第3章 第一节 导数的概念及运算（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三章 一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 明确目标 1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数.通过函数图象,理解导数的几何意义. 2.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数, 能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 4 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.函数的平均变化率 一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则 (1)称Δx=_______为自变量的改变量; (2)称Δy=_______ (或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量; (3)称=为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1<x2时指的是[x1,x2],而x1>x2时指的是[x2,x1]. x2-x1 y2-y1 2.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=_________________________为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== ________________________.  (2)导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的______,相应的切线方程为____________________. 斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 3.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=____ f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=______ f(x)=sin x f'(x)=______ f(x)=cos x f'(x)=_______ f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=_______ f(x)=ex f'(x)=_____ f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=______ f(x)=ln x f'(x)= 0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex 4.导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=________________; (2)[f(x)g(x)]'=___________________; (3)'=(g(x)≠0);(特殊化)当f(x)=1,g(x)≠0时, =,'=-; (4)[cf(x)]'=________ (c为常数). f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf'(x) 5.复合函数的导数 对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的_______. y'u·u'x 乘积 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(苏教选必修①P203T2改编)[多选]下列函数求导运算正确的是(　　) A.若y=,则y'=- B.若y=4x,则y'=4xln x C.若y=,则y'= D.若y=xex,则y'=(x+1)ex √ √ 2.(人A选必修②P70T4改编)若车轮旋转的角度θ(单位:rad)与时间t(单位:s)之间的关系为θ(t)=t2,则车轮转动开始后第4秒的瞬时角速度为(　　) A.13π rad/s B. rad/s C.52π rad/s D.26π rad/s 解析:由题意可得θ'(t)=t,所以车轮转动开始后第4秒的瞬时角速度为θ'(4)=13π rad/s,故选A. √ 3.(人A选必修②P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x, 则f'=　 　　. 解析:f'(x)=-f'sin x-cos x,令x=,得f'=-f'-,解得f'=1-. 1- 4.(人A选必修②P78T3改编)曲线y=x2+在点(1,4)处的切线方程为　　　　　　. 解析:易知f'(x)=2x-,则f'(1)=-1,故f(x)在点(1,4)处的切线方程为y-4=-(x-1),即x+y-5=0. x+y-5=0 二、易错小题的警醒训练 1.若=1,则f'(x0)=(　　) A. B. C.3 D.2 解析:∵ ==1, ∴f'(x0)=. (易错点:忽视导数的概念,自变量的变化幅度应保持一致) √ 2.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=　　　　 　,[f(2x+3)]'=　　 　 　. 解析:因为f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'= 3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2. (易错点:忽视f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别,f'(x)是一个函数,f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值,(f'(x0))'=0) 3(2x+3)2 6(2x+3)2 课堂·题点精研 02 题点一　导数的运算(自主练通) 1.已知函数f(x)=-x2+ln x,则的值为(　　) A.e B.-2 C.- D.0 解析:因为f'(x)=-x+, 所以f'(1)=-1+1=0, 所以=0. 故选D. √ 2.已知函数f(x)=ex-f'(1)x,则 (　　) A.f(1)=- B.f'(1)=- C.f(2)=e2-e D.f'(2)=e2-e 解析:因为f(x)=ex-f'(1)x,所以f'(x)=ex-f'(1),则f'(1)=e-f'(1), 所以f'(1)=,则f(x)=ex-x,所以f(1)=,f'(2)=e2-,f(2)=e2-e.故选C. √ 3.[多选]下列求导运算正确的是 (　　) A.(e3x)'=3ex B.'=x C.(2sin x-3)'=2cos x D.'= 解析: (e3x)'=e3x·(3x)'=3e3x,A错误; '===,B错误; (2sin x-3)'=2cos x,C正确; '=·'=·=,D正确. √ √ 易错提醒:利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 4.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导数,记f″(x)=(f'(x))'.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是(　　) A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=ln x-2x C.f(x)=-x3+2x-1 　 D.f(x)=-xe-x 解析:f(x)=sin x+cos x,f'(x)=cos x-sin x,f″(x)=-sin x-cos x,则f(x)在上恒有f″(x)<0,故A错误; f(x)=ln x-2x,f'(x)=-2,f″(x)=-,则f(x)在上恒有f″(x)<0,故B错误; f(x)=-x3+2x-1,f'(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x,则f(x)在上恒有f″(x)<0,故C错误; f(x)=-xe-x,f'(x)=-e-x+xe-x,f″(x)=(2-x)e-x,则f(x)在上恒有f″(x)>0,故D正确. √ 思维建模 导数运算的3个关键点 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元. 题点二　导数的几何意义 考法(一)　求切线方程 [例1] (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线 与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 解析:f'(x)=,则f'(0)=3,即曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1), ,所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=,故选A. √ (2)(2025·贵阳模拟)过点P(1,-3)作曲线y=2x3-3x的切线,切线的方程为　　 　　. 解析:设切点为(a,2a3-3a),因为y=f(x)=2x3-3x,则f'(x)=6x2-3, 所以切线的斜率k=f'(a)=6a2-3,故切线方程为y-(2a3-3a)=(6a2-3)(x-a).因为切线过点P(1,-3),所以-3-(2a3-3a)=(6a2-3)(1-a),解得a=0或a=,则切点坐标为(0,0)或,故切线方程为3x+y=0或21x-2y-27=0. 3x+y=0或21x-2y-27=0 思维建模 求切线方程的策略 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据斜率相等,切点在切线上,切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键. 考法(二)　求参数的值或范围 [例2] (1)已知二次函数y=ax(x-b)(b≠0且b≠1)的图象与曲线y=ln x交于点P,与x轴交于点A(异于原点O),若曲线y=ln x在点P处的切线为l,且l与AP垂直,则a的值为 ( 　) A.- B.-1 C.- D.-2 解析:易知A(b,0),设P(t,ln t),联立y=ln x与y=ax(x-b)可得ln x=ax(x-b), 故ln t=at(t-b),由y=ln x得y'=,所以kl=,kPA=.因为l⊥PA,所以kl·kPA==-1, (两直线垂直斜率之积等于-1) 即ln t=-t(t-b),又ln t=at(t-b),所以a=-1. √ (2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线, 则a的取值范围是　　　 　　　　　　. 解析:∵y=(x+a)ex,∴y'=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a),切线斜率k=(x0+1+a),切线方程为y-(x0+a)=(x0+1+a)(x-x0).∵切线过原点,∴-(x0+a)=(x0+1+a)(-x0),整理得+ax0-a=0.∵切线有两条,∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞). (-∞,-4)∪(0,+∞) 思维建模 由导数的几何意义求参数范围的方法 (1)利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围. (2)注意曲线上点的横坐标的取值范围. 即时训练 1.已知函数f(x)=1-2x-sin x,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为 (　 ) A.2x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.3x-y+1=0 D.3x+y-1=0 解析:因为f(x)=1-2x-sin x,所以f'(x)=-2-cos x,故f(0)=1,f'(0)=-3, 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-1=-3x,即3x+y-1=0. √ 2.若直线y=2x是曲线f(x)=x(e2x-a)的切线,则a= (　　) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析:由f(x)=x(e2x-a),得f'(x)=(1+2x)e2x-a,依题意,直线y=2x 是曲线f(x)=x(e2x-a)的切线,设切点为(t,2t),则 即通过对比系数可得(1+2t)t=t,2t2=0,t=0, 则a=-1. √ 3.若函数f(x)=x-+aln x存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围为　　 　　. 解析:f'(x)=1++(x>0),依题意得f'(x)=1++=0有解,即-a=x+有解, ∵x>0,∴x+≥2,当且仅当x=1时取等号,∴-a≥2,即a≤-2. (-∞,-2] 谨记结论:f'(x0)>0,切线与x轴正向夹角为锐角;f'(x0)<0,切线与x轴正向夹角为钝角;f'(x0)=0,切线与x轴平行. 题点三　公切线问题 [例3]　已知函数f(x)=exln x与偶函数g(x)在交点(1,g(1))处的切线相同, 则函数g(x)在x=-1处的切线方程为 (　　) A.ex-y+e=0 B.ex+y-e=0 C.ex-y-e=0 D.ex+y+e=0 解析:由函数f(x)=exln x,得f'(x)=exln x+,所以f'(1)=e且f(1)=0,因为函数f(x)与偶函数g(x)在交点(1,g(1))处的切线相同,所以函数f(x)与g(x)相切于(1,0),且g'(1)=f'(1)=e,又因为g(x)为偶函数,所以g(-1)=g(1)=0,且g'(-1)=-g'(1)=-e,所以函数g(x)在x=-1处的切线方程为y-0=-e(x+1),即ex+y+e=0. √ [例4]　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　 . 解析:由y=ex+x,得y'=ex+1,y'|x=0=e0+1=2, 故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a,得y'=, 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a), 由两曲线有公切线得y'==2,解得x0=-,则切点为,切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2, 根据两切线重合,所以a-ln 2=0,解得a=ln 2. ln 2 思维建模 求解公切线问题的策略 (1)两曲线y=f(x),y=g(x)在公共点(a,b)处有相同的切线,则满足方程组解此方程组可得a,进而得b后得出切线方程. (2)求与曲线y=f(x),y=g(x)切点不同的公切线,分别设出切点坐标(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),满足方程组f'(x1)=g'(x2)=,据此解得x1或者x2,即可求得公切线方程. 即时训练 4.若直线l是曲线y=ex-1与y=ex-1的公切线,则直线l的方程为 (　　) A.y=x-1 B.y=x C.y=x+1 D.y=ex 解析:由y=ex-1,得y'=ex-1,由y=ex-1,得y'=ex.设直线l与曲线y=ex-1 切于点(x1,),与曲线y=ex-1切于点(x2,-1),则= ①, 又= ②, 由方程①②解得x1=1,x2=0,所以直线l过点(1,1),斜率为1,即l的 方程为y=x. √ 5.已知f(x)=x3+nx-52,g(x)=x2-3ln x,若直线x+y+m=0是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线,则m-n= (　　) A.-30 B.-25 C.26 D.28 解析:设直线x+y+m=0与曲线y=f(x)相切于点(a,-a-m),与曲线y=g(x)相切于点(b,-b-m),b>0.由g(x)=x2-3ln x知g'(x)=2x-.又两曲线的公切线斜率为-1,则2b-=-1,解得b=1或b=-(舍去).所以1-3ln 1=-1-m,解得m=-2.由f(x)=x3+nx-52知f'(x)=3x2+n.又两曲线的公切线斜率为-1,则3a2+n=-1,即n=-3a2-1,故a3-(3a2+1)a-52= -a+2,整理得a3=-27,故a=-3,所以n=-3a2-1=-28,故m-n=26. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 √ 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 一、单选题 1.设f(x)为R上的可导函数,且f'(1)=1,则=(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析:因为f'(1)==1,所以=-2.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 2.如图,已知函数f(x)的图象在点P(2,f(2))处的切线为直线l,则f(2)+f'(2)= (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.1 解析:由导数的几何意义可得,切线l的斜率为f'(2)==-1, 则直线l的方程为y=-x+4.又因为点P(2,f(2))在直线l上, 所以f(2)=-2+4=2,因此f(2)+f'(2)=2-1=1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 3.(2025·厦门一模)已知f(x)=ln(-2x),则f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率为 (　　) A.- B.- C.- D. 解析:因为f(x)=ln(-2x),所以f'(x)=·(-2x)'=,所以函数f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率为k=f'(x0)=. √ 易错提醒:选择中间变量是复合函数求导的关键.求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数. 易错提醒:选择中间变量是复合函数求导的关键.求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数. 41 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 4.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (　　) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 解析:因为y'=aex+ln x+1,所以k=y'|x=1=ae+1,所以曲线在点(1,ae)处的 切线方程为y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1.所以解得 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 5.(2025·西安模拟)函数f(x)=x-aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围是 (　　) A.(1,6) B.(1,3) C.(3,4) D.(4,6) 解析:设切点横坐标为x0,所作切线斜率为k,则k=f'(x0)=1-,当a≤0时, k=1->0,故不存在k1k2=-1;当a>0时,满足所以3<a<4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 6.(2025·成都模拟)过点(2,0)可作曲线f(x)=x3-3x-2的切线条数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.0 解析:由f(x)=x3-3x-2,得f'(x)=3x2-3.当点(2,0)是切点时,此时切线的 斜率为f'(2)=3×22-3=9,此时有一条切线;当点(2,0)不是切点时,设切点为(x0,y0),则切线的斜率为f'(x0)=3-3,切线方程为y-(-3x0-2)=(3-3) (x-x0),由切线过点(2,0),于是有0-(-3x0-2)=(3-3)(2-x0)⇒-3+4= 0⇒+1-3+3=0⇒(x0+1)(-x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0⇒(x0+1)· =0⇒x0=-1或x0=2(舍去),综上所述,过点(2,0)可作曲线f(x)=x3-3x-2的 切线条数为2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 习得方略:“过点型”切线条数的判断方法 (1)有几个切点横坐标,就有几条切线. (2)切线条数判断,转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断. 7.已知函数f(x)=ln x与g(x)的图象关于直线y=x对称,直线l与g(x),h(x)=ex+1-1的图象均相切,则l的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析:因为函数f(x)=ln x与g(x)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)=ln x与g(x)互为反函数, 所以g(x)=ex, 得到g(x)的关键是熟练掌握基本初等函数y=ln x,y=ex的图象与性质 则g'(x)=ex.由h(x)=ex+1-1,得h'(x)=ex+1,设直线l与函数g(x)=ex的图象的切点坐标为(x1,),与函数h(x)=ex+1-1的图象的切点坐标为(x2,-1),则直线l的斜率k==, 故x1=x2+1, 结合函数y=ex的单调性可得x1=x2+1 显然x1≠x2,故k===1, 利用两点间斜率公式直接代入计算 所以直线l的倾斜角为,故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 8.直线y=kx+b与函数y=ex-1和y=ex-2的图象都相切,则b= (　　) A.2 B.ln 2 C.1+ln 2 D.-2ln 2 解析:设两个切点分别为P1(x1,),P2(x2,-2),(ex-1)'=ex-1, (ex-2)'=ex.曲线y=ex-1在点P1处的切线方程为y-=(x-x1), 整理得y=x+(1-x1),曲线y=ex-2在点P2处的切线方程为 y-(-2)=(x-x2),整理得y=x+(1-x2)-2.因为直线y=kx+b 是两函数图象的公切线,所以 由①可得x1-1=x2,代入②得-x2=(1-x2)-2,整理得=2, 所以x2=ln 2,代入②得b=(1-ln 2)eln 2-2=-2ln 2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 9.已知函数f(x)=若直线y=x+m与函数y=f(x)的图象有且只有一个公共点,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,1]∪(2,+∞) 　 B.(-∞,1)∪[2,+∞) C.(-∞,0]∪(2,+∞) 　 D.(-∞,0)∪[2,+∞) 解析:当x≤0时,函数f(x)=ex,则f'(x)=ex,令f'(x)= ex=1,解得x=0,故直线y=x+m与f(x)=ex相切,即m=1. 当x>0时,函数f(x)=2,则f'(x)=(x+1,令f'(x)= =1,解得x=0,故直线y=x+m与f(x)=2相切,即m=2.如图所示,当m<1或m≥2时,直线y=x+m与分段函数f(x)有且仅有一个公共点.故实数m的取值范围为(-∞,1)∪[2,+∞). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 二、多选题 10.下列函数的求导运算正确的是(　　) A.'= B.(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2 C.'=- D.'=2sin 解析:对于A,'==,A错误; 对于B,(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2,B正确; 对于C,'='=-,C正确; 对于D,'=2sin·cos·2=2sin,D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 11.已知函数f(x)的部分图象如图所示, f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是 (　　) A.f'(3)<0 B.f'(-1)>0 C.f(-1)-f'(-1)>0 D.f(3)-3f'(3)<0 解析:由f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0,即f'(3)<0,故A正确; f'(-1)表示f(x)的图象在点A处的切线斜率,故f'(-1)<0,故B错误;由题图可知f(-1)>0,f'(-1)<0,故f(-1)-f'(-1)>0,故C正确;直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率,即<f'(3),所以f(3)-3f'(3)<0,D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 12.若直线y=x+b(b∈R)是曲线y=f(x)的切线,则曲线y=f(x)的方程可以是(　　) A.f(x)=x3+2x2+8 B.f(x)=tan x C.f(x)= D.f(x)=ln 解析:因为直线y=x+b(b∈R)是曲线y=f(x)的切线,所以y=f(x)在某点处的导数值为.由f(x)=x3+2x2+8,得f'(x)=3x2+4x,令f'(x)=3x2+4x=,即6x2+8x-1=0,因为Δ=82-4×6× (-1)>0,所以f'(x)=有解,故A正确.由f(x)=tan x,得f'(x)=,令f'(x)==,可得cos2x=2,无解,故B不正确.由f(x)=,得f'(x)=>0,故f'(x)=有解,故C正确.f(x)=ln的定义域为,令f'(x)=-=,可得x=-,不符合x>-,所以f'(x)=无解,故D不正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 13.已知直线l与曲线y=ex和y=x2+6x+9都相切,切点分别为A(x1,y1), B(x2,y2),则 (　　) A.x2-2x1=1 B.x2-2x1=0 C.满足条件的直线l有2条 D.满足条件的直线l只有1条 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析:由题可知直线l与曲线y=ex相切于点A(x1,y1),又y'=ex,所以直线l的 斜率k=,则在点A处的切线方程为y-=(x-x1),即y=x+(1-x1), 直线l与曲线y=x2+6x+9=(x+3)2相切于点B(x2,y2),y'=2(x+3),则在点B处的切线方程为y-(x2+3)2=2(x2+3)(x-x2),即y=2(x2+3)x+9-.因为直线l与两条曲线都相切,所以两条切线相同,则=2(x2+3)>0且(1-x1)=9-,则(1-x1)× 2(x2+3)=9-=(3-x2)(3+x2),可得2(1-x1)=3-x2, 解得x2-2x1=1,故A正确,B错误;把x2=1+2x1 代入=2(x2+3),得=4x1+8,在同一坐标系中,作出函数y=ex,y=4x+8的图象,如图所示,由图象知,x1的值有两个,故C正确,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 三、填空题 14.曲线f(x)=3ln x-x2f'(1)在点(1,m)处的切线方程为　　　 　. 解析:由f(x)=3ln x-x2f'(1),求导得f'(x)=-2xf'(1),则f'(1)=3-2f'(1), 解得f'(1)=1,于是f(x)=3ln x-x2,m=f(1)=-1,所以所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0. x-y-2=0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 15.过点(0,0)作曲线y=ax(a>0且a≠1)的切线,则切点的纵坐标为　　　　. 解析:设切点的坐标为(t,at),由y=ax,得y'=axln a,所以y'|x=t=atln a,所以过切点的切线方程为y-at=atln a(x-t),把(0,0)代入得,0-at=atln a(0-t),即1=tln a,所以t=,则切点坐标为,即,即,所以切点的纵坐标为e. e 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 16.已知曲线C1:f(x)=ex+a和曲线C2:g(x)=ln(x+b)+a2(a,b∈R),若存在斜率为1的直线与C1,C2同时相切,则b的取值范围为　　 　　. 快审准解:分别求出两函数的导函数,再分别设直线与两曲线的切点的横坐标,由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标,可得切线方程,再根据切线方程系数相等得a与b的关系式,再根据二次函数性质可求出b的取值范围. 解析:由题意得f'(x)=ex,g'(x)=,设斜率为1的切线在C1,C2上的切点横坐标分别为x1,x2,所以==1,则x1=0,x2=1-b,两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x,y-a2=x-(1-b),所以a+1=a2-1+b,即b=2+a-a2=-+≤,所以b的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 17.已知直线y=k1x与y=k2x(k1>k2)是曲线y=ax+2ln |x|(a∈R)的两条切线,则k1-k2=　　　. 解析:由已知得,曲线的切线过点(0,0),当x>0时,曲线为y=ax+2ln x,设x1>0,直线y=k1x在曲线上的切点为(x1,ax1+2ln x1),y'=a+,∴切线方程为y-(ax1+2ln x1)= (x-x1),又切线过点(0,0),∴-ax1-2ln x1=(-x1),∴x1=e,k1=a+;同理, 当x<0时,曲线为y=ax+2ln(-x),设x2<0,直线y=k2x在曲线上的切点为(x2,ax2+2ln(-x2)), y'=a+,∴切线方程为y-[ax2+2ln(-x2)]=(x-x2),又切线过点(0,0),∴-ax2- 2ln(-x2)=(-x2),∴x2=-e,k2=a-,∴k1-k2=. $$