第3章 第四节 函数的构造问题（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第四节 函数的构造问题 明确目标 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 目录 题点一　通过导数的运算法则构造函数 题点二　利用数学运算式中的相同点构造函数 课时跟踪检测 3 题点一　通过导数的运算法则构造函数 考法(一)　利用f(x)与xn构造函数 [例1]　已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),f(-1)=-1,其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为(　　) A.(-2 026,0) B.(-2 026,-2 025) C.(-∞,-2 026) D.(-∞,-2 025) 解析:根据题意可令g(x)=(x<0)⇒g'(x)=<0,所以g(x)= 在(-∞,0)上单调递减,则原不等式等价于<-1,由g(x+2 025)= <-1=g(-1)⇒0>x+2 025>-1,解得x∈(-2 026,-2 025). √ 思维建模 (1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x). (2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 考法(二)　利用f(x)与ex构造函数 [例2]　已知定义在R上的函数f(x),g(x)处处导数存在,f(1)=g(1), f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x),则下列情况一定成立的是(　　) A.f(2)+g(0)>f(0)+g(2) B.f(2)+g(0)<f(0)+g(2) C.f(2)·g(0)>f(0)·g(2) D.f(2)·g(0)<f(0)·g(2) 快审准解:利用构造函数法,结合导数来对选项进行分析,从而确定正确答案. √ 解析:f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x)⇔f'(x)-g'(x)>f(x)-g(x),令h(x)=,则h'(x)=,故h'(x)>0⇒h(x)单调递增,又h(1)=0, 所以h(2)>h(1)>h(0),即f(2)-g(2)>>0>f(0)-g(0),移项可得A正确, B错误;另外,f(2)>g(2),f(0)<g(0),由于f(x),g(x)与0的大小关系不确定, 故C、D无法判断.故选A. 思维建模 (1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x). (2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 考法(三)　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 [例3]　定义在上的函数f(x),已知f'(x)是它的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则有(　　) A.f>f B.f>f C.f>f D.f<f √ 解析:令g(x)=,x∈,则g'(x)=,因为cos xf'(x)+ sin xf(x)<0,所以g'(x)<0,则g(x)=在上单调递减,所以<<, 即<<,故f>f,f>f,故选C. 思维建模 (1)若F(x)=f(x)sin x,则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x; (2)若F(x)=,则F'(x)=; (3)若F(x)=f(x)cos x,则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x; (4)若F(x)=,则F'(x)=. 即时训练 1.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时, xf'(x)-f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为 (　　) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) √ 解析:设F(x)=,则F'(x)=,∵当x>0时,xf'(x)-f(x)<0, ∴当x>0时,F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.由于f(x)是奇函数,所以F(-x)===F(x),F(x)是偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.又f(1)=f(-1)=0,当x<-1或x>1时,F(x)=<0;当-1<x<0或0<x<1时, F(x)=>0,所以当-1<x<0或x>1时,f(x)<0.即不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(0)=0且f(x)+f'(x)>0, 则不等式f(x2+4x-5)>0的解集为 (　　) A.(-∞,-5)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(5,+∞) C.(-5,1) D.(-1,5) 解析:设g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,故g(x)单调递增.又g(0)= e0f(0)=0,故f(x2+4x-5)>0可转化为f(x2+4x-5)>0,即g(x2+4x-5)>g(0),由g(x)单调递增可得x2+4x-5>0,解得x<-5或x>1,即不等式f(x2+4x-5)>0的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞). √ 3.设f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f'(x),且当x∈(0,π)时, f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)<2fsin x的解集为　 　　. 解析:令g(x)=,x∈(-π,0)∪(0,π),则g'(x)=,∵当x∈(0,π)时, f'(x)sin x-f(x)cos x<0,∴在(0,π)上,g'(x)<0,∴函数g(x)在(0,π)内单调递减.∵y=f(x), y=sin x是奇函数,∴函数g(x)是偶函数,∴函数g(x)在(-π,0)内单调递增.当x∈(0,π)时, sin x>0,则不等式f(x)<2fsin x可化为<,即g(x)<g,∴<x<π;当x∈(-π,0)时, sin x<0,则不等式f(x)<2fsin x可化为>=,即g(x)>g,∴-<x<0. 综上可得,不等式的解集为∪. ∪ 题点二　利用数学运算式中的相同点构造函数 [例4]　已知a<5,且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则 (　　) A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 解析:三个等式可变形为=,=,=.∵ae5=5ea,a<5,∴a>0.同理b>0,c>0.构造函数f(x)=,x>0,则f'(x)=.当0<x<1时,f'(x)<0, f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(5)=f(a),而0<a<5,故0<a<1.同理,0<b<1,0<c<1,f(4)=f(b),f(3)=f(c).∵f(5)>f(4)>f(3),∴f(a)> f(b)>f(c),0<a<b<c<1. √ 思维建模 (1)若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解. (2)当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小. 即时训练 4.(2024·宜春三模)已知a=,b=,c=,其中e=2.718 28…为自然对数的底数,则(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 解析:由题意得a==,b==,c===.设f(x)=,则f'(x)=,当0<x<e时,f'(x)>0,所以f(x)单调递增,又0<<<2<e,所以f()<f()<f(2),即<<,所以b<a<c. √ 5.若对于0<x1<x2<a,都有x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2成立,则a的最大值为 (　 ) A. B.1 C.e D.2e 解析:∵x2 ln x1-x1ln x2≤x1-x2,∴-≤-,即≤. 又0<x1<x2<a,令φ(x)=,∴φ(x)在(0,a)上单调递增,φ'(x)=, 当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减,故a≤1,∴a的最大值为1. √ 课时跟踪检测 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,则下列不等式一定成立的是(　　) A.f>2f B.f<2f C.f>f(1) D.f<f(1) 解析:令F(x)=,x>0,则F'(x)=,因为当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立, 所以当x>0时,F'(x)=<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以F<F, 即<,即f<2f,A错误,B正确;F>F(1),即>,即2f>f(1),C、D错误. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1,且对任意的x满足f'(x)<f(x),则不等式f(x)>ex的解集是 (　　) A.(-∞,1) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 解析:令g(x)=,则g'(x)==<0,所以g(x)在R上单调递减,因为f(0)=1,所以g(0)=1,不等式f(x)>ex可变形为>1, 即g(x)>g(0),可得x<0,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(1)=1,且x2f'(x)+1>0,则下列式子一定成立的是 (　　) A.f>3 B.f>π C.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)<log3e 解析:因为当x>0时,x2f'(x)+1>0,可得f'(x)+>0,令g(x)=f(x)-,可得g'(x)= f'(x)+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0,对于A, 由g<g(1),即f-3<0,所以f<3,所以A不正确;对于B,由g<g(1),即f-π<0,所以f<π,所以B不正确;对于C,由g(log2e)>g(1),即f(log2e)-ln 2>0,所以f(log2e)>ln 2,所以C正确;对于D,由g(ln 3)>g(1),即f(ln 3)->0,所以f(ln 3)>log3e, 所以D不正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意的实数x都有=e2x,且x>0时,f'(x)>f(x).若a=,b=,c=3f,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 解析:令g(x)=,对于任意的实数x都有=e2x⇒=, 即g(-x)=g(x)⇒g(x)为偶函数.a=g(1),b=g(ln 2),c=g(-ln 3)=g(ln 3). 当x>0时,f'(x)>f(x),g'(x)=>0,g(x)单调递增.又ln 2<1<ln 3, ∴g(ln 3)>g(1)>g(ln 2),即c>a>b. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.若x∈,a=2x,b=sin x,c=x,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 解析:令f(x)=x-sin x,x∈(0,1),则f'(x)=1-cos x>0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即x>sin x在(0,1)上恒成立,则c>b在上恒成立,又当x∈时a=2x>20=1,c=x<1,所以a>c>b. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=2,则f(x)>x2+1的解集是 (　　) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1) 快审准解:利用抽象函数的导数,及时还原出原函数,构造所需形式解不等式即可. 解析:由题意知当x≥0时,f'(x)-2x>0,可知[f(x)-x2]'>0.令g(x)=f(x)-x2, 故g(x)在[0,+∞)单调递增,且g(1)=1.若求f(x)>x2+1的解集,即求g(x)>1的解集,即解g(x)>g(1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)也是偶函数,故|x|>1即可,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7.若<a<b<1,则(　　) A.ba<bb<aa<ab B.ba<aa<bb<ab C.ab<aa<bb<ba D.ab<bb<aa<ba 解析:因为y=ax在R上单调递减,且<a<b<1, 所以>aa>ab>a,因为y=bx在R上单调递减,且<a<b<1, 所以>ba>bb>b,令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1,因为<x<1, 所以f'(x)>0,所以f(x)在上单调递增,因为<a<b<1,所以f(a)<f(b), 所以aln a<bln b,所以ln aa<ln bb,所以aa<bb,所以ab<aa<bb<ba. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 8.设a=1+ln 1.03,b=,c=1.03,则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 解析:设g(x)=ln(x+1)-x(x>0),则g'(x)=-1=,当x>0时,g'(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)<g(0)=0,故ln(x+1)<x,所以ln 1.03< 0.03,所以1+ln 1.03<1+0.03,即a<c;因为e0.03>1,所以<1.03,即b<c;构造函数f(x)=1+ln(1+x)-,f'(x)=+,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.03)>f(0)=0,即a>b.故b<a<c. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均是(0,+∞),x=2是f(x)的唯一零点,且(x+1)f'(x)<f(x),则(　　) A.2 025f(2 023)>2 024f(2 024) B.f(1)>0 C.2 026f(2 024)<2 025f(2 025) D.f(3)>0 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:令F(x)=,则F'(x)=,由题意知(x+1)f'(x)<f(x), 所以F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以>,> ,故A正确,C错误.又x=2是f(x)的唯一零点,所以F(2)=0,又F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以F(1)=>0,F(3)=<0,即f(1)>0,f(3)<0, 故B正确,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 习得方略:对于比较复杂的式子要观察式子的特征,通过移项或乘除等手段,将相同的变量移到不等式的同一边,化异为同构造函数,然后对构造的函数求导,应用导数进行解答,同时要注意函数的定义域及变形的等价性. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 10.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)<xf'(x)<2f(x)-2x,则下列结论正确的是 (　　) A.f(1)<2f B.f(1)<f(2) C.f(1)<4f-2 D.f(1)>f(2)+1 解析:设g(x)=(x>0),则g'(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增, 由g(1)>g得f(1)>2f,故A错误;由g(1)<g(2)得f(1)<f(2),故B正确;设h(x)= (x>0),则h'(x)==<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,由h(1)<h得f(1)<4f-2,故C正确;由h(1)>h(2)得f(1)>f(2)+1,故D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(2)=1,则不等式f(x)>5-2x的解集为　　 　　. 解析:由题意,知f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立,构造函数g(x)= f(x)+2x-5,所以g'(x)=f'(x)+2≥2恒成立,所以g(x)在R上单调递增.又因为g(2)= f(2)+2×2-5=0,所以当x>2时,g(x)=f(x)+2x-5>g(2)=0,即f(x)>5-2x,所以f(x)>5- 2x的解集为(2,+∞). (2,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为　　　 　. 解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0, ∴F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1. ∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),∴x>0,∴原不等式的解集为(0,+∞). (0,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 13.使得不等式logab<logba和ba<ab均成立的一组a,b的值分别为　　 　　. 快审准解:取a>1,b>1,由ba<ab变形构造函数f(x)=,x>1,利用导数探讨函数的单调性,由此确定a,b的取值区间,并验证logab<logba成立即可. 解析:不妨取a>1,b>1,由ba<ab,得aln b<bln a⇔<.令函数f(x)=,x>1,求导得f'(x)=.当1<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0, 即函数f(x)在(1,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减,取a,b∈(1,e], 由f(b)<f(a),得1<b<a≤e,此时logab<logaa=1=logbb<logba,取a=e,b=2. e,2(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.(2024·东莞三模)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为　　　 　　. 解析:ln a=ln =ln 2,ln b=ln e=,ln c=ln π,令f(x)=(x>0),则f'(x)=,由f'(x)>0,得0<x<e,由f'(x)<0,得x>e.∴f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减.∴ln b=最大,而ln a-ln c=ln 2-ln π=ln 4-ln π<0,∴a<c,则a<c<b. a<c<b $$