第4章 第四节 简单的三角恒等变换（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第四节 简单的三角恒等变换 明确目标 1.会根据相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题. 目录 题点一　三角函数式的化简 题点二　三角函数的求值问题 题点三　三角恒等变换的综合应用 培优 创新发展 课时跟踪检测 3 题点一　三角函数式的化简 [例1]　化简: (1)-2cos(α+β); 解:-2cos(α+β)=-2cos(α+β) =-2cos(α+β) = = ==. (2). 解:== == ====cos 2x. 思维建模 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 即时训练 1.化简:=(　　) A.cos α B.2cos α C.sin α D.2sin α 解析:原式===2cos α. √ 2.已知0<θ<π,则=　　 　　. 解析:原式 = =cos·=.因为0<θ<π,所以0<<, 所以cos>0.所以原式=-cos θ. -cos θ 题点二　三角函数的求值问题 考法(一)　给角求值 [例2]　(2025·西安一模)等于(　　) A. B. C. D.1 解析: = = ==cos 30°=. √ 思维建模 给角求值问题的解题策略 在三角函数的给角求值问题中,已知角常常是非特殊角,但非特殊角与特殊角总有一定关系. 其基本思路是观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值、或可正、负相消的项和特殊角的三角函数值、或可约分的项和特殊角的三角函数值等. 考法(二)　给值(式)求值 [例3] (1)已知0<β<α<,cos(α-β)=,cos αcos β=,则-=(　　) A.- B.- C.-1 D.-2 快审准解:将-转化为=,整体代入求解. 解析:因为cos(α-β)=,0<β<α<,0<α-β<,所以sin(α-β)>0,故sin(α-β)= =.又cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,所以sin αsin β=,故-=-====-2. √ (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角, tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　　. 解析:法一　由题意得tan(α+β)===-2, 因为α∈,β∈,k,m∈Z, 所以α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z. 又因为tan(α+β)=-2<0, 所以α+β∈,k,m∈Z,则sin(α+β)<0, 则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-. - 法二　因为α为第一象限角,β为第三象限角, 所以cos α>0,cos β<0, cos α==, cos β==, 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β·(tan α+tan β)=4cos αcos β= ===-. 思维建模 给值(式)求值问题的解题策略 (1)将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行三角恒等变换,使其转化为所求函数式能够使用的条件,然后用代入法求出三角函数式的值,也可以将所求的函数式经过适当的变形,再利用条件求值; (2)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值的解题关键:把“所求角”用“已知角”表示. 考法(三)　给值求角 [例4]　(2024·九江二模)已知α,β∈,cos(α-β)=,tan αtan β=,则α+β=(　　) A. B. C. D. √ 解析:因为cos(α-β)=,tan αtan β=,所以 解得 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=. 又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以α+β=. 思维建模 给值求角的技法 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数; (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数. ①若角的范围是,选正、余弦函数皆可; ②若角的范围是,选余弦函数; ③若角的范围是,选正弦函数. 即时训练 3.化简:=(　　) A. B.2 C. D.-1 解析: = ===. √ 4.已知α∈,tan=tan,则=(　　) A.6+4 B.6-4 C.17+12 D.17-12 解析:因为α∈,tan=tan,所以=× ,tan α<-1,解得tan α=-3-2或tan α=-3+2(舍去),则= =(tan2α-2tan α+1)=(tan α-1)2=(-3-2-1)2=6+ 4.故选A. √ 5.已知α,β∈,sin α=,cos(α+β)=,则β=(　　) A. B. C. D. 解析:由于α,β∈,∴α+β∈(π,2π),∴sin(α+β)=-,cos α= -=-,∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= ×+×==-,∴β=. √ 题点三　三角恒等变换的综合应用 [例5]　已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0)的周期为π. (1)求ω; 解:f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx=sin 2ωx+1+cos 2ωx= 2sin+1. 因为函数f(x)的周期为π, 所以=π,所以ω=1. (2)求函数f(x)的对称轴; 解:由(1)得f(x)=2sin+1, 令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z, 所以函数f(x)的对称轴为x=+,k∈Z. (3)已知f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值. 解:因为f(x0)=, 即2sin+1=, 所以sin=. 又x0∈,所以2x0+∈. 所以cos=-=-, 所以cos 2x0=cos=-×+×=. 思维建模 (1)进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形应用. (2)形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 即时训练 6.已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x. (1)若A是三角形中一内角且f(A)=0,求A的值; 解:由题意可得f(x)=+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin+, 因为f(A)=0,所以sin+=0. 因为A∈(0,π), 所以2A-∈, 所以2A-=,即A=. (2)若A是锐角三角形中一内角且f=,求sin A的值. 解:由题意可得A∈,A-∈, 因为f=, 所以sin=,cos=, 所以sin A=sin =sin+cos =×+×=+, 即sin A=+. 培优 创新发展 三角恒等变换与其他知识结合 1.(和差公式与椭圆)若椭圆x2+=1的长轴长为3sin α,则cos 2α=(　　) A. B.- C.- D. 解析:由题意,得椭圆焦点在y轴上,且a=,则3sin α=2, 即sin α=,于是cos 2α=1-2sin2α=1-2×=1-=-. √ 2.(和差公式与数列)已知正项等差数列{an}满足tan a5tan a7+ tan a5+tan a7=1,a6<1,则a1+a4+a6+a8+a11值为 (　　) A. B. C. D. 解析:因为tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,所以=1,即tan(a5+a7)=1,所以a5+a7=+kπ,k∈Z.又0<a5+a7=2a6<2, 所以a5+a7==2a6,解得a6=,故a1+a4+a6+a8+a11=5a6=. √ 3.(和差公式与直线的斜率)如图,△ABC的顶点都在 坐标轴上,直线AB的斜率为,直线BC的斜率为-, 则tan∠ABC=(　　) A.- B.- C.- D.- √ 解析:由题意可得∠ABC=∠xCB-∠xAB,由kAB=,得tan∠xAB=,由kBC=-,得tan∠xCB=-,∴tan∠ABC=tan(∠xCB-∠xAB) ===-. 4.(和差公式与圆的方程)若过点(2,0)与圆x2+y2=4相切的两条直线的夹角为α,则cos α=(　　) A. B. C. D. 解析:因为点(2,0)到圆心(0,0)的距离为d=2,圆的半径为r=2,所以sin===,于是cos α=1-2sin2=1-2×=. √ 5.(和差公式与平面向量)已知向量a=(-cos α,sin α),b=(1,1),α∈[0,π], 若a·b=,则cos=(　　) A. B.- C.或 D.-或- 解析:由a·b=,得sin α-cos α=,两边平方得1-2sin αcos α=,∴sin αcos α>0, sin 2α=.∵α∈[0,π],∴sin α>0,cos α>0,∴α∈.又sin α-cos α=>0, ∴α∈,则2α∈,∴cos 2α=-=-=-, ∴cos=cos 2αcos-sin 2αsin=-×-×=-. √ 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 一、单选题 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) A. B. C. D. 解析:由题意,cos α==1-2sin2,得sin2===.又α为锐角,所以sin>0,所以sin=,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.化简 +的结果是(　　) A.cos 10° B.sin 10° C.2sin 10°+cos 10° D.2cos 10°-sin 10° 解析:原式化简为 +=+ =cos 10°+cos 10°-sin 10°=2cos 10°-sin 10°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 3.(2024·贵阳二模)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α+β)的值为(　　) A.-4 B.4 C.-2 D.2 快审准解:拆分角α=+,β=-,再根据和差化积公式求得tan ,由正切二倍角公式即可得所求. 解析:由α=+,β=-,得cos α-cos β=-2sin sin=, sin α-sin β=2cossin =-,两式相除可得tan=,所以tan(α+β)= tan==-4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 4.已知sin α=,cos(α+β)=-,则β的值可能为(　　) A.π　　 B.　　 C.-　 　D. 解析:由sin α=,cos(α+β)=-,得cos α=±,sin(α+β)=±, 而sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,从而sin β=1或 sin β=-.当sin β=1时,只有B符合;当sin β=-时,四个选项均不符合. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5.(2025·济南模拟)已知tan αcos-cos=0,α∈,则=(　　) A.2-2　　　B.4-3　　　C.2　　D.3-2 解析:因为tan αcos-cos=0,所以tan αcos-sin=0.又α∈,所以cos≠0,所以tan α-tan=0,即tan α-=0,解得tan α=-1或tan α=--1.因为α∈,所以tan α=-1, 所以====3-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 6.已知角α,β满足cos(α+β)=sin α+sin β,则sin α的最小值为 (　　) A.1-　　B.-　　C.　　D.-2 快审准解:将cos(α+β)展开,结合辅助角公式得到cos(β+θ)=sin α,再结合有界性即可求解. 解析:因为cos(α+β)=sin α+sin β=cos αcos β-sin αsin β,所以cos αcos β- (sin α+1)sin β=sin α,由辅助角公式可得 cos(β+θ)= sin α,其中tan θ=,所以|sin α|≤=, 所以sin2α≤2+2sin α,解得sin α≥1-,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 7.若α,β为锐角,且α+β=,则tan α+tan β的最小值为(　　) A.2-2 B.-1 C.2-2 D.-1 解析:因为tan(α+β)==1,所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+ tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. (重点:积为定值,和最小,注意应用基本不等式求解) 因为(1+tan α)(1+tan β)≤,即2≤,得(tan α+ tan β+2)2≥8.由于α,β为锐角,则tan α+tan β+2>0,所以tan α+tan β+2≥2,当且仅当tan α=tan β=-1时等号成立,所以tan α+tan β的最小值为2-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 二、多选题 8.下列各式中,值为的是(　　) A.sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171° B.cos275°-cos215° C. D.sin 50°(1+tan 10°) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171°=-sin 21°sin 9°+ cos 21°cos 9°=cos(21°+9°)=cos 30°=,A是; cos275°-cos215°=cos275°-sin275°=cos 150°=-,B不是; ===,C是; sin 50°(1+tan 10°)====1,D不是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 9.若0<α<β<,且cos αcos β=,tan αtan β=,则下列结论正确的是(　　) A.cos(α+β)= B.sin(α-β)=- C.cos 2α= D.β< √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:由题意可得sin αsin β=cos αcos βtan αtan β=,所以cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β=,故A错误;cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=, 因为0<α<β<,所以-<α-β<0,所以sin(α-β)=-=-, 故B正确;因为0<α<β<,所以sin(α+β)==,所以cos 2α= cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)·cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=,故C错误; cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)·cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=>> -=cos,因为0<β<,所以0<2β<π,故2β<,所以β<,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 三、填空题 10.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f(x0)=3f'(x0),则=　　　　. 快审准解:求导,由f(x0)=3f'(x0)整理可得tan x0=-2,然后利用二倍角公式将目标式化为齐次式,弦化切可得. 解析:求导得f'(x)=cos x+sin x,由f(x0)=3f'(x0),得sin x0-cos x0= 3(cos x0+sin x0),解得tan x0=-2,所以===-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 11.(2025·银川一模)已知θ∈,tan=-tan θ,则= 　　　　. 快审准解:由条件tan=-tan θ化简求得tan θ=3,将所求式子利用 三角恒等变换化简,再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果. 解析:由tan=-tan θ,得=-tan θ,整理得2tan2θ-5tan θ-3=0, 解得tan θ=-或tan θ=3.又因为θ∈,tan θ>0,可得tan θ=3,所以= =sin θ(cos θ-sin θ)====-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 12.已知cos(α+2β)=,tan(α+β)tan β=-4,写出符合条件的一个角α 的值为　　 　　. 解析:cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β)·cos β-sin(α+β)sin β=, tan(α+β)tan β=-4,即=-4,故sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β, 故5cos(α+β)cos β=,即cos(α+β)cos β=,则sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β= -,则cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-=-,可取α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 13.写出使等式+=2成立的一个α的值 ______________________________________. 解析:由+===2, 得sin=sin,所以+=(2k+1)π(k∈Z),解得α=kπ+(k∈Z),当k=0时,α=,所以可取α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 四、解答题 14.(1)化简:; 解:==cos2α·=cos2α·= cos2α·tan α=cos2α·=sin αcos α=sin 2α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (2)求值:(1+tan 5°)(1+tan 40°). 解:因为tan 45°=tan(5°+40°)==1,所以tan 5°+ tan 40°=1-tan 5°tan 40°,则tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1, 所以(1+tan 5°)(1+tan 40°)=1+tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°= 1+1=2. 谨记结论:若A+B=,则(1+tan A)(1+tan B)=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 15.已知sin 2α+cos2α=4sin α+2cos α. (1)求sin αcos α+cos 2α的值; 解:因为sin 2α+cos2α=4sin α+2cos α, 所以(2sin α+cos α)(cos α-2)=0, 因为cos α-2≠0,所以2sin α+cos α=0, 所以tan α=-. 所以sin αcos α+cos 2α===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (2)若α∈(-π,0),β∈,且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值. 解:由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β==-,则tan(α+2β)= ==-1. 因为β∈,所以2β∈(0,π). 又tan 2β=-,所以2β∈, 因为α∈(-π,0),tan α=-,则α∈, 所以α+2β∈(0,π),所以α+2β=. $$