第2章 第一节 函数的概念及表示（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二章 函　数 第一节 函数的概念及表示 明确目标 1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 4 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.函数的概念 (1)一般地,设A,B是______________,如果对于集合A中的______一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有__________的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x), x∈A. (2)在函数的定义中,非空数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集. 非空的实数集 任意 唯一确定 2.构成函数的三要素 (1)函数的三要素:函数由_______、_____和对应关系三个要素构成,在函数y=f(x),x∈A中, __________________ (即数集A)称为这个函数的定义域. ____________组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)同一个函数:如果两个函数的________相同,并且____________完全一致,即相同的自变量对应的函数值也______,那么这两个函数是同一个函数. 定义域 值域 自变量的取值范围 所有函数值 定义域 对应关系 相同 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有________、图象法和_________. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的_____. 解析法 列表法 并集 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(北师大必修①P59T3改编)函数y=2x-1(x∈{1,2,3})的值域为(　　) A.[1,5] B.{1,3,5} C.[2,6] D.{2,4,6} √ 2.(人A必修①P66例3改编)下列函数与函数y=x是同一个函数的是 (　　) A.y=()2　　B.u= 　　C.y= 　　D.m= 解析:函数y=()2和函数m=与y=x的定义域不同,则不是同一个函数.函数y==|x|与y=x的解析式不同,也不是同一个函数,故选B. √ 3.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)=则f(f(2))=(　　) A.　　 B.　　 C.2　　 D.-2 解析:由题意得f(2)=-2,f(-2)=,故选B. √ 4.(人A必修①P67T1改编)函数f(x)=+-1的定义域为　　 　　.  解析:由解得-3≤x≤1,所以f(x)的定义域为[-3,1]. [-3,1] 二、易错小题的警醒训练 1.下列图形可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　) 解析:A中的值域不满足,B中的定义域不满足,D中不是函数的图象,由函数的定义可知C正确. (易错点:易忽视函数的值域) √ 2.已知f()=x-1,则f(x)=　 　　　. 解析:令t=,则t≥0,故x=t2,则f(t)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥0). (易错点:易忽视新元的范围) x2-1(x≥0) 课堂·题点精研 02 题点一　函数的概念(自主练通) 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(1,2] B.(1,3] C.(0,1)∪(1,3] D.(0,1)∪(1,2] 解析:f(x)=的定义域需满足 解得0<x≤3且x≠1,故其定义域为(0,1)∪(1,3].故选C. 易错提醒:定义域是一个集合,要用集合或区间表示.若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接. √ 2.[多选]下列说法正确的有 (　　) A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数 B.函数y=f(x)的图象与直线x=2 025的图象至多有一个交点 C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x,则f=0 √ √ 解析:对于A,函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数g(x)=的定义域为R,两函数的定义域不同,所以不是同一个函数,故A错误;根据函数的定义知B正确;对于C,函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同,所以两函数是同一个函数,故C正确;对于D,由f(x)=|x-1|-x,可得f=0,所以f=f(0)=1,故D错误. 3.(2025·惠州模拟)若函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),则实数a=　　　　,实数b的取值范围是　 　　　. 解析:由函数f(x)=,得即又函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),故a=2,b<-2. 2 (-∞,-2) 4.已知函数y=f(x-1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为　　　　. 解析:∵函数y=f(x-1)的定义域为[1,2],即1≤x≤2,可得0≤x-1≤1, ∴函数y=f(x)的定义域为[0,1].令0≤2x-1≤1,解得≤x≤1,故函数y=f(2x-1)的定义域为. 习得方略:求函数定义域谨记两句话:定义域(永远)指的是x的取值范围,同一个“f”下括号内的范围是一样的. 思维建模 与函数概念有关问题的解题策略 (1)判断两个函数是否为同一个函数关键有两点:定义域是否相同,对应关系即解析式是否相同. (2)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合. (3)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域. 题点二　函数的解析式 [例1] (1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; 解:∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17,∴解得 ∴f(x)的解析式为f(x)=2x+7. (2)(配凑法)已知f=x4+,求f(x)的解析式; 解:∵f=x4+=-2,又x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±1时等号成立.设t=x2+,则t≥2,∴f(t)=t2-2(t≥2),∴f(x)=x2-2(x≥2). 易错提醒:对于复合函数f(g(x)),注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域,而是g(x)的值域 (3)(换元法)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; 解: 设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].∴f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (4)(方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 解:∵2f(x)+f(-x)=3x,　① ∴将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x,　② 由①②解得f(x)=3x. 思维建模 函数解析式的求法 待定 系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式, 然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围 方程组法 已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x) 即时训练 1.(1)已知f(+1)=x+2,求f(x); 解:法一:换元法　令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 法二:配凑法　因为f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1,又+1≥1, 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). (2)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x); 解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c =2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 所以解得 所以f(x)=x2-2x-1. (3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f+f(x)=x(x≠0),求f(x); 解:由f(x)+2f=x, 令x=,得f+2f(x)=, 于是得到关于f(x)与f的方程组 解得f(x)=-(x≠0). (4)已知函数f(x)满足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy,求f(x)的解析式. 解:在f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy中,令x=y=0,得f(0)=0;令y=x,得f(x-x)= f(x)+f(x)-2x2=0,故f(x)+f(x)=2x2,得f(x)=x2. 习得方略:在求抽象函数解析式时,可用“赋值法”求解,首先要对题设中的有关参数进行赋值(一般令参数等于0,-1,1),再得到关于函数解析式的某种递推关系,最后求得函数解析式. 题点三　分段函数 考法(一)　分段函数求值 [例2] (1)设函数f(x)=则f=(　　) A.　　 B.　 　 C.　　 D.-1 解析:易知f=2=,所以f=f==. √ (2)设函数f(x)=则f(20)=(　　) A.3　　 B.4　 　C.5　　 D.lo17 解析:由题意得f(20)=f(17)+1=f(14)+2=…=f(-1)+7=lo[3-(-1)]+7=-2+7=5. √ 思维建模 求函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 考法(二)　分段函数与方程 [例3]　(2024·泰安二模)已知函数f(x)=且f(m)=-12,则f(6-m)=(　　) A.-1　　 B.-3　　 C.-5　　 D.-7 解析:由题意知,当m≤1时,f(m)=2m+1-8=-12,得2m+1=-4,又2m+1>0, 所以方程无解;当m>1时,f(m)=4lo(m+1)=-12,得(m+1)=-3,即m+1=8,解得m=7,所以f(6-m)=f(-1)=2-1+1-8=-7. √ 思维建模 求分段函数中参数值或自变量值的方法 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 考法(三)　分段函数与不等式 [例4]　设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　 　　. 解析:法一　当x<1时,由f(x)≤2,得2x-1≤2,所以x-1≤1,解得x≤2.又因为x<1,所以x<1;当x≥1时,由f(x)≤2,得≤2,所以x≤4.又因为x≥1,所以1≤x≤4.综上,满足f(x)≤2成立的x的取值范围为 (-∞,4]. (-∞,4] 法二　画出f(x)的图象,由图象知f(x)是R上的增函数,又因为f(4)=2,所以f(x)≤2,可化为f(x)≤f(4),故x≤4. 思维建模 与分段函数有关的不等式问题的解题策略 (1)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解. (2)解与分段函数不等式有关的问题时,有时数形结合更便捷,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 即时训练 2.已知函数f(x)=满足f(π)=1,则实数m的值为(　　) A. B. C.1 D.2 解析:因为f(π)=f+m=f(0)+2m=sin 0+2m=1,所以m=. √ 3.[多选]已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(f(-1))=1 B.若f(x)=3,则x的值是 C.f(x)<1的解集为(-∞,1) D.f(x)的值域为(-∞,4) √ √ √ 解析:由题意得f(-1)=-1+2=1,所以f(f(-1))=f(1)=12=1,故A正确;当x≤-1时, f(x)=x+2=3,解得x=1(舍去);当-1<x<2时,f(x)=x2=3,解得x=-(舍去)或x=.所以f(x)=3的解为x=, 故B正确;当x≤-1时,f(x)=x+2<1,解得x<-1;当-1<x< 2时,f(x)=x2<1,解得-1<x<1,所以f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故C错误;当x≤-1时,f(x)=x+2≤-1+2=1;当-1<x<2时,f(x)=x2∈[0,4),所以f(x)的值域为(-∞,4),故D正确. 4．(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2.若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　　　　 B．[－2,1] C．[－1,2]　　　　 D．[－1，＋∞) √ 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 一、单选题 1.函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为(　　) A.{x|x≥3} B.{x|x<1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 解析:由⇒所以函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为{x|1<x≤3}. √ 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 规律方法:求函数的定义域常用的结论 (1)分式型要满足f(x)≠0; (2)偶次根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0; (3)[f(x)]0要满足f(x)≠0; (4)对数型logaf(x)(a>0,且a≠1)要满足f(x)>0; (5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠+kπ,k∈Z. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 2.已知函数f(x)=则f(-3)=(　　) A.2　　 B.3　　 C.4　 D.8 解析:依题意,得f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=21=2. √ 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 3.已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)-2x)=3,则f(5)= (　　) A.11　　 B.9　　 C.7　　 D.5 解析:设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3,整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0,所以解得所以f(x)= 2x+1,所以f(5)=2×5+1=11. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 4.设函数f(x)=若f(m)=18,则m=(　　) A.9 B.4 C.9或-4 D.9或4 解析:因为f(x)=f(m)=18,所以或解得m=-4或m=9. √ 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 5.已知函数f(x2-x)的定义域为(0,2),则f的定义域是(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析:因为f(x2-x)的定义域为(0,2),所以-≤x2-x<2,对于函数f有-≤-1<2,解得x∈. √ 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=ex,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为 (　　) A.-1　　 B.-　　 C.　　 D.1 解析:因为f(x)=2f(-x)+ex,所以f(-x)=2f(x)+e-x,联立可解得f(x)=-,所以f'(x)=,f'(0)=. √ 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 7.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B. C. D.(-∞,-1)∪ 解析:当x≥1时,f(x)=ln x≥ln 1=0,又f(x)的值域为R,故当x<1时, f(x)的值域包含(-∞,0), 故解得-1≤a<. √ 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 8.已知f(x)=若f(a)<-3,则a的取值范围为(　　) A.(-3,+∞) B.[-3,+∞) C.(-∞,-3) D.(-∞,-3] 解析:由题意,得当a≤-2时,f(a)=a,由f(a)<-3,得a<-3,∴a<-3;当-2<a<4时,f(a)=a+1,由f(a)<-3,得a+1<-3,解得a<-4,此时不等式无解;当a≥4时,f(a)=3a,由f(a)<-3,得3a<-3,解得a<-1,此时不等式无解.综上所述,a的取值范围是(-∞,-3). √ 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 二、多选题 9.(2025·青岛模拟)存在函数f(x)满足对于任意的x∈R都有(　　) A.f(sin x)=cos 2x B.f(cos 2x)=sin x C.f(x2+2x)=|x+1| 　 D.f(x2+1)=|x+1| 快审准解:根据函数的性质,取特殊值推出矛盾排除B、D;对于A,令t=sin x,再化简即可;对于C,令t=x2+2x,再化简即可. √ √ 解析:对于A,因为f(sin x)=cos 2x=1-2sin2x ,令t=sin x,所以f(t)=1-2t2, -1≤t≤1,故A正确;对于B,f(cos 2x)=sin x,取x=和x=-,得f(0)=,f(0)=-, 故B错误;对于C,令t=x2+2x,所以|x+1|==,即f(t)= (t≥-1),符合题设,故C正确;对于D,取x=1,f(2)=2,取x=-1,f(2)=0,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 10.下列两个函数是相同函数的有 (　　) A.f(x)=x-1与g(x)= B.f(x)=与g(x)= C.f(x)=x0与g(x)=1 D.f(x)=|x|与g(x)= 解析:f(x)=x-1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠-1},两函数定义域不同,故不是相同函数,故A错误;f(x)===1(x>0),g(x)== =1(x>0),两函数定义域和对应法则相同,故为相同函数,故B正确;f(x)= x0,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)与g(x)=1,x∈R定义域不同,故不是相同函数,故C错误;f(x)=|x|,g(x)==|x|,函数的定义域、对应法则均相同,所以两函数是相同函数,故D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法正确的是(　　) A.f(x)的值域为[0,1] 　 B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R,f(f(x))=1 　 D.f(x)为偶函数 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 解析:因为函数f(x)=所以函数f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A错误,B正确;因为f(x)=0或f(x)=1,且0与1均为有理数,所以f(f(x))=f(0)=1或f(f(x))=f(1)=1,故C正确;因为函数f(-x)= ==f(x),所以f(x)为偶函数,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 12.(2025·广州模拟)给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程2x-y=0,下列对应关系f为函数的是 (　　) A.f:A→B,y=f(x) B.f:B→A,y=f(x) C.f:A→B,x=f(y) D.f:B→A,x=f(y) 解析:y=f(x)=2x,∀x∈A,均有唯一确定f(x)∈(0,+∞)=B,符合函数定义,A正确;y=f(x)=2x,∀x∈B,均有唯一确定f(x)∈(1,+∞)⊆A,符合函数定义,B正确;x=f(y)=log2y,取y=1∈A,x=0∉B,不符合函数定义,C错误; x=f(y)=log2y,∀y∈B,均有唯一确定f(y)∈R=A,符合函数定义,D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 易错提醒:函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中不对应的元素. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 三、填空题 13.(2025·烟台模拟)已知f(x)=则f=　　　. 解析:因为f=f+1=f+2=f+3=log2+3=-1+3=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 14.若函数f=x2+,且f(a)=8,则实数a的值为　 　　　 .  解析:∵函数f=x2+=+2,又y=x-的值域为R, ∴f(x)=x2+2(x∈R),由f(a)=8,可得a2+2=8,解得a=±. ± 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 15.设函数f(x)=若f(1)=2f(0),则实数a可以为 　 .(只需写出满足题意的一个数值即可)  解析:若a<0,则f(0)=1,f(1)=2,f(1)=2f(0)成立;若0≤a<1,则f(0)=1,f(1)=2,f(1)=2f(0)成立;若a≥1,则f(0)=1,f(1)=0,f(1)=2f(0)不成立.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1). 0(答案不唯一,满足a∈(-∞,1)即可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 16 17 3 17.(2024·温州三模)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)-1, f(4)=2,则f=　　　　　. 解析:由题意,令x=y=2,得f(2×2)=f(2)+f(2)-1.又f(4)=2,所以f(2)=.令x=2,y=1,得f(2×1)=f(2)+f(1)-1,所以f(1)=1.令x=2,y=,得f= f(2)+f-1⇒f=. 解析：当a>2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝当2<x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2<0，所以f(x)<0，不满足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当0<a≤2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)·(x＋a)>0，解得x>2a，由于x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得0<a≤1；当a＝0，x>2时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，由于x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0.综上－2≤a≤1.故选B. 16．设函数f(x)＝若f(f(a))≤6，则实数a的取值范围是_______________． 解析：画出函数f(x)＝的图象， 如图所示，易知由f(f(a))≤6可得f(a)≥－3；当a<0时， f(a)＝a2＋a≥－3，此时a2＋a＋3≥0恒成立，即a<0；当a≥0时，f(a)＝－a2≥－3，即a2≤3，解得0≤a≤.综上可得，实数a的取值范围是(－∞，]． (－∞，] $$