第2章 第四节 函数的对称性（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第四节 函数的对称性 明确目标 能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论. 会利用对称公式解决问题. 目录 题点一　轴对称问题 题点二　中心对称问题 题点三　两个函数图象的对称 课时跟踪检测 3 题点一　轴对称问题 [例1]　(2023·全国乙卷,节选)已知函数f(x)=ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称. 令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)·ln , 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称, 所以g(x)=g(2b-x),即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln, 于是解得 当a=,b=-时,g(x)=ln,g(-1-x)=ln= ln=ln=ln=g(x), 所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意. 故存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称,且a=,b=-. 思维建模 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x); (2)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. 即时训练 1.[多选]已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列说法一定正确的是 (　　) A.f(0)=0 B.g(1)=0 C.y=g(f(x))为奇函数 D.y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称 解析:因为f(x)是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,所以f(0)=0,故A正确; 因为g(x)是定义在R上的函数,且g(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(1-x)=g(1+x), g(1)不一定为0,故B错误;因为g(f(-x))=g(-f(x))≠-g(f(x)),故C错误;因为g(1-x)=g(1+x),则f(g(1-x))=f(g(1+x)),所以y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称,故D正确. √ √ 2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x),若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则所有交点的横坐标之和为 ( ) A.0 B.m C.2m D.4m 解析:依题意函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x),得y=f(x)的图象关于直线x=2对称.因为函数y=|x2-4x-5|的图象也关于直线x=2对称,所以若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则x1+ x2+…+xm=4×=2m. 谨记结论:(1)若f(x)与g(x)关于x=a对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am;(2)若f(x)与g(x)关于(a,b)对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am,纵坐标之和为bm. √ 题点二　中心对称问题 [例2]　(2024·新课标Ⅰ卷,节选)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3,证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. 证明:法一　(没给对称中心,需要自己找到对称中心,再证明,怎么找?由于对称函数定义域必定也对称,故不妨先求定义域,从定义域出发寻找对称中心) 由>0,可得x(2-x)>0,所以x(x-2)<0, 解得0<x<2,故f(x)的定义域是(0,2). (定义域关于x=1对称,那么曲线y=f(x)的对称中心的横坐标只能是1,故要证结论成立,接下来只需计算f(2-x)+f(x),得出其为与x无关的常数) 因为f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(2-x-1)3+ln+ax+b(x-1)3= ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+2a=ln 1+2a=2a, 所以曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称. 法二　因为f(x)=ln +ax+b(x-1)3, 所以f(x+1)=ln+a(x+1)+bx3=ln+ax+bx3+a.因为y=ln+ ax+bx3是奇函数,其图象关于原点对称, 所以曲线f(x+1)关于点(0,a)中心对称, 所以曲线f(x)关于点(1,a)中心对称. |考|教|衔|接| 本题源自人教A版必修①P87T13:我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心; (2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论. 只要掌握了教材题,例1,例2的解题思路就非常清晰了.由教材和高考题,我们不难发现,函数与导数中的解答题不再局限于导数问题,纯函数问题成为新的命题导向,这一变化趋势请关注. 思维建模 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x); 若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称. 即时训练 3.已知函数f(x)=的图象关于点(1,f(1))对称,则a=(　　) A.1　　 B.2　　 C.e　　 D.e2 解析:由对称中心性质可知函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=2f(1), 即+=,整理可得e3-x+ex+1-2e2=aex+ae2-x-2ae, 即e(e2-x+ex-2e)=a(ex+e2-x-2e),解得a=e. √ 4.[多选]下列说法中,正确的是 (　　) A.函数f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数,则函数f(x)关于点(-1,0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0,1),则函数y=f(x-1)+1过定点(1,2) D.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=2 √ √ √ 解析:f(x)===2-,其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y=-的图象关于原点对称,故f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称,A正确;因为f(2x-1)为奇函数,所以f(2x-1)=-f(-2x-1),所以f(x-1)=-f(-x-1),f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)关于点(-1,0)中心对称,B正确;函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象,由于y=f(x)过定点(0,1),故函数y=f(x-1)+1过定点(1,2),C正确;函数y===1+的图象关于点(3,c)中心对称,所以解得b=3,c=1,所以b+c=4, D不正确. 习得方略:f(mx+a)+b是偶函数⇒f(x)的图象关于x=a对称,f(mx+a)+b是奇函数⇒f(x)的图象关于(a,b)对称. 题点三　两个函数图象的对称 [例3]　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 解析:设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上.而点P(x0,y0)与点Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. √ 思维建模 函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 即时训练 5.下列函数中,其图象与函数y=f(2x-1)的图象关于直线x=1对称的是 (　　) A.y=f(-2x-1) B.y=f(-2x+1) C.y=f(-2x+3) D.y=2-f(2x-1) 解析:设函数y=f(2x-1)的图象为曲线C1,该曲线关于x=1对称的曲线为C2,设曲线C1上任意一点的坐标为(x0,y0),该点关于直线x=1对称的点的坐标 为(x,y),则有y0=f(2x0-1),因此有⇒代入y0=f(2x0-1)中, 得y=f(2(2-x)-1)⇒y=f(3-2x).故选C. √ 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.已知函数f(x)=,则函数f(x)图象的对称中心的坐标为(　　) A.(-1,-3) B.(-1,3) C.(-1,-2) D.(-1,2) 解析:因为f(-1+x)+f(-1-x)=+=-=-4, 所以函数f(x)的图象关于点(-1,-2)对称. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设函数y=f(3x+1)是偶函数,则下列直线中,一定是函数y=f(3x)图象的对称轴的是 (　　) A.x=0 B.x= C.x=- D.x=-1 解析:由y=f(3x+1)是偶函数,得y=f(3x+1)的图象关于y轴对称,而函数y=f(3x)的图象可由y=f(3x+1)的图象向右平移个单位长度得到,所以函数y=f(3x)图象的对称轴是x=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 3.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b= (　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:法一　∵函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)+f(2-x)=0,即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+2-x+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0, ∴解得故选C. 法二　由题意可得,解得 √ 习得方略:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.已知函数f(1-x)的图象与函数f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m等于 (　　) A.3　　 B.　　 C.-1　　 D.- 解析:设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的 对称点Q(x',y'),则 (中点坐标公式) 所以则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-2m+x)与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称,则1-2m=2,解得m=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 5.已知函数f(x)的定义域为R,其图象与直线y=k(k∈R)至多有两个不同的交点,且f(1)=f(5),函数f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,则a= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 快审准解:利用函数图象对称得到f(ax-1)=f(4a-ax-1),从而结合题设条件得到关于a,x的方程组,解之即可得解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:令g(x)=f(ax-1),则由题意可知g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(x)=g(4-x),即f(ax-1)=f(a(4-x)-1)=f(4a-ax-1),故f(x-1)=f(4a-1-x),故f(x)的图象关于x==2a-1对称.又因为f(1)=f(5),且函数f(x)的图象与直线y=k至多有两个不同的交点,则或 解得或则a=2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.已知定义在R上的函数f(x),对∀x∈R,都有f(x+4)=-f(x)+4,若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(4 050)= (　　) A.-2 B.-1 C.2 D.1 解析:因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,又f(x)的图象由f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到,所以f(x)的图象关于直线x=0对称,故f(x)为偶函数.因为f(x+4)=-f(x)+4,所以f(x+8)= -f(x+4)+4=-[-f(x)+4]+4=f(x),故f(x)是以8为一个周期的偶函数,所以f(4 050)=f(8×506+2)=f(2).由f(2)=f(-2+4)=-f(-2)+4=-f(2)+4,得f(2)=2,则f(4 050)=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 7.已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x=3,则函数f(x)的解析式可以是(　　) A.f(x)=x+ B.f(x)=ex-3+e3-x C.f(x)=x4-18x2 D.f(x)=|x2-6x| 解析:若f(x)的图象的对称轴方程为x=3,则f(6-x)=f(x),f(6-x)=6-x+≠f(x),故A错误;f(6-x)=e3-x+ex-3=f(x),故B正确;∵f(0)=0,f(6)=64-18×62=648,∴f(0)≠f(6),即f(6-x)=f(x)不恒成立,故C错误;f(6-x)=|(6-x)2-6(6-x)|=|x2-6x|=f(x),故D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 8.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上单调递增,且f(x+2)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,则 (　　) A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)<f(3) 解析:因为f(x+2)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1).因为f(x)在(-∞,2)上单调递增,所以f(-1)<f(1)=f(3),f(0)<f(1)=f(3). √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 9.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),在区间(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2),则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=2轴对称 C.在区间(2,3)上,f(x)单调递减 D.f>f 快审准解:根据对称性、周期性的定义可得f(x)的图象关于x=1轴对称,关于(2,0)中心对称,是以4为周期的周期函数,再由题意可得函数在区间(0,1)上单调递增,即可判断. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(2-x)=f(x),所以f(x)的图象关于x=1对称,f(2-x)=-f(-x),即f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为在区间(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2),所以f(x)在(0,1)上单调递增.因为f(4-x)=f[2-(x-2)]=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,故A正确,B错误;因为f(x)的图象关于x=1轴对称,关于(2,0)中心对称,且在(0,1)上单调递增,所以f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确;f=f=f<f,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 10.函数f(x)=|2x-1|+2图象的对称轴方程为　　　　.  解析:∵f(x)=|2x-1|+2=2+2,∴f(1-x)=2+2= 2+2=f(x),所以f(x)图象的对称轴方程为x=. x= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 11.已知函数y=(a,b∈R)的图象关于点(1,1)对称,则a+b=　　 .  解析:因为y===b+,所以函数y=的图象关于点(a,b)对称,因为函数y=(a,b∈R)的图象关于点(1,1)对称,所以a=1, b=1,所以a+b=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.若函数f(x)=(x2-2x)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,则f(x)的最小值为　　　　. 快审准解:根据函数图象的对称性,令f(x)=0,由对称性可知,方程x2+ax+b=0的两根分别为x1=-4,x2=-6,结合根与系数的关系可得a,b,得到解析式,再结合换元和二次函数性质得解. 解析:因为函数f(x)=(x2-2x)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,令f(x)=0,可得x2-2x=0,可得x=0或x=2,由对称性可知,方程x2+ax+b=0的两根分别 为x1=-4,x2=-6,由根与系数的关系可得可得 则f(x)=x(x-2)(x2+10x+24)=x(x-2)(x+4)(x+6),f(x)=(x2+4x)(x2+4x-12),令t=x2+ 4x=(x+2)2-4≥-4,h(t)=t(t-12)=t2-12t=(t-6)2-36,所以h(t)min=h(6)=-36. -36 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 四、解答题 13.已知函数f(x)=log2|x-2|+x2-4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性; 解:f(x)的图象关于直线x=2对称.证明如下: 由|x-2|>0,得x≠2,所以f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).因为f(2-x)= log2|x|+(2-x)2-4(2-x)=log2|x|+x2-4,f(2+x)=log2|x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+ x2-4,所以f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)求f(x)的单调区间. 解:设y1=log2|x-2|,y2=x2-4x,当x>2时,y1=log2|x-2|=log2(x-2)单调递增, y2=x2-4x也单调递增,故f(x)=log2|x-2|+x2-4x在(2,+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.给定函数f(x)=x-. (1)求函数f(x)图象的对称中心; 快审准解:设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),根据函数图象关于点对称的性质得到f(a+x)+f(a-x)-2b=0,代入求解即可得到a,b的值,从而得到对称中心; 解:设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),则f(a+x)+f(a-x)-2b=0, 即(x+a)-+(-x+a)--2b=0,整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(a+1), 于是a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0,解得a=b=-1, 所以f(x)图象的对称中心为(-1,-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)用定义证明f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性,并求f(x)在[1,5]上的值域; 快审准解:根据单调性定义证明,再根据所得单调性结合定义域求f(x)值域即可; 解:任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2), 因为x1-x2<0且1+>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)=x-在(-1,+∞)上单调递增. 所以f(x)在[1,5]上单调递增,故f(x)的值域为[-2,4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2.若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2)+m,求实数m的取值范围. 快审准解:由题意可知函数g(x)的值域是f(x)+m值域的子集,由(2)可知f(x)的值域, g(x)的值域可对二次函数分析得到,最终整合得到实数m的取值范围. 解:由于对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2)+m, 于是问题转化为g(x)在[0,2]上的值域是f(x)+m在[1,5]上值域的子集, 由g(x)在[0,1]上单调递增,图象又关于点(1,1)对称且经过点(1,1), 可知g(x)在(1,2]上也单调递增,故g(x)在[0,2]上单调递增,又g(0)=0,g(2)=2, 所以g(x)在[0,2]上的值域为[0,2]. 又f(x)+m在[1,5]上的值域为[-2+m,4+m], 所以[0,2]⊆[-2+m,4+m],所以解得-2≤m≤2,则m的取值范围是[-2,2]. $$