第2章 第五节 函数性质的综合应用（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第五节 函数性质的综合应用 目录 题点一　函数的单调性与奇偶性 题点二　函数的奇偶性与对称性相结合 题点三　函数的周期性与对称性相结合 题点四　函数性质的综合应用 课时跟踪检测 2 题点一　函数的单调性与奇偶性 [例1] (1)设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x), 当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 解析:∵函数f(x)的定义域为R且f(-x)=f(x),∴f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),又∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(2)<f(3)<f(π),即f(π)>f(-3)>f(-2). √ (2)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0,则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是　　 　　. 解析:因为定义域为R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0, 所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减,且f(-3)=0,f(0)=0,所以当x∈(-∞,-3)∪(0,3)时, f(x)>0,当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,f(x)<0,所以由(x+1)f(x)≥0,可得或或x=0,解得0≤x≤3或-3≤x≤-1,所以满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是[-3,-1]∪[0,3]. [-3,-1]∪[0,3] 思维建模 奇偶性与单调性综合问题的解法 (1)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小. (2)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性 把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). (3)解不等式时要注意函数的定义域. 即时训练 1.(2025·榆林模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递减,则 (　　) A.f(f(x))是偶函数 B.f(g(x))是奇函数 C.f(f(-1))<f(f(-2)) D.g(-f(-1))>g(f(-2)) √ 解析:由f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),且定义域(全体实数)关于原点对称,得f(f(x))是奇函数,由f(g(-x))=f(g(x)),且定义域(全体实数)关于原点对称,得f(g(x))为偶函数,故A、B错误.由题易知函数f(x)在R上单调递减,函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,由-1>-2,得f(-1)<f(-2),从而f(f(-1))>f(f(-2)),故C错误.由0=f(0)<f(-1)<f(-2),得|-f(-1)|<f(-2),从而g(-f(-1))>g(f(-2)),故D正确. 2.(2024·资阳二模)若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为 (　　) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-2,0) D.(-1,0) 解析:由f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x,可得f(2x+1)+(2x+1)2>f(x-1)+(x-1)2. (此处不能直接去“f ”,观察式子结构构造函数求解) 令g(x)=f(x)+x2,因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)也是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,从而|2x+1|>|x-1|,解得x<-2或x>0. √ 谨记结论: 当函数f(x)为定义在R上的偶函数时, ①若x≥0时,f(x)单调递增,则x<0时,f(x)单调递减,即f(m)>f(n)⇒|m|>|n|, f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|>|m|. ②若x≥0时,f(x)单调递减,则x<0时,f(x)单调递增,即f(m)>f(n)⇒|m|<|n|, f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|<|m|. 题点二　函数的奇偶性与对称性相结合 [例2]　(2024·海口二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, 函数g(x)=|x-2|f(x)的图象关于直线x=2对称,若f(-1)=-1,则g(3)= (　　) A.5 B.1 C.-1 D.-5 解析:因为g(x)的图象关于x=2对称,则g(x+2)=|x|f(x+2)是偶函数, g(2-x)=|-x|f(2-x)=|x|f(2-x),且g(x+2)=|x|f(x+2),所以|x|f(2-x)=|x|f(2+x)对任意的x∈R恒成立,所以f(2-x)=f(2+x),因为f(-1)=-1且f(x)为奇函数,所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=-f(-1)=1,因此g(3)=|3-2|f(3)=f(1)=1. √ 思维建模 解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之,要充分利用已知条件进行适当转化. 即时训练 3.设函数 f(x)=ax3-x-3+a,若函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则a= (　　) A.-1　　 B.0　　 C.1　　 D.2 解析:因为函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数,故f(-x)+f(x)=a(-x)3-(-x)-3+a+ax3-x-3+a=2a=0,所以a=0. √ 4.(2025·抚顺模拟)函数y=f(2x-1)是R上的奇函数,函数y=f(x)图象与函数y=g(x)图象关于y=-x对称,则g(x)+g(-x)= (　　) A.0　　 B.-1　　 C.2　　 D.1 解析:函数y=f(2x-1)是R上的奇函数,则-f(-2x-1)=f(2x-1),设2x-1=t,则f(t)=-f(-2-t),则函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,函数y=f(x)图象与函数y=g(x)图象关于y=-x对称,所以函数y=g(x)的图象关于(0,1)对称,所以g(x)+g(-x)=2. √ 题点三　函数的周期性与对称性相结合 √ 思维建模 综合应用对称性与周期性解题的技巧 函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性.在使用这两个关系时不要混淆. 即时训练 5.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f=(　　) A.- B.- C. D. 解析:因为f(x+1)为奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1)　①. 因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2)　②. 令x=1,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得f(3)=f(1)=a+b, 因为f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6⇒a=-2. 令x=0,由①得f(1)=-f(1)⇒f(1)=0⇒b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2. √ 法一:从定义入手 f=f=f=f =f=-f=-f =-f=-f=-f=. 法二:从周期性入手 由两个对称性可知,函数f(x)的周期T=4. 所以f=f=-f=.故选D. 习得方略:(1)若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则y=f(x)为周期函数,且4|a|是它的一个周期.(2)周期为T的奇函数一定关于点对称,周期为T的偶函数关于直线x=对称. 6.(2025·东北师大附中摸底)函数f(x)(x∈R)满足f(x+6)+f(x)=2f(3),函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则f(2 034)= (　　) A.-16 B.-8 C.-4 D.0 解析:根据题意,由f(x+6)+f(x)=2f(3),知f(x+12)+f(x+6)=2f(3),两式相减,得f(x+12)=f(x),即f(x)是周期为12的周期函数.由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且y=f(x)的图象是由y=f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到的,则y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,y=f(x)是奇函数.所以f(2 034)=f(12×169+ 6)=f(6).又由f(x+12)=f(x),令x=-6可得f(-6)=f(6),而f(x)为奇函数,则f(-6)= -f(6)=f(6),所以f(6)=0,故f(2 034)=f(6)=0,故选D. √ 题点四　函数性质的综合应用 [例4]　(多选)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x), 且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则下列结论正确的是 (　　) A.f(0)=f(2) B.f(x)的最小正周期T=2 C.f(x)在(1,2]上单调递减 D.f(2 025)>f(2 026)>f(2 027) √ √ 解析:由f(1+x)=f(1-x)知,f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(0)=f(2),故A正确;由f(1+x)=f(1-x)知,f(2+x)=f(-x),又f(x)的图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x),故f(4+x)=-f(-x),所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),f(x)的最小正周期为4,故B错误;因为f(x)在(-1,0]上单调递增,且T=4,所以f(x)在(3,4]上单调递增.又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增,因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,故C正确;根据f(x)的周期为4,可得f(2 025)=f(1),f(2 026)=f(2),f(2 027)=f(-1),由A知f(2)=f(0),由C的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(-1,0]上单调递增,确定的单调区间内均不包含x=±1,若f(-1)=f(1)=0,则f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)不成立,故D错误. 思维建模 对于函数性质结合的题目,函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. 即时训练 7.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时, f(x)>0,f(2)=4,则 (　　) A.f(5)=10 B.f(x)为奇函数 C.f(x)在R上单调递减 D.当x<-1时,f(x)-2>f(2x) √ √ √ 解析:在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1),又f(2)=4,故f(1)=2,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=8,令x=4,y=1,得f(4+1)=f(4)+ f(1)=8+2=10,即f(5)=10,A正确;令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,故f(x)为奇函数,B正确;令x=x1,y=x2-x1,且x2>x1,故f(x1+x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1),即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),当x>0时, f(x)>0,故f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在R上单调递增, C错误;f(1)=2,f(x)-2=f(x)-f(1)=f(x-1),又x<-1,故x-1>2x,又f(x)在R上单调递增,所以f(x)-2>f(2x),D正确.故选ABD. 数智赋能:电子版随堂训练（函数中的创新应用问题）,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ex+x2+x,则不等式f(2-a)+f(2a-3)>0的解集为(　　) A.(-1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1) 解析:当x>0时,f(x)=ex+x2+x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,而f(0)=0,当x>0时, f(x)>f(0)=1,当x<0时,f(x)<-1,故f(x)在R上单调递增.原不等式可化为f(2-a)>-f(2a-3),即f(2-a)>f(3-2a),所以2-a>3-2a,故a>1.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是 (　　) A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-6.5)<f(-1) 解析:∵f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2, ∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,f(-6.5)=f(6.5)=f(0.5),f(-1)=f(1), ∴f(0)<f(0.5)<f(1),即f(0)<f(-6.5)<f(-1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=ax+1,则f(2 025)= (　　) A.0 B.1 C.2 D.2 025 解析:∵f(2x-1)为奇函数,∴f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称, 又f(x+1)为偶函数,∴f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为周期函数且周期T=4×|1-(-1)|=8,∴f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=a+1.∵f(-1)= -a+1=0,∴a=1,∴f(2 025)=a+1=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.(2025·大连期末)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0,则实数t的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增, 所以f(x)在[-2,2]上单调递增. (提示:奇函数在对称区间上的单调性相同) 又f(2t-1)+f(t)<0,则f(2t-1)<-f(t),所以f(2t-1)<f(-t),所以解得-≤t<,故实数t的取值范围为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 特别提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f ”时,需转化为含符号“f ”的形式,如0=f(1),f(x-1)<0,则f(x-1)<f(1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.(2025·绍兴诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(a-x), 则对所有这样的函数f(x),由下列条件一定能得到f(1)=f(3)=f(9)的是 (　　) A.a=2 B.a=3 C.a=4 D.a=5 解析:由题意知f(-x)=-f(x)=-f(a-x),即f(x)=-f(x+a)=f(x+2a),所以f(x) 是以2a为周期的奇函数,且直线x=是f(x)图象的一条对称轴.当a=2时, f(1)=-f(1+2)=-f(3),f(1)=f(1+2×4)=f(9),不符合题意;当a=3时,f(1)=f(1+6n) 且n∈Z,不符合题意;当a=4时,f(1)=f(4-1)=f(3),f(1)=f(1+8)=f(9),故f(1)= f(3)=f(9),符合题意;当a=5时,f(1)=f(1+10n)且n∈Z,不符合题意.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.已知函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),对任意x1,x2∈(-∞,-2],且x1≠x2,都有>0成立,且f(0)=0,则f(x)>0的解集是(　　) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) 　　　 B.(-2,2) C.(-∞,-4)∪(0,+∞) 　　 　 D.(-4,0) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:因为函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),所以f(x)的图象关于x=-2对称.因为函数f(x)对任意x1,x2∈(-∞,-2],且x1≠x2,都有>0成立,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递增.又因为f(x)的图象关于x=-2对称,f(0)=0,所以f(x)在(-2,+∞)单调递减,且f(-4)=0.用折线图表示函数f(x)的单调性,如图所示,由图知f(x)>0⇒-4<x<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7.(2024·日照二模)已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=4, g(x)=(x-1)f(x),若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)= (　　) A.-6 B.-4 C.4 D.6 解析:因为g(x+1)是偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=1对称,故g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),所以f(x)+f(2-x)=0.所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称.又f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)= -f(x-2),所以f(x-4)=f((x-2)-2)=-f(x-2)=f(x),即f(x-4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=4,所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5× f(2.5)=6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 规律方法:函数双对称出周期结论 (1)若函数y=f(x)的相邻两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|; (2)若函数y=f(x)的相邻两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a-b|; (3)若函数y=f(x)的相邻一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 8.(2024·镇江三模)已知f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x), g(5.5)=2,若f(x+1)关于x=-1对称,g(2x+1)是偶函数,则g(-0.5)= (　　) A.-2 B.2 C.3 D.-3 解析:若f(x+1)关于x=-1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)=f(-x),两边求导得g(x)=f'(x)=-f'(-x)=-g(-x).因为g(2x+1)是偶函数,所以g(-2x+1)= g(2x+1),令t=2x,就有g(-t+1)=g(t+1),即有g(-x+1)=g(x+1),所以g(x)=g(2-x)= -g(x-2)=g(x-4),所以g(-0.5)=-g(0.5)=-g(1.5)=-g(5.5)=-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 9.若函数f(2x+1)(x∈R)是周期为2的奇函数,则下列选项一定正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 B.2是函数f(x)的一个周期 C.f(2 025)=0 D.f(2 026)=0 解析:因为函数f(2x+1)(x∈R)是奇函数, f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x),f(2x+1)是奇函数⇔f(-2x+1)=-f(2x+1) 所以f(2x+1)=-f(-2x+1),所以f(2x+1)+f(-2x+1)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称, 且f(1)=0,故A正确;因为函数f(2x+1)(x∈R)的周期为2,所以f(x)的周期为4, f(x)是周期为T的函数⇔f(x+T)=f(x),f(2x+1)是周期为T的函数⇔f(2(x+T)+1)= f(2x+1+2T)=f(2x+1).注意二者的区别 故B不一定正确;因为函数f(x)的周期为4,所以f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)=0,故C正确; f(2 026)=f(4×506+2)=f(2),无法判断f(2)的值,故D不一定正确.故选AC. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 10.(2024·南京二模)若f(x)的定义域为R,满足对任意x,y∈R,都有f (x)+f (y)=-f f ,且f(2)=2,则下列说法正确的是(　　) A.f (0)=0 B.f (x)为偶函数 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:令x=y=2, (特殊值法的应用) 得f(2)+f(2)=-f(2)f(0),又f(2)=2≠0,所以f(0)=-2,故A错误;令y=-x,得f(x)+f(-x)= -f(x)f(0)=2f(x),所以f(-x)=f(x),而f(x)的定义域是全体实数,所以f(x)为偶函数,故B正确;令x=2,y=0,得f(2)+f(0)=-[f(1)]2=0,所以f(1)=0,又f(1-x)+f(1+x)=-f(1) f(-x)=0,而f(x+1)的定义域是全体实数,所以f(x+1)为奇函数,故C正确;因为f(x+ 2)+f(x)=-f(x+1)f(1)=0,所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),故4是f(x)的周期, 又f(4)=f(0)=-2,f(1)=0,f(2)=2,所以f(3)=f(-1)=f(1)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 11.对于定义在R上的函数f(x),若f (x+1)是奇函数,f (x+2)是偶函数,且f (x)在[1,2]上单调递减,则 (　　) A.f (3)=0 B.f (0)=f (4) C.f =-f D.f (x)在[3,4]上单调递减 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:令g(x)=f(x+1),因为f(x+1)是奇函数,所以g(-x)=f(-x+1)=-g(x)= -f(x+1),即f(-x+1)=-f(x+1),f(x)的图象关于点(1,0)对称.令h(x)=f(x+2),因为f(x+2)是偶函数,所以h(-x)=f(-x+2)=h(x)=f(x+2),即f(-x+2)=f(x+2), f(x)的图象关于直线x=2对称.由f(-x+1)=-f(x+1),令x=0,可得f(1)=-f(1)⇒ f(1)=0,由f(-x+2)=f(x+2),令x=1,可得f(1)=f(3)=0,故A正确;由f(-x+2)= f(x+2),令x=2,可得f(0)=f(4),故B正确;由f(-x+1)=-f(x+1),令x=,可得f=-f,故C正确;由f(x)在[1,2]上单调递减,结合f(x)的图象关于点(1,0)对称,可知f(x)在[0,1]上单调递减,由f(1)=0可知f(x)在[0,2]上单调递减.又f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)在[2,4]上单调递增,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 12.(2025·六安模拟)若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=4x,则f(2 024)=　　　　. 解析:由f(x+2)=-f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=4x,f(x)=f(-x), 得f(1)=4,f(2)=-4,f(3)=0,f(4)=-4,f(5)=4,f(6)=0,f(7)=4,f(8)=-4,…,则f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=-4. -4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 13.(2024·佛山二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(1)=2,则满足f(x)+f(-x)>4的实数x的取值范围为　 　　　. 解析:由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递减,得f(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(1)=2,故当f(x)>2时,x∈(-1,1).又f(-x)=f(x),故f(x)+f(-x)>4等价于f(x)>2, 即f(x)>f(1),所以|x|<1,故x的取值范围为(-1,1). (-1,1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7. -24 快审准解:根据f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7得到f(-1)=-1,根据y=g(x)的图象关于直线x=2对称得到g(2-x)=g(2+x),然后通过替换得到f(x)是周期为4的周期函数,最后通过赋值和周期性求函数值即可. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:由f(x)+g(2-x)=5,得f(2-x)+g(x)=5,由g(x)-f(x-4)=7,得f(2-x)+f(x-4)=-2, 令x=3,得f(-1)=-1.因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(2-x)=g(2+x),由f(x)+g(2-x)=5,得f(x)+g(2+x)=5,由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7,则f(x)+ f(x-2)=-2,f(x-2)+f(x-4)=-2,所以f(x)=f(x-4),f(x)是周期为4的周期函数,f(3)= f(-1)=-1.在f(x)+g(2-x)=5中,令x=0,得f(0)+g(2)=5,则f(4)=f(0)=1,在f(x)+f(x-2)=-2中,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,则f(2)=-3,令x=3,得f(3)+f(1)=-2,则f(1)=-1, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 习得方略:解答抽象函数问题的方法较多,其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值时主要从以下方面考虑:①令x=…,-2,-1, 0,1,2,…,利用这些特殊值求抽象函数的函数值;②令y=-x,判断抽象函数的奇偶性;③换x为x+T,确定抽象函数的周期;④用x=+等来解决有关抽象函数的问题. [例3]　已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)= (　　) A.-21　　　B.-22　　　C.-23　　　D.-24 解析:由f(x)+g(2-x)=5得f(x)=5-g(2-x)①.由g(x)-f(x-4)=7得f(x-4)=g(x)-7,所以f(x)=g(x+4)-7②.由①②得5-g(2-x)=g(x+4)-7,即g(x+4)+g(2-x)=12, 所以y=g(x)的图象关于点(3,6)对称,g(3)=6,又y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以函数g(x)是周期为4的函数,且g(1)=g(3)=6,f(x)=g(x)-7.因为g(4)+g(2)=12,所以g(4)=12-g(2)=12-4=8,所以f(1)=g(1)-7=-1,f(2)=g(2)-7=-3,f(3)=g(3)-7=-1, f(4)=g(4)-7=1,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(22)=5×(-4)+(-1)+(-3)=-24.故选D. C.f(x+1)为奇函数 D.f(i)=0 所以f(i)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.故D正确. 若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=　　　　. 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4,故f(k)=f(1)+f(2)+5×(-4)=-24. $$