第7章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 明确目标 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.基本事实1~3   文字语言 图形语言 符号语言 过__________________的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α 如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 不在一条直线上 两个点 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有______过该点的公共直线 P∈α,且P∈β⇒ α∩β=l,且P∈l 一条 续表 2.3个推论 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 推论2 经过两条______直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条______直线,有且只有一个平面 相交 平行 3.空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类 共面 直线 ①相交直线:在同一平面内,有且只有______________; ②平行直线:在同一平面内,没有公共点 异面 直线 不同在________________内,没有公共点 一个公共点 任何一个平面 (2)基本事实4和定理 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线______ 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角_____________ 相等或互补 平行 4.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的_____叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 ________ 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直 角 5.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系   图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 ________ ____个 平行 ______ ____个 在平面内 ______ ______个 a∩α=A 1 a∥α 0 a⊂α 无数 平面与平面 平行 ______ _____个 相交 ________ _____个 α∥β 0 α∩β=l 无数 续表 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修②P128T2改编)[多选]下列命题是假命题的是(　　) A.空间不共线的三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线确定一个平面 D.两两平行的三条直线确定三个平面 √ √ √ 2.(苏教必修②P218T9)下列图形中,能确定直线a,b是异面直线的是 (　 ) 解析:a,b两直线在平面内无交点,但可能在被平面遮住的部分有交点,故A错误;a,b两直线在平面内无交点,但在平面上方有一个交点,故B错误;a,b两直线在平面内无交点,在平面外也无交点且不平行,故C正确;a,b两直线在平面内有交点,故D错误. √ 3.(人A必修②P148T3改编)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=2,AA'=2,则 (1)直线BC和A'C'所成的角的大小为_____.  45° 解析:因为BC∥B'C',连接A'C',所以∠B'C'A'是异面直线A'C'与BC所成的角, 在Rt△A'B'C'中,A'B'=2,B'C'=2,所以∠B'C'A'=45°.故异面直线BC和A'C'所成的角是45°. (2)直线AA'和BC'所成的角的大小为　　　　. 解析:因为AA'∥BB',连接BC',则∠B'BC'是异面直线AA'与 BC'所成的角.在Rt△BB'C'中,B'C'=AD=2,BB'=AA'=2, 所以BC'==4,所以cos∠B'BC'==. 又∠B'BC'为锐角,所以∠B'BC'=60°, 故异面直线AA'和BC'所成的角是60°. 60° 二、易错小题的警醒训练 1.下列关于异面直线的说法正确的是(　　) A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线 B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面 C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面 D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面 答案:D(易错点:误解异面直线的概念) 2.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是 (　　) A.b⊂α　　　　　　 B.b∥α C.b⊂α或b∥α D.b与α相交或b⊂α或b∥α 答案:D(易错点:忽视直线在平面内) 课堂·题点精研 02 题点一　基本事实的应用 [例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点, AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面; 证明:(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线,所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD, 所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线; 证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C, 设A1,C,C1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 证明:因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交,设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三线交于一点. 思维建模 共面、共线、共点问题的证明方法 证明共面 方法 纳入平面法 先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内 辅助平面法 先证有关点、线确定平面α,再证明其余点、 线确定平面β,最后证明平面α,β重合 证明共线 方法 先由两点确定一条直线,再证明其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 证明线 共点方法 先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点 即时训练 1.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG=P,则点P (　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上 √ 解析:因为EF∩HG=P,E,F,G,H四点分别是AB,BC,CD,DA上的点,所以EF在平面ABC内,HG在平面ACD内,所以P既在平面ABC内,又在平面ACD内,所以P在平面ABC和平面ACD的交线上,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC. 2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,点E,F,G,H分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AE=1,BF=DH=2,CG=3.证明:点H在平面EFG中. 证明:取CC1的中点Q,BF的中点M,连接EM, MQ,QH,则FM=BF=1,GQ=1.由正四棱柱ABCD- A1B1C1D1,得DD1∥CC1,DD1=CC1,CD∥AB, CD=AB,BB1∥CC1,则FM∥GQ.又点H,Q分别为DD1,CC1的中点,所以DH∥CQ,DH=CQ,即四边形DHQC为平行四边形,同理可得,四边形AEMB为 平行四边形,所以HQ∥DC∥AB∥EM且HQ=DC=AB=EM,则HQ∥EM, HQ=EM,所以四边形EMQH为平行四边形,所以EH∥MQ.因为FM=GQ= 1,FM∥GQ,所以四边形MQGF为平行四边形,所以MQ∥FG,所以EH∥FG,所以E,F,G,H四点共面,即点H在平面EFG中. 价值发掘:不管是点共线还是线共点都是考查基本事实3,基本事实3主要用于判断两个平面是否相交(只要两个不重合的平面有公共点,则两个平面就相交)、点是否在线上或点是否共线问题(若某一点或多个点是两个平面的公共点,则点在线上或多点共线),其中点在线上也可用来解决线共点问题. 题点二　空间线、面位置关系的判断 [例2] (1)[多选]如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行, 则下列结论能成立的是(　　) A.l与AD平行 B.l与AB异面 C.l与CD所成的角为30° D.l与BD垂直 √ √ √ 解析:假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,可得l∥B1C1,与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行,A错误;取l为A1C1所在直线,满足B,B正确;又因为l⊥B1D1,B1D1∥BD,所以l⊥BD,D正确;取l与C1D1成30°角,因为C1D1∥CD,所以此时l与CD所成的角为30°,C正确.故选BCD. A.AE=CF,AC与EF是共面直线 B.AE≠CF,AC与EF是共面直线 C.AE=CF,AC与EF是异面直线 D.AE≠CF,AC与EF是异面直线 √ 解析:由题意,圆柱的轴截面ABCD是边长 为2的正方形,E是 的中点,F是AB的中点, AC⊂平面ABC,所以EF与平面ABC相交, 且与AC无交点,所以AC与EF是异面直线. 又CF==,AE==, 所以AE≠CF.故选D. 思维建模 (1)判断空间直线的位置关系,一般有两种方法:一是构造几何体 (如正方体、空间四边形等)模型来判断;二是利用排除法. (2)异面直线的判定方法 ①反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到. ②判定定理法:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 即时训练 3.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是 (　　) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 √ 解析:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A、B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确. 谨记结论 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 4.[多选]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M,N分别为棱C1D1,C1C的中点, 以下四个选项正确的是 (　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 √ √ 解析:因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;取DD1的中点E,连接AE(图略),则BN∥AE,但AE与AM相交,所以AM与BN不平行,故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确. 题点三　求异面直线所成的角 [例3]　在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1= ∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 　　　　. 如图所示,作A1O⊥底面ABC,由∠BAA1=∠CAA1=60° 可知,AO为∠BAC 的角平分线,且AO⊥BC,BC⊥平面AA1O,BC⊥AA1,于是BC⊥BB1,四边形BB1C1C 为矩形.取AC 的中点E,连接B1C 交BC1 于点F,连接EF,BE,则F 为B1C 的中点,EF綉AB1.所以异面直线AB1 与BC1所成的角等于EF 与BF 所成的角, 即∠BFE 或其补角.设三棱柱的棱长为2,由题意即可得BE=,EF=AB1=, BF=BC1=.于是cos∠BFE===.故异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为. 方法引入:运用直接平移法,作已知直线的平行线,找到异面直线所成的角,并运用余弦定理求解. 方法引入:运用补形法,在原三棱柱上底面补上一个大小相同的三棱柱,再通过平移并结合余弦定理求解. 在三棱柱ABC-A1B1C1 的上底面补上一个大小相同的三棱柱A1B1C1-A2B2C2, 如图所示,连接B1C2,AC2,且AC2 交A1C1 于点D,则∠AB1C2 或其补角为异面直线AB1 与BC1 所成的角.设AB=1,易知AB1=,B1C2=BC1=,AC2=2AD=2 =,所以在△AB1C2 中,有cos∠AB1C2==-. 故异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为. 方法引入:运用补形法,将三棱柱补成平行六面体,解法更显直观. 将三棱柱补为平行六面体,再放同样的一个平行六面体,如图所示,∠C1BE或其补角就是异面直线AB1 与BC1 所成的角. 设三棱柱的棱长为1,易得AB1=,即BE=. 在△A1C1E 中,易求C1E=,易得BC⊥AA1,所以BC⊥CC1.从而在△BCC1 中,求得BC1=.在△BC1E 中,cos∠C1BE==.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 方法引入:运用向量法,设异面直线AB1与BC1所成角为θ,依法求·,||,||并代入公式cos θ=得解. 不妨设AB 长为1,因为=++, =+,所以||2=(++)2=2,所以||=. 因为||2=(+)2=3, 所以||=. 因为·=(++)·(+)=1,设异面直线AB1 与BC1 所成角为θ,则cos θ===.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 思维建模 用平移法求异面直线所成角的3个步骤 (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角. (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.　 (3)三求:解三角形,求出所作的角. 易错提醒:如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 即时训练 5.如图,圆台OO1的上底面半径为O1A1=1,下底面半径为OA=2,母线长AA1=2, 在下底面内过OA的中点B作OA的 垂线交圆O于点C,则异面直线OO1与A1C所成角的大小为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° √ 解析:在直角梯形OO1A1A中,∵B为OA的中点,OA=2,∴O1A1=OB=AB=1,连接A1B, 易知四边形OO1A1B为矩形,∴OO1∥A1B, ∴∠BA1C(或其补角)为异面直线OO1与A1C 所成的角.在Rt△ABA1中,AA1=2,AB=1,∴A1B=.连接OC, 在Rt△OBC中,由OB=1,OC=2,得BC=.在Rt△A1BC中,BC=A1B, ∴∠BA1C=45°,即异面直线OO1与A1C所成角的大小为45°. 6.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=2,E,F分别是AB,CD的中点, EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为　　　　. 解析:设BD的中点为O,连接EO,FO,所以EO∥AD, FO∥BC,则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与 BC所成的角.所以EO=AD=1,FO=BC=,EF=, 在△EOF中,根据余弦定理,得cos∠EOF== ==-,所以∠EOF=150°,从而异面直线AD与BC所成角的大小为30°. 30° 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则(　　) A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N 解析:∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α.又M∈l,N∈l,则l⊂α.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,α∩β=c, a⊂α,b⊂β,则“a,b相交”是“a,c相交”的 (　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若a,b相交,a⊂α,b⊂β,则其交点在交线c上,故a,c相交;若a,c相交,则a,b为相交直线或异面直线.综上所述,“a,b相交”是“a,c相交”的充分不必要条件.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有 (　　) A.1条或2条 B.2条或3条 C.只有2条 D.1条或2条或3条 解析:当平面α过平面β与平面γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β∥γ时,平面α与平面β,γ各有1条交线,这三个平面有2条交线; 当平面α,β,γ两两相交时,这三个平面有3条交线. (考虑平面α与平面β,γ的相交情形时,注意做到不重不漏) 故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,正方形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2,O1O2⊥平面ABCD, O1O2=3,AB=5,A1B1=4,则直线O1O2与直线AA1所成角的正切值为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:连接AO1,A1O2,作A1E⊥AO1,垂足为E,则∠AA1E或 其补角即为直线O1O2与直线AA1所成的角,所以AE=AO1- A1O2=-=,故tan∠AA1E===. 故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.(2025·青海模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N,G,H分别为棱AB,BC,AD,CD, A1B1,C1D1的中点,P为DH的中点,连接EH,FG. 对于空间任意两点I,J,若线段IJ上不存在也在 线段EH,FG上的点,则称I,J两点“可视”, 则与点B1“可视”的点为 (　　) A.D B.P C.M D.N 快审准解:连接B1D,B1P,B1E,MF,B1M,B1N,借助平行线的性质可得四点共面,即可得线段B1D与EH相交,线段B1P与EH相交,线段B1M与FG相交,从而排除A、B、C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:如图,连接B1D,B1P,B1E,由正方体的性质及E,H分别为棱AB,C1D1的中点,易得B1E∥HD,所以线段B1D与EH相交,B1P与EH相交,故A、B错误;连接MF,B1M,有AB∥MF,AB∥B1G,故B1G∥MF,所以线段B1M与FG相交,C错误;连接B1N,直线B1N与EH,直线B1N与FG均为异面直线, D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.(2025·新余模拟)空间中有三条两两异面的直线,P为其中一条直线上一定点,过P引直线l使其与这三条异面直线都相交,则对于任意的定点P,存在的直线l有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,不妨设 三条两两异面的直线为A1D1,BB1,CD,令P∈A1D1, 作平面PP1BB1过BB1,则过P与BB1相交的直线都在平面PP1BB1内.作平面PP2CD过DC,则过P与DC相交的直线都在平面PP2CD内,平面PP1BB1与平面PP2CD不平行且不重合,有且仅有一条公共直线,所以直线l只有1条. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7.已知ABCD-A'B'C'D'为长方体,对角线AC'与平面A'BD相交于点G,则G为△A'BD的 (　 ) A.垂心　　 B.重心 C.内心 D.外心 解析:如图,连接AC交BD于点E,连接A'E,AB',A'C', DC',AB'∩A'B=F,连接DF,由ABCD-A'B'C'D'为 长方体,所以E为BD的中点,F为A'B的中点,则A'E, DF为△A'BD的中线,平面A'BD∩平面A'C'CA=A'E,体对角线AC'与平面A'BD相交于点G,则G∈A'E,平面A'BD∩平面B'C'DA=DF,体对角线AC'与平面A'BD相交于点G,则G∈DF,所以G为A'E与DF的交点,所以G为△A'BD的重心. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　　) A.C1,M,O三点共线 B.C1,M,O,C四点共面 C.C1,O,B1,B四点共面 D.D1,D,O,M四点共面 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:因为O∈AC,AC⊂平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1.因为O∈BD, BD⊂平面C1BD,所以O∈平面C1BD,所以O 是平面ACC1A1 和平面C1BD 的公共点.同理可得,点M 和C1 都是平面ACC1A1 和平面C1BD 的公共点,所以C1,M,O三点在平面C1BD 与平面ACC1A1 的交线上,即C1,M,O三点共线.又C∉C1O,所以C1,M,O,C四点共面,故A、B正确;根据异面直线的判定定理可得BB1 与C1O 为异面直线,故C1,O,B1,B四点不共面,故C不正确;根据异面直线的判定定理可得DD1 与MO 为异面直线,故D1,D,O,M四点不共面,故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 9.如图为一正方体的展开图,则在原正方体中 (　　) A.AB∥CD B.AB⊥CD C.直线AB与EF所成的角为60° D.直线CD与EF所成的角为60° √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:作出原正方体如图所示,由图可知,AB与CD不平行,所以A错误;根据正方体的性质可知BH∥AG,BH=AG,所以四边形ABHG是平行四边形,所以AB∥GH,而GH⊥CD,所以AB⊥CD,所以B正确;根据正方体的性质可知,△ABC是等边三角形,直线AB与EF所成的角为∠BAC,所以直线AB与EF所成的角为60°,所以C正确;又△EFD是等边三角形,直线CD与EF所成的角为∠FCD,所以直线CD与EF所成的角为60°,所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 10.已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点.若α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为　　　　. 解析:∵m⊂α,n⊂β,m∩n=P,∴P∈α且P∈β,又α∩β=l,∴点P在直线l上,即P∈l. P∈l 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 11.已知在三棱锥A-BCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为60°, M,N分别是BC,AD的中点,则异面直线AB与MN所成的角为　 　　. 解析:如图,取AC的中点P,连接PM,PN,则PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD,所以∠MPN(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角,则∠MPN=60°或∠MPN=120°.因为PM∥AB,所以∠PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角.①当∠MPN= 60°时,因为AB=CD,所以PM=PN,则△PMN是等边 三角形,所以∠PMN=60°,即异面直线AB与MN所成的角为60°;②当∠MPN=120°时,易知△PMN是等腰三角形,所以∠PMN=30°,即异面直线AB与MN所成的角为30°.综上,异面直线AB与MN所成的角为60°或30°. 60°或30° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BD⊥CD,AB=且最长的棱长为,E为棱AD的中点,则当三棱锥A-BCD的体积最大时,直线AC与BE所成角的余弦值为　　　　. 解析:因为BD⊥CD,所以BC>BD,所以AC=.又因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥BC,所以BC==.又BD2+CD2=10≥2BD·CD,当且仅当BD=CD时等号成立, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 所以V=×BD·CD×≤,当BD=CD=时取最大值.取CD的中点F,连接EF,FB,所以EF∥AC,所以∠BEF(或其补角)为直线AC与BE所成的角,因为BE=AD==,EF=AC=,BF==,所以cos∠BEF= ==-,所以直线AC与BE所成角的余弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 四、解答题 13.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1内接于圆柱, 若D,E分别为A1B1,A1C1的中点. (1)求证:D,E,C,B四点共面; 证明:连接DE(图略),由于D,E分别为A1B1, A1C1的中点,所以DE∥B1C1.又BC∥B1C1,所以DE∥BC,所以D,E,C,B四点共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)若直线BD与直线CE交于点P,求证:点P在直线AA1上. 证明:由P∈BD,BD⊂平面A1ABB1,得P∈平面A1ABB1.由P∈CE, CE⊂平面A1ACC1,得P∈平面A1ACC1.又平面A1ABB1∩平面A1ACC1=AA1,所以P∈AA1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.已知ABCD是空间四边形,如图所示(M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点). (1)若直线MN与直线EF相交于点O,证明:B,D,O三点共线; 证明:因为M∈AB,N∈AD,AB⊂平面ABD,AD⊂平面ABD, 所以MN⊂平面ABD. 因为E∈CB,F∈CD,CB⊂平面CBD,CD⊂平面CBD, 所以EF⊂平面CBD. 由于直线MN与直线EF相交于点O,即O∈MN,O∈平面ABD,O∈EF, O∈平面CBD. 又平面ABD∩平面CBD=BD,则O∈BD, 所以B,D,O三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)若E,N为BC,AD的中点,AB=6,DC=4,NE=2,求异面直线AB与DC所成角的余弦值. 解:连接BD,取BD的中点G,并连接GN,GE,如图所示,在△ABD中,点N,G分别是AD和BD的中点,且AB=6,所以GN∥AB,且GN=AB=3. 在△CBD中,点E,G分别是BC和BD的中点,且DC=4,所以GE∥DC,且GE=DC=2,则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角,即∠EGN或∠EGN的补角. 又NE=2,由余弦定理得cos∠EGN===>0, 故异面直线AB与DC所成角的余弦值为. (2)在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是的中点,F是AB的中点,则 (　　) $$