+(y-4)2=4.所以点P的轨迹是以(-3，4)为圆心，2为半径的圆.又直线OM与该圆相交于两点和，不能作出平行四边形，不符合题意，舍去.所以点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4，除去两点和. (易错提醒：本题易忽视排除不符合题意的点) 题点三　与圆有关的最值、范围问题 方法(一)　借助几何性质求最值 [例3]　(2025·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0.求： (1)的最大值和最小值； 解：如图，方程x2+y2-4x+1=0 表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆. 设=k，即y=kx，则圆心(2，0)到直线y=kx的 距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值. 由=，解得k2=3， ∴kmax=，kmin=-.∴==-. (2)y-x的最小值； 解：设y-x=b，则y=x+b，当且仅当直线y=x+b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值， 由点到直线的距离公式，得=，即b=-2±，故(y-x)min= -2-. (3)x2+y2的最大值和最小值. 解：法一　x2+y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C'(点B在点C'左侧)，则(x2+y2)max=|OC'|2=(2+)2=7+4，(x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4. 法二：参数方程法 把圆的方程化为标准方程得(x-2)2+y2=3. 设(θ为参数，θ∈[0，2π))， 则x2+y2=(2+cos θ)2+(sin θ)2=7+4cos θ. 当cos θ=-1时，(x2+y2)min=7-4；当cos θ=1时，(x2+y2)max=7+4. 法三：方程消元法　由圆的标准方程为(x-2)2+y2=3，可得y2=3-(x-2)2，且x∈[2-，2+]，故x2+y2=x2+3-(x-2)2=4x-1，由x∈[2-，2+]， 得x2+y2=4x-1∈[7-4，7+4]，故所求最大值为7+4，最小值为7-4. 思维建模 与圆有关的最值问题的3种几何转化法 (1)形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如m=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 拓展与建模 圆的参数方程的应用 (1)圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程，一般我们把方程(θ是参数)称为圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2的参数方程. (2)由圆的参数方程我们可以把圆心为(x0，y0)，半径为r的圆上的点设为(x0+rcos θ，y0+rsin θ)(θ∈[0，2π))，简称设“点参”，特别地，若原点为圆心，常用(rcos θ，rsin θ)来表示半径为r的圆上的任一点. 针对训练 1.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是 (　　) A.1+　　　 B.4　　　 C.1+3　　　 D.7 √ 解析：法一　令x-y=k，则x=k+y，代入原式化简得2y2+(2k-6)y +k2-4k-4=0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0，化简得k2-2k-17≤0，解得1-3≤k≤1+3，故x-y 的最大值是3+1. 法二　由x2+y2-4x-2y-4=0，整理得(x-2)2+(y-1)2=9，令x=3cos θ+2，y=3sin θ+1，其中θ∈[0，2π)，则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos +1，因为θ∈[0，2π)，所以θ+∈，则θ+=2π，即θ=时，x-y取得最大值3+1. 法三　由x2+y2-4x-2y-4=0，可得(x-2)2+(y-1)2=9，设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3，解得1-3≤k≤1+3.故x-y的最大值是1+3. 2.(2024·杭州三模)已知A(-2，-2)，B(1，3)，点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最大值为 (　　) A.16-6 B.26+2 C.26+4 D.32 √ 解析：设P(2cos θ，2sin θ)，则|PA|2+|PB|2=(2cos θ+2)2+(2sin θ+2)2 +(2cos θ-1)2+(2sin θ-3)2=4cos2θ+8cos θ+4+4sin2θ+8sin θ+4+4cos2θ-4cos θ +1+4sin2θ-12sin θ+9=4cos θ-4sin θ+26=4cos+26， 当cos=1时，|PA|2+|PB|2取得最大值26+4. 3.点P为圆x2+y2=152上一点，点A(5，0)，B(0，5)，记P到A，B两点的距离分别为l与m.则l2+m2的最大值为_______.  快审准解：设出点P(15cos θ，15sin θ)，θ∈[0，2π)，利用两点的距离公式求出l2+m2，然后求解最值即可. 850 解析：A(5，0)，B(0，5)，设P(15cos θ，15sin θ)，θ∈[0，2π)，则l2+m2=(15cos θ-5)2+(15sin θ)2+(15cos θ)2+(15sin θ-5)2=225×2+100 -150(cos θ+sin θ)=550-300sin， 故当θ=时，l2+m2取最大值， 最大值为850，此时点P的坐标为. 4.已知动圆(x-a)2+(y-b)2=1经过原点，则动圆上的点到直线x-y+2=0距离的最大值是________.  解析：由题可知原点在圆上，所以a2+b2=1，圆心到直线的距离d==，令a=cos θ，b=sin θ，则d== ，当cos=1时，dmax==+1，所以动圆上的点到直线x-y+2=0的距离的最大值是+2. +2 方法(二)　利用对称性求最值 [例4]　折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为O，在圆内任取一点P，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点P重合，记此时的折痕为l，点Q在l上，则|OQ|+|PQ|的最小值为_____.  2 解析：如图，设P关于l对称的点为P1，则P1在圆O上，连接P1Q，OP1，则有|PQ|=|QP1|，故|QP|+|QO|=|QP1|+|QO|≥|OP1|=2. 思维建模 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： ①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 方法(三)　建立函数关系式求最值 [例5]　设点P(x，y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B (-2，0)，则·的最小值为____.  解析：由题意，知=(2-x，-y)，=(-2-x，-y)，所以·=x2+y2-4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1，故x2=-(y-3)2+1，所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程为x2+(y-3)2=1，可知2≤y≤4，所以当y=2时，·的值最小，最小值为6×2-12=0. 0 思维建模 建立函数关系式求最值的思路 建立函数关系式求最值，就是根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的. 即时训练 5.已知P(m，n)是圆C：x2+y2-8x-6y+23=0上的一点，则的最小值是(　　) A.3-2 B.3 C.3+2 D.2 √ 解析：表示圆上的点P(m，n)到点(1，0)的距离，由x2+y2-8x-6y+23=0可化为(x-4)2+(y-3)2=2，得圆心为(4，3)，半径为，所以点(1，0)到圆心的距离为=3，所以点P(m，n)到点(1，0)的距离的最小值为3-=2，即的最小值是2. 6.已知点P(2，0)和圆O：x2+y2=36，直线l交圆O于M，N两点，且∠MPN=90°，则△MPN的面积的最大值是___________.  快审准解：利用均值不等式分析，当|PM|=|PN|，此时PM，PN的斜率分别为1和-1，且点N，M在y轴左侧，此时△MPN面积最大，求出最大值. 18+2 解析：由题知，因为∠MPN=90°，所以S△MPN=|PM||PN|≤ =，当且仅当|PM|=|PN|时等号成立，所以此时PM，PN的斜率分别为1和-1，根据圆的对称性分析，点N，M在y轴左侧，此时△MPN为等腰直角三角形，面积最大，设直线l与x轴的交点为Q，此时|PQ|=|QM|=|QN|=1+，所以(S△PMN)max=2××(1+)2=18+2. 7.已知M(-1，2)，N是曲线C：x2+y2-6x-2y+9=0上的动点，P为直线x+2y+2=0上的一个动点，则|PM|+|PN|的最小值为_________.  解析：如图，曲线C：x2+y2-6x-2y+9=0是以C(3，1)为圆心，以1为半径的圆，则根据圆的性质可知，|PN|的最小值为|PC|-1， 3-1 则可得解得即H(-3，-2)，连接HC，分别交直线x+2y+2=0与圆C于P，N，则|PM|+|PN|=|PM|+|PC|-1 =|PH|+|PC|-1≥|HC|-1，当且仅当P，H，C三点共线时取等号，此时取得最小值3-1，所以|PM|+|PN|的最小值为3-1. 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 设M关于直线x+2y+2=0的对称点为H(m，n)， 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.(2025·杭州模拟)圆C：x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为(　　) A.C(1，-2)，r= B.C(1，-2)，r=5 C.C(-1，2)，r= D.C(-1，2)，r=5 解析：圆C：x2+y2-2x+4y=0，即C：(x-1)2+(y+2)2=5，它的圆心C坐标和半径r分别为C(1，-2)，r=.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.(2025·大连一模)过点(-1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为 (　　) A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8 C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：令该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x-a)2+y2=r2，则有解得故该圆方程为(x-2)2+y2 =10.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.(2025·昆明模拟)已知PA是圆C：x2+(y-1)2=1的切线，点A为切点，若|PA|=2，则点P的轨迹方程是 (　　) A.(x-1)2+y2=5 B.x2+(y-1)2=5 C.y2=2x D.x2=2y 解析：因为|PA|=2，所以P点到圆心的距离恒为=，所以点P的轨迹是以(0，1)为圆心，为半径的圆，即x2+(y-1)2=5，故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.已知M为圆(x-1)2+y2=2上一动点，则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值为 (　　) A. B.2 C.3 D.4 解析：∵圆(x-1)2+y2=2，∴圆心(1，0)，半径r=，∴圆心到直线的距离d==2，∴圆(x-1)2+y2=2上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+=3，故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 谨记结论：设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离. 如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为|AD|=r+d；如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为|AD|=2r；如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为|BD|=d-r，最大距离为|AD|=r+d. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则该圆的标准方程为 (　　) A.(x+3)2+y2=25 B.(x-3)2+y2=25 C.(x±3)2+y2=25 D.(x+9)2+y2=25 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：如图，由题设知|AC|=r=5，|AB|=8，∴|OA|=4.在Rt△AOC中，|OC|===3.设点C的坐标为(a，0)，则|OC|=|a|=3，∴a=±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2+y2=25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.(2025·广州模拟)已知点A(-1，1)，B(1，-1)，C(3，3)，动点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=70，则·的最大值为(　　) A.3 B.4-1 C.30 D.31 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：设P(x，y)，则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+1)2 +(y-1)2+(x-1)2+(y+1)2+(x-3)2+(y-3)2=3(x2+y2-2x-2y) +22=70，整理可得(x-1)2+(y-1)2=18，故点P的轨迹 是以M(1，1)为圆心，半径r=3的圆，又因为·=(+)·(-)=-=||2-2， 且|PO|≤|OM|+r=+3=4，可得·≤30，所以·的最大值为30. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 ★7.(2025·济南模拟)若直线kx-y-3k+2=0与直线x+ky-2k-1=0交于点P，则P到坐标原点距离的最大值为 (　　) A.2 B.2+1 C.2 D.2+1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：因为k·1+(-1)·k=0，所以两直线垂直，又直线kx-y-3k+2=0过定点A(3，2)，直线x+ky-2k-1=0过定点B(1，2)，所以PA⊥PB，故交点P的轨迹是以AB为直径的圆C(挖去点A(3，2)，B(1，2))，如图所示，其中圆心C(2，2)，半径为1，所以线段|OP|的最大值为|OC|+1=2+1.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 关键点拨：本题是隐形圆问题，根据题意得到直线分别过定点A(3，2)和B(1，2)且垂直，推断出P的轨迹是以AB为直径的圆C(挖去点A(3，2)，B(1，2))是解决本题的关键. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 8.设有一组圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y=x上，A正确；令(3-k)2+(0-k)2=4，化简得2k2-6k+5=0，∵Δ=36-40=-4<0，∴2k2-6k+5=0无实数根，B正确；由(2-k)2+(2-k)2=4，化简得k2-4k+2=0，∵Δ=16-8=8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 9.已知△ABC的三个顶点为A(-1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是 (　　) A.圆M的圆心坐标为(1，3) B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x+y=0对称 D.点(2，3)在圆M内 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F= 0(D2+E2-4F>0)，则解得 所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0， 即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x+y=0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5，故点(2，3)在圆M内. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 ★ 10.已知曲线C：x2+y2-2|x|-2|y|=0，则下列说法正确的是(　　) A.曲线C围成的图形面积为8+4π B.曲线C的长度为4π C.曲线C上任意一点到原点的最小距离为2 D.曲线C上任意两点间最大距离为4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：当x≥0，y≥0时，曲线C：(x-1)2+(y-1)2=2；当x≥0，y≤0时，曲线C：(x-1)2+(y+1)2=2；当x≤0，y≥0时，曲线 C：(x+1)2+(y-1)2=2；当x≤0，y≤0时，曲线C： (x+1)2+(y+1)2=2；当x=0，y=0时，曲线C为原点. 画出曲线C的图形，如图所示.对于A，曲线C围 成的面积可分割为一个边长为2的正方形和 四个半径为的半圆，故面积为2×2+2π×()2=8+4π，故A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 对于B，曲线C由四个半径为的半圆组成，故周长为2×2π× =4π，故B正确；对于C，如图所示，因为原点在曲线C上，所以最小值为0，故C错误；对于D，如图所示，曲线C上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为4，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 11.(2025·长沙模拟)曲线C：(x2+y2-1)2-8(x2+y2)+15=0的周长为_______.  解析：由(x2+y2-1)2-8(x2+y2)+15=0，得(x2+y2-1)2-8(x2+y2-1)+7=0，即[(x2+y2-1)-1][(x2+y2-1)-7]=0，解得x2+y2=2或x2+y2=8，因此曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为，2，所以曲线C的周长为2π×(+2)=6π. 6π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.(2025·郑州模拟)平面几何中有一个著名的定理：△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆，若A(-2，1)，B(4，1)，△ABC的垂心为G(3，3)，则△ABC的九点圆的标准方程为______________________.  (x-2)2+= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：由A(-2，1)，B(4，1)，G(3，3)，可得AB中点为M(1，1)，AG中点为N，BG中点为P，设△ABC的九点圆方程为x2+y2+Dx +Ey+F=0，代入M，N，P三点坐标，可得 解得D=-4，E=-，F=，即x2+y2-4x-y+=0，化简可得圆的标准方程为(x-2)2+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 四、解答题 13.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程； 解：设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0). 由|EB|=|EC|，得=，解得b=1， 所以圆的半径为|EB|==.所以圆E的方程为x2+(y-1)2=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程. 解：设P(x，y)，由于P是MN的中点， 由中点坐标公式，得M(2x-5，2y-2)， 代入x2+(y-1)2=10， 化简得+=，即线段MN的中点P的轨迹方程为+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x-y-1=0上. (1)求圆C1的方程； 解：由题意知AB的中点坐标为，kAB==1， ∴AB的垂直平分线方程为y-=-，即y=5-x， 联立解得即圆C1的圆心坐标为(2，3)，半径r=1，其方程为(x-2)2+(y-3)2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点，求|PM|+|PN|的最小值，以及此时点P的坐标. 解：注意到点C1(2，3)和点C2(-3，-4)在直线x+y=0的两侧，直线x+y=0与两圆分别相离，如图所示. ∴|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3≥|C1C2|-4=-4，当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线时等号成立，即|PM|+|PN|的最小值为-4,此时点P为直线C1C2与x+y=0的交点， 过C1，C2的直线方程为7x-5y+1=0，联立 解得∴点P的坐标为. $$