第3章 第二节 导数与函数的单调性（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二节 导数与函数的单调性 明确目标 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用函数的单调性判断大小,求参数的取值范围等简单应用. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.函数单调性与导数的关系 设函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)是f(x)的导函数,则 f'(x)>0 f(x)在(a,b)内___________ f'(x)<0 f(x)在(a,b)内__________ f'(x)=0 f(x)在(a,b)内为常数函数 单调递增 单调递减 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数f(x)的_________; 第2步,求出导数f'(x)的_______; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 3.充分、必要条件与导数及函数单调性的关系 (1)f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件. (2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件. (3)若f'(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(或递减)的充要条件. 零点 定义域 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A选必修②P86例2改编)[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列判断正确的是(　　) A.在区间(-2,1)内f(x)单调递增 B.在区间(2,3)内f(x)单调递减 C.在区间(4,5)内f(x)单调递增 D.在区间(3,5)内f(x)单调递减 √ √ 2.(人A选必修②P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0,π)内 (　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析:∵当x∈(0,π)时,f'(x)=-sin x-1<0,∴f(x)在(0,π)内单调递减. 3.(人A选必修②P97T2(4)改编)函数f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为　 　　　　　　　　. 解析:令f'(x)=3x2+2x-1>0,解得x>或x<-1,所以f(x)=x3+x2-x的 单调递增区间为(-∞,-1)和. √ (-∞,-1), 二、易错小题的警醒训练 1.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为(　　) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-1,1) 解析:易知f(x)的定义域是(0,+∞),且f'(x)=-1=,令f'(x)>0,得0<x<1,故f(x)的单调递增区间为(0,1). (易错点:求单调区间忽视定义域) √ 2.若y=x+(a>0)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  解析:由y'=1-≥0,得x≤-a或x≥a,所以y=x+的单调递增区间为(-∞,-a],[a,+∞).因为函数在[2,+∞)上单调递增,所以[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2.又a>0,所以0<a≤2. (易错点:求参数范围忽视等号是否可取) (0,2] 课堂·题点精研 02 题点一　函数的单调性 [例1]　若函数f(x)=-2ln x+x+,则f(x)的单调递减区间为(　　) A.(0,+∞) B.(0,3) C.(-1,3) D.(3,+∞) 解析:由函数f(x)=-2ln x+x+,可得其定义域为(0,+∞), 且f'(x)=-+1-==,x>0,令f'(x)=0,可得x=3, 当x∈(0,3)时,f'(x)<0,f(x)在(0,3)内单调递减; 当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(3,+∞)上单调递增. √ [例2]　已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x,讨论f(x)的单调性. 解:由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+(2a+1)=. 当a≥0时,2ax+1>0,x+1>0,∴f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f'(x)=0,解得x=-, ∴当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0. ∴f(x)在内单调递增,在上单调递减. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在内单调递增, 在上单调递减. 特别提醒:解计算大题时,分类讨论后的综述千万不能漏写,否则容易丢失1分的步骤分. 思维建模 判断含参函数单调性的策略 研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点: (1)最高次项系数是否为0; (2)导函数是否有零点; (3)导函数两零点的大小关系; (4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等. 即时训练 1.已知函数f(x)=xsin x+cos x,x∈[0,2π],则f(x)的单调递减区间为 (　 ) A. B. C.(π,2π) D. 解析:由题意f(x)=xsin x+cos x,x∈[0,2π],则f'(x)=xcos x, 当x∈∪时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0, 故f(x)的单调递减区间为. √ 2.讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性. 解:由题意知f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-2x+a,令f'(x)=0,Δ=(-2)2-4×3×a=4(1-3a). ①当a≥时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增; ②当a<时,令f'(x)=0,即3x2-2x+a=0, 解得x1=,x2=, 令f'(x)>0,得x<x1或x>x2; 令f'(x)<0,得x1<x<x2, 所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)内单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. 综上,当a≥时,f(x)在R上单调递增; 当a<时,f(x)在,上单调递增,在内单调递减. 题点二　函数单调性的应用 考法(一)　比较大小或解不等式 [例3] (1)设0<x<1,已知a=x++1,b=ex,c=sin x+1,则(　　) A.c>b>a　 　 B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b √ 解析:设f(x)=x++1-ex(0<x<1),则f'(x)=1--ex,当0<x<1时,1--ex<0, 所以f(x)在(0,1)内单调递减,所以f(x)>f(1)=3-e>0,所以x++1>ex,即a>b; 设g(x)=ex-sin x-1(0<x<1),则g'(x)=ex-cos x,当0<x<1时,ex>1,0<cos x<1, 所以g'(x)>0,g(x)在(0,1)内单调递增,所以g(x)>g(0)=0,所以ex>sin x+1, 即b>c.综上可知a>b>c. (2)已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是 (　　) A.(0,1) B.(0,1)∪(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(0,1)∪(2,+∞) 解析:函数f(x)=log2x-x+1的定义域是(0,+∞),f'(x)=-1=,令f'(x)=0,解得x=>1,所以f(x)在区间内f'(x)>0,f(x)单调递增,在区间上f'(x)<0,f(x)单调递减,而f(1)=0,1<<=2,f(2)=0,故要使f(x)<0,则需0<x<1或x>2.综上所述,不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2,+∞). √ 思维建模 利用单调性比较大小或解不等式,关键是判断函数的单调性,利用函数的单调性比较大小或解不等式. 考法(二)　求参数的取值范围 [例4]　已知函数f(x)=x2+2aln x-2x(a∈R). (1)若函数f(x)在区间(1,2)内单调递增,则a的取值范围为　 　　　; 解析:∵f(x)=x2+2aln x-2x,则f'(x)=x+-2,若函数f(x)在区间(1,2)内单调递增,等价于对∀x∈(1,2),f'(x)=x+-2≥0恒成立,可得x2-2x≥-2a对∀x∈(1,2)恒成立,构造g(x)=x2-2x,可知g(x)开口向上,对称轴x=1, ∴g(x)>g(1)=-1,故-1≥-2a,解得a≥,则a的取值范围为. (2)若函数f(x)在区间(1,2)内存在单调递减区间,则a的取值范围为　　 　; 解析:由(1)可得f'(x)=x+-2,若函数f(x)在区间(1,2)内存在单调递减区间,等价于∃x∈(1,2), 使得f'(x)=x+-2<0成立, 可转化为导函数在区间上小于零有解 可得∃x∈(1,2),使得x2-2x<-2a成立,构造φ(x)=x2-2x,可知φ(x)开口向上,对称轴x=1,∴φ(x)>φ(1)=-1,故-1<-2a,解得a<,则a的取值范围为. (3)若函数f(x)在区间(1,2)内不具有单调性,则a的取值范围为　 　　. 解析:由(1)可得f'(x)=x+-2,若函数f(x)在区间(1,2)内不具有单调性, 可理解为函数在给定的区间上既有单调递增区间也有单调递减区间 等价于∃x∈(1,2),使得f'(x)=x+-2=0, 可转化为导函数在区间内存在变号零点 可得∃x∈(1,2),使得x2-2x=-2a成立,构造h(x)=x2-2x,可知h(x)开口向上,对称轴x=1,∴h(x)>h(1)=-1,h(x)<h(2)=0,故-1<-2a<0,解得0<a<,则a的取值范围为. 思维建模 (1)由可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)求参数的取值范围问题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对任意x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)当已知函数在某区间上不具有单调性时,则转化为关于导数的方程在该区间上有解. 即时训练 3.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+2,则不等式f(2x+4)≥2的解集是 (　　) A.{x|x>-2} B.{x|x≥-2} C.{x|x<-2} D.{x|x≤-2} 解析:由f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)单调递增,而且f(0)=2,由f(2x+4)≥2,得2x+4≥0, 解得x≥-2. √ 4.已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则 (　　) A.f>f(1)>f B.f(1)>f>f C.f>f(1)>f D.f>f>f(1) 解析:因为f(x)=xsin x,所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数.所以f=f. 又当x∈时,f'(x)=sin x+xcos x>0,所以函数f(x)在内单调递增,所以f<f(1)<f,即f>f(1)>f.故选A. √ 5.若f(x)=-x2+aln(x+2)在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　 　. 解析:由f(x)=-x2+aln(x+2)(x>-2),得f'(x)=-x+.因为f(x)=-x2+ aln(x+2)在[-1,+∞)上单调递减,所以f'(x)=-x+≤0在[-1,+∞)上恒成立,即-x(x+2)+a≤0,则a≤x(x+2)=(x+1)2-1,当x∈[-1,+∞)时,(x+1)2-1的最小值为-1,所以a≤-1. (-∞,-1] 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.函数f(x)=(x-1)ex的单调递减区间为(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 解析:∵f(x)=(x-1)ex,∴f'(x)=ex+(x-1)ex=xex,令f'(x)<0,即xex<0,解得x<0,∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0),故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能是 (　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:由f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,故x∈(-∞,0)时, f'(x)<0,故排除A、C;当x∈(0,+∞)时,函数f(x)的图象是先递增,再递减,最后再递增,所以f'(x)的值是先正,再负,最后是正,因此排除B.故选D. 习得方略:①由原函数图象识别导函数图象的依据:若f(x)单调递增, 则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在 x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0. ②由导函数图象识别原函数图象的依据:根据f'(x)>0,则f(x)单调递增, f'(x)<0,则f(x)单调递减. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由题意,f'(x)=3x2+a,f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0,即a≥-3x2在R上恒成立,故a≥0.所以“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则(　　) A.a∈(-∞,-3] B.a=-3 C.a=3 D.a∈(-∞,3] 解析:由题意得f'(x)=+2x+a<0(x>0)的解集为,所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,所以+1=-,解得a=-3.经检验满足题意. √ 易错提醒:混淆函数的单调区间与函数在区间上具有单调性. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex+sin x,则不等式f(2x-1)<eπ的解集是 (　　) A. B. C. D. 解析:当x≥0时,f'(x)=ex+cos x,因为ex≥1,cos x∈[-1,1],所以f'(x)=ex+ cos x≥0在[0,+∞)上恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,又因为f(x)是 定义在R上的偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(-π)=f(π)=eπ, 所以由f(2x-1)<eπ可得-π<2x-1<π,解得x∈. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.已知函数f(x)=在R上具有单调性, 则a的取值范围是(　　) A.[1,3) B.(1,3] C.[1,3] D.(1,3) 快审准解:利用导数分别求解x≤0和x>0时的单调性,再结合f(x)在R上单调递增,可得-a+4≥1,即可求解. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:由题意,函数f(x)在R上单调递增.当x≤0时,f(x)=ax+cos x,依题需使f'(x)=a-sin x≥0恒成立,则a≥1;当x>0时,由f(x)=x3+ax2-a+4在(0,+∞)上单调递增,需使f'(x)=x2+2ax≥0在(0,+∞)上恒成立,则x=-=-a≤0,即a≥0.又由f(x)在R上单调递增,可得-a+4≥1,解得a≤3. (补集思想的应用) 综上可得,a的取值范围是[1,3].故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7.(2025·广州模拟)已知直线y=kx+b恒在曲线y=ln(x+2)的上方,则的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B. C.(0,+∞) D. √ 解析:设直线y=kx+t与曲线切于点(x0,ln(x0+2)),则y'=, 所以切线方程为y=x+ln(x0+2)-,所以k=>0,t=ln(x0+2)-, 所以>=(x0+2)ln(x0+2)-(x0+2)+2.设g(x)=xln x-x+2,则g'(x)=ln x, 当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1)内单调递减, 在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=1,所以>1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 8.(2025·晋城一模)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0, 则该函数在D上纯粹递增,若一个函数在区间D上的导数值恒小于0,则该函数在D上纯粹递减,则(　　) A.函数f(x)=x2-2x在[1,+∞)上纯粹递增 B.函数f(x)=x3-2x在[1,2]上纯粹递增 C.函数f(x)=sin x-2x在[0,1]上纯粹递减 D.函数f(x)=ex-3x在[0,2]上纯粹递减 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:若f(x)=x2-2x,则f'(x)=2x-2,因为f'(1)=0,所以A错误. 若f(x)=x3-2x,则f'(x)=3x2-2,当x∈[1,2]时,f'(x)>0恒成立,所以B正确. 若f(x)=sin x-2x,则f'(x)=cos x-2<0,所以C正确. 若f(x)=ex-3x,则f'(x)=ex-3<0在[0,2]上不恒成立,所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 9.若函数f(x)满足f'(x)<f(x),则下列结论正确的是 (　　) A.f(3)<ef(2) B.ef(0)<f(1) C.e2f(-1)>f(1) D.ef(1)<f(2) 快审准解:构造函数g(x)=,求导得到g(x)单调递减,然后根据 单调性比较大小即可. 解析:令g(x)=,则g'(x)=<0,从而g(x)单调递减,则 >>>>,即ef(2)>f(3),e2f(-1)>f(1),ef(0)>f(1),ef(1)>f(2). √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 10.已知函数f(x)=x2-ex,则下列结论正确的是 (　　) A.f(f(0))= B.f(x)为减函数 C.f(log23)<f(2) D.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(2-e)x-1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:因为f(x)=x2-ex,所以f(0)=02-e0=-1,则f(-1)=(-1)2-e-1=1-=,故A正确;因为f'(x)=2x-ex,设g(x)=f'(x)=2x-ex,则g'(x)=2-ex,由g'(x)=2-ex=0得x=ln 2,当x∈(-∞,ln 2)时,g'(x)>0,f'(x)单调递增,当x∈(ln 2,+∞)时, g'(x)<0,f'(x)单调递减,所以f'(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2<0,所以f'(x)<0恒成立,所以f(x)为减函数,故B正确;因为log23<log24=2,函数f(x)是减函数,所以f(log23)>f(2),故C错误;由f'(1)=2-e,f(1)=1-e,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(1-e)=(2-e)(x-1),即y=(2-e)x-1,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 11.已知函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间是　　 　　. 解析:因为函数f(x)=(x≠0),于是f'(x)=,所以当x∈(-∞,0)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞). (1,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.若函数f(x)=1--ln x在区间[1-a,2-a]内单调递增,则a的取值范围是　　　　. 解析:由题意,可知f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-=,令f'(x)≥0,得0<x≤2,可知f(x)的单调递增区间为(0,2],若函数f(x)在区间[1-a,2-a]内 单调递增,依题意解得0≤a<1,所以a的取值范围是[0,1). [0,1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 四、解答题 13.已知函数f(x)=(x2+ax+1)ex(a∈R). (1)当a=-2时,求过点(1,0)且与f(x)图象相切的直线的方程; 解:当a=-2时,f(x)=(x2-2x+1)ex,所以f'(x)=(x2-1)ex. 设切点为(x0,y0),则y0=(-2x0+1),k=(-1),所以切线方程为y-(-2x0+1)=(-1)(x-x0),将(1,0)代入得x0=0,解得x0=0或x0=1, 故过(1,0)的切线方程为y=0或x+y-1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)讨论函数f(x)的单调性. 解:f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+1)ex=(x+a+1)(x+1)ex. ①当a=0时,f'(x)=(x+1)2ex,恒有f'(x)≥0,函数f(x)单调递增, ②当a>0时,-a-1<-1,当x∈(-∞,-a-1),或x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-a-1,-1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减, ③当a<0时,-a-1>-1,当x∈(-∞,-1),或x∈(-a-1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-1,-a-1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上,当a=0时,f(x)在R上单调递增, 当a>0时,f(x)在(-∞,-a-1),(-1,+∞)上单调递增,在(-a-1,-1)内单调递减, 当a<0时,f(x)在(-∞,-1),(-a-1,+∞)上单调递增,在(-1,-a-1)内单调递减. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.已知函数f(x)=aln x-ax-3. (1)求f(x)的单调区间; 解:f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞); 当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当a=0时,f(x)为常数函数,无单调区间. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)若y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·在区间(t,3)上不具有单调性,求实数m的取值范围. 解:由(1)及题意得f'(2)=-=1,即a=-2, ∴f(x)=-2ln x+2x-3,f'(x)=(x>0). ∴g(x)=x3+x2-2x,∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(t,3)上不具有单调性,即g'(x)在区间(t,3)上有变号零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 由于g'(0)=-2,∴当g'(t)<0时,即3t2+(m+4)t-2<0对任意t∈[1,2]恒成立,由于g'(0)<0,故只要g'(1)<0且g'(2)<0,即m<-5且m<-9,即m<-9,又g'(3)>0,即m>-,∴-<m<-9. 即实数m的取值范围是. $$