第3章 第三节 导数与函数的极值、最值（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三节 导数与函数的极值、最值 明确目标 1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值. 2.掌握利用导数研究函数最值的方法.会用导数研究生活中的最优化问题. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.培优 创新发展 04.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.函数的极值 (1)极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧_________,右侧_________,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. f'(x)<0 f'(x)>0 (2)极大值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧__________,右侧___________,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极值、极值点 极小值点、极大值点统称为_______,极小值和极大值统称为______. f'(x)>0 f'(x)<0 极值点 极值 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的_______; ②将函数y=f(x)的各极值与__________________________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 连续不断 极值 端点处的函数值f(a),f(b) 解题结论拓展 (1)有极值的函数一定不具有单调性. (2)对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. (3)若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值. (4)若函数f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)一定在区间端点处取得最值. (5)若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A选必修②P92T1改编)若函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示, 则函数f(x)极值点的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析:设导函数f'(x)的图象与x轴的交点分别为x1,x2,x3,x4,x5,根据函数的极值的定义可知在该点处的左、右两侧的导数符号相反,可得x1,x4为函数f(x)的极大值点,x2,x5为函数f(x)的极小值点,所以函数f(x)极值点的个数为4. 2.(人A选必修②P91例5改编)函数f(x)=的极大值为(　　) A.-e B. C.1 D.0 3.(人B选必修③P100T3改编)已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则实数a的值为 (　　) A.2 B. C.-2 D.- 解析:由f'(x)=+2ax-3,得f'(2)=0,解得a=,经验证符合题意. √ √ 4.(苏教选必修①P230T7改编)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=　　　　. 解析:令f'(x)=3x2-12=0,解得x=±2. 因为f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8, f(3)=-1,所以M=24,m=-8,故M-m=32. 32 二、易错小题的警醒训练 1.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则常数c的值为　　　　.  解析:f'(x)=3x2-4cx+c2,由题意知,f'(2)=12-8c+c2=0,解得c=2或c=6.又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,故导数在x=2处左侧为负,右侧为正,而当c=6时,f(x)=x(x-6)2在x=2处有极大值,故c=2. (易错点:忽视验证参数是否符合题意) 2 2.函数f(x)=x3-x2-3x+6在[-4,4]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 解析:易知f'(x)=x2-2x-3,故当x<-1或x>3时,f'(x)>0,当-1<x<3时, f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)内单调递减,故f(x)的极大值为f(-1)=,极小值为f(3)=-3.又f(-4)=-,f(4)=-,故f(x)max=, f(x)min=-. (易错点:求函数最值时不要忽略对端点值的验证) 课堂·题点精研 02 题点一　函数的极值 考法(一)　根据图象判断函数的极值(点) [例1]　(多选)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是(　　) A.函数f(x)在(2,+∞)上单调递增 B.函数f(x)在(-2,1)内单调递增 C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) √ √ 解析:由题图可知当x>2时(1-x)f'(x)<0,所以f'(x)>0,当1<x<2时(1-x)f'(x)>0,所以f'(x)<0,当-2<x<1时(1-x)f'(x)<0,所以f'(x)<0,当x<-2时(1-x)f'(x)>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(1,2)内单调递减,在(-2,1)内单调递减,在(-∞,-2)上单调递增,故A正确,B错误;则f(x)在x=-2处取得极大值,x=2处取得极小值,即函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2),故C错误, D正确. 考法(二)　求已知函数的极值(点) [例2]　已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)当a=时,求函数f(x)的极值; 解:当a=时,f(x)=ln x-x,定义域为(0,+∞),且f'(x)=-=. 令f'(x)=0,得x=2, 于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 ln 2-1 单调递减 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值. (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 解:由(1)知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=(x>0). 当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点; 当a>0时,当x∈时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0, 故函数f(x)在x=处有极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点;当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为x=. 思维建模 求函数极值的一般步骤 (1)先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数. (2)求f'(x)=0的根. (3)判断f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点. (4)求出函数f(x)的极值. 考法(三)　根据函数的极值(点)求参数 [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 解析:函数f(x)=aln x++(a≠0)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以关于x的方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正实根x1,x2,则即所以故选BCD. √ √ √ |考|教|衔|接| 　 源自人教B版选择性必修③P101T3:设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,求a的取值范围,并求出函数的极值点. 两题均为由函数的极值求参数的范围,最终均转化为关于x的一元二次方程的实根问题,解答此类问题的关键是厘清导函数与原函数的关系. [例4]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; 解:当a=1时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1, ∵f(1)=e-2,f'(1)=e-1, ∴切点为(1,e-2),切线斜率k=e-1, ∴切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1. (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 解:由已知可得f'(x)=ex-a. ①若a≤0,则f'(x)恒大于0,即f(x)在R上单调递增,无极小值,不符合题意. ②若a>0,令f'(x)=0,解得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. ∴极小值为f(ln a)=a-aln a-a3. ∵极小值小于0,∴a-aln a-a3<0, ∴1-ln a-a2<0. 令h(x)=1-ln x-x2(x>0), 则h'(x)=--2x<0, ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减, ∵h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0. ∴a的取值范围是(1,+∞). 易错提醒:分类讨论时不要盲目以0为分类的分界点,要根据题目的具体情况,如本题中因为f'(x)=ex-a,而ex恒大于0,所以导数的正负与a的正负有关,所以分a≤0和a>0两种情况讨论. 思维建模 1.极值点是导函数f'(x)的变号零点,函数f(x)在区间(a,b)上存在极值点的充要条件是f'(x)=0在(a,b)上有解,且这个解是导函数f'(x)的变号零点,一般情况下可以转化为有解问题. 2.已知函数极值点或极值求参数的2个关键 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解 验证 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 即时训练 1.[多选]已知函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.-1是函数f(x)的极小值点 B.-4是函数f(x)的极小值点 C.函数f(x)在区间(-∞,-4)上单调递减 D.函数f(x)在区间(-4,-1)上先增后减 √ √ 解析:由f'(x)图象可知,f(x)在(-∞,-4)上单调递减,在(-4,+∞)上单调递增,所以-1不是极值点,A错误;-4是极小值点,B正确;由上分析知C正确,D错误. 解:根据题意,f(x)=,x∈R,则f'(x)=,若函数f(x)单调递增,等价于f'(x)≥0对任意x∈R恒成立, 则-ax2+2ax+1≥0,即ax2-2ax-1≤0, 当a=0时,-1<0,符合题意; 当a≠0时,可得解得-1≤a<0. 综上所述,a的取值范围为{a|-1≤a≤0}. 2.已知函数f(x)=. (1)若函数f(x)单调递增,求实数a的取值范围; 快审准解:先求函数的导函数再应用函数单调递增得出参数范围; (2)若函数g(x)=(f(x)+1)ex只有一个极值点,求实数a的取值范围. 快审准解:先求导函数再根据极值得出导数为0,转化为函数有一个交点,结合图象得出参数范围. 解:依题意,g(x)=(f(x)+1)ex=ax2-1+ex,则g'(x)= 2ax+ex只有一个变号零点,显然x=0不是g'(x)的零点,令h(x)=,则h'(x)=,可知函数h(x)在(-∞,0)和(0,1)分别单调递减,在(1,+∞)上单调递增,h(1)=e, 且当x→0+或x→+∞时,h(x)→+∞,当x→0-时,h(x) →-∞,当x→-∞时,h(x)→0,如图所示,可得-2a<0,即a>0,所以a的取值范围为(0,+∞). 题点二　函数的最值 [例5] (1)(2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　) A.-, B.-, C.-,+2 D.-,+2 √ 解析:f(x)=cos x+(x+1)sin x+1,x ∈[0,2π],则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x= (x+1)cos x.令f'(x)=0,解得x=-1(舍去),x=或x=.因为f=cos +sin + 1=2+,f=cos +sin +1=-,又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2, f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2,所以f(x)max=f=2+,f(x)min=f=-. (2)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.当a>0时,f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a的取值范围. 解:由题意f'(x)=2ax-(a+2)+=(x>0,a>0),当0<≤1,即a≥1时, f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=-2,符合题意. 当1<<e,即<a<1时,若x∈,则f'(x)<0,f(x)单调递减;若x∈, 则f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f <f(1)=-2,不符合题意.当≥e, 即0<a≤时,f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,f(x)单调递减,所以f(x)min=f(e)<f(1)=-2, 不符合题意. 综上所述,a的取值范围是[1,+∞). 思维建模 求函数f(x)在[a,b]上的最值的策略 (1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b),与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. (2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. 即时训练 3.小李准备向银行贷款x(0<x≤10)万元全部用于某产品的加工与销售,据测算每年利润y(单位:万元)与贷款x满足关系式y=ln x-x-+9,要使年利润最大,小李应向银行贷款(　　) A.3万元　　 B.4万元　　 C.5万元　　 D.6万元 解析:依题意,得y'=-1+==(0<x≤10),令y'>0, 得0<x<4,令y'<0,得4<x≤10,所以函数y=ln x-x-+9在(0,4)上单调递增,在(4,10)上单调递减,所以当x=4时,函数取得最大值. √ 习得方略 利用导数解决实际问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型, 写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导函数f'(x),解方程f'(x)=0. (3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题,结合实际问题作答. 4.函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是　　　 　. 解析:由于f'(x)=-x2+1, 易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增, 若函数f(x)在(a,10-a2)上有最大值, 则即-2≤a<1. [-2,1) 5.已知函数f(x)=-ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=, ①若a≤0,则f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②若a>0,则当x>a时,f'(x)<0; 当0<x<a时,f'(x)>0, 所以f(x)在(0,a)内单调递增,在(a,+∞)上单调递减. (2)求f(x)在上的最大值g(a). 解:f'(x)=, 当a≤时,f(x)在上单调递减, 所以f(x)max=f=2-ae; 当<a<e时,f(x)在上单调递增,在[a,e]上单调递减,所以f(x)max=f(a)=-ln a; 当a≥e时,f(x)在上单调递增, 所以f(x)max=f(e)=-, 综上,g(a)= 培优·创新发展 03 三次函数的图象与性质 设三次函数为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R且a≠0): 1.图象及单调性(三次函数要么无极值点,要么有两个,不可能只有一个!)   a>0(a<0与a>0情况相反) f(x) 图象 f'(x) 图象 Δ>0 Δ≤0 f(x) 性质 单调递增区间(-∞,x1),(x2,+∞),单调递减区间(x1,x2),f(x)有两个极值点,极大值f(x1),极小值f(x2) f'(x)≥0恒成立,f(x)在R 上单调递增,f(x)无极值点 续表 2.对称性 (1)三次函数是中心对称曲线,且对称中心是; (2)f'(x)=3ax2+2bx+c图象的对称轴为x=-,所以对称中心的横坐标也就是导函数图象的对称轴,可见,y=f(x)图象的对称中心在导函数y=f'(x)图象的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导函数为零的点; (3)若y=f(x)是可导函数,y=f(x)的图象关于点(m,n)对称,则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称; (4)若y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则y=f'(x)的图象关于点(m,0)对称; (5)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d图象的对称中心横坐标为x0,若f(x)存在两个极值点x1,x2,则有=-=f'(x0). 应用体验 1.[多选]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,则下列结论正确的是 (　　) A.若f'(x0)=0,则x0是f(x)的极值点 B.∃x0∈R,使得f(x0)=0 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减 D.函数y=f(x)的图象是中心对称图形 √ √ 解析:因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f'(x)=3x2+2ax+b,当Δ=4a2-12b=0时, f'(x)≥0,f'=0,则f(x)在R上单调递增,x0=-不是极值点,故A错误; 由选项A的分析知,函数f(x)的值域为R,所以∃x0∈R,使得f(x0)=0,故B正确; 由选项A的分析知,当Δ>0时,设f'(x)的零点为x1,x2,则f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,所以若x0为f(x)的极小值点,则f(x)在(-∞,x0)上先递增再递减,故C错误; f+f(x)=+a+b+c+x3+ax2+bx+c=a3-+2c,而f=+a+b+c=a3-+c,则f+ f(x)=2f,所以点为y=f(x)的对称中心,即函数y=f(x)的图象 是中心对称图形,故D正确.故选BD. 2.(2025·武汉模拟)[多选]设函数f(x)=x3-2x2+2x,则下列结论正确的是( 　) A.存在实数x0使得f(x0)=f'(x0) B.方程f(x)=3有唯一正实数解 C.方程f(x)=-1有唯一负实数解 D.f(x)=1有负实数解 √ √ √ 解析:因为f(x)=x3-2x2+2x,所以f'(x)=x2-4x+2.由x3-2x2+2x=x2-4x+2,得x3-7x2+12x-4=0,设h(x)=x3-7x2+12x-4,因为函数定义域为(-∞,+∞),且h(0)= -4<0,h(7)=80>0,可知方程h(x)=0一定有实数根,故A正确; 由f'(x)>0,得(x-2)·(3x-2)>0,即x<或x>2.所以函数f(x)在,(2,+∞)上单调递增,在内单调递减.且f=为极大值,f(2)=0为极小值.作出函数草图如图,观察图象可知,方程f(x)=3有唯一正实数解,f(x)=-1有唯一负实数解,故B、C正确;又f(0)=0,结合函数的单调性,当 x<0时,f(x)<0,所以f(x)=1无负实数解,故D错误. 数智赋能:电子版随堂训练(导数中的创新应用问题),根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 04 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 一、单选题 1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　) A.1 B. C.-3 D.(-3,8) 解析:f'(x)=x2+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1,所以函数f(x)=x3+x2-3x-1在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)内单调递减, 在(1,+∞)上单调递增,故f(x)在x=1处有极小值,极小值点为1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2024·承德二模)设a为实数,若函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值,则a=(　　) A.1　　 B.　　 C.0　　 D.-1 解析:由题可得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),令f'(x)=0,解得x=0或x=2a, 因为函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值,所以2a=1,即a=,当a=时, f'(x)=x(x-1),由f'(x)>0,得x<0或x>1,由f'(x)<0,得0<x<1,所以函数f(x)在(0,1)内单调递减,在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,满足题意. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 3.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示, 则+等于(　　) A. B. C. 　　 D. 解析:由题图可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是f(x)的极值点, ∴1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,∴f(x)=x3-3x2+2x,∴f'(x)=3x2-6x+2.∵x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,∴x1+x2=2,x1x2=,∴+= (x1+x2)2-2x1x2=4-2×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 4.已知函数f(x)=-x2+ax+1在[1,2]上的最大值也是其在[1,2]上的极大值,则a的取值范围是 (　　) A.[2,+∞) B.[4,+∞) C.[2,4] D.(2,4) 解析:f'(x)=a-2x,令f'(x)=0,得x=,x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x>时, f'(x)<0,f(x)单调递减,因此是f(x)的极大值点.由于只有一个极值点,因此其也是最大值点,由题意得∈(1,2),所以a∈(2,4). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5.函数结构是值得关注的对象.为了研究y=xx(x>0)的结构,两边取对数,可得ln y=ln xx,即ln y=xln x,两边取指数,得eln y=exln x,即y=exln x,这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料,y=xx(x>0)的最小值为 (　　) A.1 B.e C. D.e-e 解析:由y=xx(x>0),两边取对数,可得ln y=ln xx,即ln y=xln x,令g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=ln x+1,当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈时,g'(x)>0, g(x)单调递增,∴g(x)min=g=-,∴ln y≥-,y≥,y的最小值为.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 6.已知定义在(1,+∞)上的函数f(x)=ex-x2,若f(a)=f(eb),则取得最小值时a的值为(　　) A.4 B.2e C.e2 D.ee 快审准解:先判断f(x)的单调性,得到关于a,b的关系式,利用构造函数法,结合导数来求得取得最小值时a的值. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:依题意,f(x)=ex-x2,x>1,f'(x)=ex-2x,f'(1)=e-2>0,令g(x)=ex-2x(x>1), g'(x)=ex-2>e1-2>0, 所以在(1,+∞)上g'(x)>0,g(x)单调递增,所以在(1,+∞) 上f'(x)>0,f(x)单调递增,由于f(a)=f(eb),所以a=eb,b=ln a(a>1),ln a>0,所以= ==1-,设h(a)=1-(a>1),则h'(a)=-= ,令h'(a)=0,解得a=e2,则在区间(1,e2)上h'(a)<0,h(a)单调递减,在区间(e2,+∞)上h'(a)>0,h(a)单调递增,所以当a=e2时,h(a)取得最小值,也即取得最小值.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 规律结论:研究函数的单调性,可以考虑利用导数来求解,当一次求导无法解决时,可以考虑利用多次求导来进行研究.研究一个表达式的最值问题,可以利用构造函数法,然后利用导数来进行求解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 7.命题“∃x∈(0,+∞),使ax≤logax(a>0且a≠1)成立”是假命题,则实数a的取值范围是 (　　) A.(,+∞) B.(,+∞) C.(1,) D.(1,) 快审准解:根据题意,得到“∀x∈(0,+∞),都有ax>logax成立”为真命题,且a>1,利用y=ax与y=logax的图象关于y=x对称,转化为ax>x,即ln a>,令g(x)=,利用导数求得函数g(x)的单调性与最大值,即可求解. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:由命题“∃x∈(0,+∞),使ax≤logax成立”是假命题,可得命题“∀x∈(0,+∞),都有ax>logax成立”为真命题,显然a>1,如图所示,因为y=ax与y=logax的图象关于y=x对称,可转化为ax>x,两边取以e为底的对数,可得xln a>ln x,所以ln a>, 令g(x)=,x>0,可得g'(x)=,当x∈(0,e),g'(x)>0, g(x)单调递增;当x∈(e,+∞),g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e)=,所以ln a>,解得a>.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 二、多选题 8.已知函数y=f(x)的导函数为y=g(x),且g(x)=x3-3x+2,则下列结论正确的是(　　) A.点(0,2)是曲线y=g(x)的对称中心 B.函数g(x)有三个零点 C.函数f(x)只有一个极值点 D.当x+1>0时,f(ex)≥f(x+1) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:因为y=x3-3x是奇函数,图象关于点(0,0)对称,所以g(x)=x3-3x+2的图象关于点(0,2)对称,故A正确;因为g'(x)=3x2-3,由g'(x)>0,解得x<-1或x>1.由g'(x)<0,解得-1<x<1,所以g(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,且g(-1)=4,g(1)=0,g(-2)=0,所以g(x)有两个零点,故B错误;因为f'(x)=g(x),所以f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(-2,+∞)上单调递增,即f(x)只有一个极值点,故C正确;设h(x)=ex-(x+1),则h'(x)=ex-1,由h'(x)>0,解得x>0,由h'(x)<0,解得x<0,所以h(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,h(x)≥h(0)=0,所以ex≥x+1.因为f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增,所以由ex≥x+1>0>-2,得f(ex)≥f(x+1),故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 9.已知函数f(x)=xln x+ax在x=1处的切线方程为y=x+b,则下列说法正确的有 (　 ) A.a+b=1 B.f(x)在区间上的最大值和最小值之和为e- C.为f(x)的极小值点 D.方程f(x)=e有两个不同的根(e为自然对数的底数) 解析:对于A,由题意可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x+1+a, 则解得所以a+b=-1,故A错误; 对于C,因为f(x)=xln x,f'(x)=ln x+1,令f'(x)<0,解得0<x<;令f'(x)>0,解得x>,可知f(x) 在区间上单调递减,在区间上单调递增,则为f(x)的极小值点,故C正确; √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 对于B,若x∈,则f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,可知f(x)的最小值f=-,且f=ln<0,f(e)=e>f,即f(x)的最大值f(e)=e, 所以f(x)在区间上的最大值和最小值之和为e-,故B正确; 对于D,令f(x)=xln x=e,整理可得ln x-=0,令g(x)=ln x-,x>0,因为函数 y=ln x与y=-在区间(0,+∞)上均单调递增,则g(x)在区间(0,+∞)上单调递增, 且g(e)=0,所以g(x)有且仅有一个零点e,即方程f(x)=e有一个根e,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 10.(2024·杭州三模)已知函数f(x)=(x+1)ex,则下列结论正确的是 ( 　) A.f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为- C.方程f(x)=2的解有2个 D.导函数f'(x)的极值点为-3 快审准解:利用导数判断单调性,求解最值判断A、B,将方程解的问题转化为函数零点问题判断C,对f'(x)构造函数再次求导,判断极值点即可. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:由f(x)=(x+1)ex,得f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)<0,x∈(-∞,-2),令f'(x)>0, x∈(-2,+∞),故f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值为f(-2)=-,故A、B正确;若讨论方程f(x)=2的解,即讨论g(x)=(x+1) ex-2的零点,易知g(-2)=--2<0,g(1)=2e-2>0,故g(1)·g(-2)<0,故由函数零点存在定理得到存在x0∈(-2,1)作为g(x)的一个零点,而当x→-∞时,g(x)→-2,显然g(x)在(-∞,-2)上无零点,故g(x)=(x+1)ex-2只有一个零点,即f(x)=2只有一个解,故C错误;令h(x)=f'(x)=(x+2)ex,故h'(x)=(x+3)ex,令h'(x)=0,解得x=-3,而h'(0)>0,h'(-4)<0,故x=-3是h'(x)的变号零点,即x=-3是h(x)的极值点,故得导函数f'(x)的极值点为-3,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 三、填空题 11.若函数f(x)=ex-ax2-a存在两个极值点x1,x2,且x2=2x1,则a=　 　. 解析:因为f(x)=ex-ax2-a,定义域为R,所以f'(x)=ex-2ax,故-2ax1= 0,-2ax2=0.又x2=2x1,所以-4ax1=0.又>0,故=2,所以x1=ln 2,所以a==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 12.(2025·南阳一模)已知函数f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3在区间(1,2)上有最小值,则整数a的一个取值可以是　　 　　. 快审准解:将问题“f(x)在区间(1,2)上有最小值”转化为f'(x)在(1,2)上有变号 零点且在零点两侧的函数值左负右正,结合二次函数零点分布求解即可. 解析:由f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3可知,f'(x)=6x-+a-1=,又f(x)= 3x2-2ln x+(a-1)x+3在(1,2)上有最小值,所以f'(x)在(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正,令h(x)=6x2+(a-1)x-2,则h(x)在(1,2)上有变号零点 且在零点两侧的函数值左负右正,所以 解得-10<a<-3,又因为a∈Z,所以a∈{a∈Z|-10<a<-3}. -4(答案不唯一,a∈{a∈Z|-10<a<-3}中的任意整数均可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 四、解答题 13.(2024·张掖三模)已知函数f(x)=-ln x-图象在x=2处的切线斜率为. (1)求a; 解:因为f'(x)=-+=-=, 由已知f'(2)=,即=,解得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (2)求函数f(x)的单调区间和极大值. 解:由(1)知a=2,则f'(x)==0,解得x=1或x=2-ln 2, 当0<x<1时,x-1<0,2ex-2-1<0,则f'(x)>0; 当1<x<2-ln 2时,x-1>0,2ex-2-1<0,则f'(x)<0; 当x>2-ln 2时,x-1>0,2ex-2-1>0,则f'(x)>0, 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2-ln 2,+∞),单调递减区间为(1,2-ln 2), 函数f(x)的极大值为f(1)=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 14.已知函数f(x)=exsin x. (1)求函数f(x)在[0,2π]内的极值点; 解:由f(x)=exsin x,得f'(x)=ex(sin x+cos x)=exsin. 令f'(x)=0,解得x+=kπ,k∈Z, 即x=kπ-,k∈Z. 又x∈[0,2π],所以x1=,x2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 f'(x),f(x)随x变化而变化的情况如下表所示: x f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)在[0,2π]内的极大值点为,极小值点为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (2)求函数g(x)=f(x)-x在上的最值. 解:由题知g(x)=f(x)-x=exsin x-x. 则g'(x)=ex(sin x+cos x)-1, 记h(x)=g'(x)=ex(sin x+cos x)-1, 则h'(x)=ex(sin x+cos x+cos x-sin x)=2excos x. 因为x∈,所以cos x≥0. 又ex>0,所以h'(x)=2excos x≥0,且h'(x)不恒等于0,所以函数h(x)单调递增. 又h(0)=e0(sin 0+cos 0)-1=0, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 所以当x∈时,h(x)<0,即g'(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x∈时,h(x)>0,即g'(x)>0,函数g(x)单调递增. 因为g(0)=e0sin 0-0=0, g=sin-=-, g=sin-=-, 显然->-, 所以函数g(x)在上的最小值为g(0)=0,最大值为g=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 15.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=aln x+-x. (1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程; 解:当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,其中x>0, 则f'(x)=+-1=,令f'(x)=2⇒=2, 化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1(舍负),又此时f(1)=-3,则切线过点(1,-3),结合切线斜率为2, 则切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围. 解:由题可得f(x)定义域为(0,+∞), f'(x)=--1=, 由x=1是f(x)的极小值点,则f'(1)=-1+a-b=0⇒a=b+1, 则f'(x)==-. 若b≤0,令f'(x)>0⇒x∈(0,1),令f'(x)<0⇒x∈(1,+∞), 则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 若0<b<1,令f'(x)>0⇒x∈(b,1),令f'(x)<0⇒x∈(0,b)∪(1,+∞), 则f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减, 得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意; 若b=1,则f'(x)=-≤0, f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值,不满足题意; 若b>1,令f'(x)>0⇒x∈(1,b),令f'(x)<0⇒x∈(0,1)∪(b,+∞), 则f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减, 得x=1是f(x)的极小值点,满足题意. 综上,x=1是f(x)的极小值点时,b>1,即b的取值范围为(1,+∞). $$