第2章 第十一节 函数与方程的综合应用（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第十一节 函数与方程的综合应用 明确目标 函数与方程的综合应用是高考的重点内容,要求能通过分析函数的性质,结合图象,研究函数的零点或方程的根等. 目录 题点一　根据函数零点存在情况求参数 题点二　函数零点的和、积问题 题点三　嵌套函数的零点问题 课时跟踪检测 3 题点一　根据函数零点存在情况求参数 [例1] (1)若函数f(x)=-m有零点,则实数m的取值范围是　　　　. 快审准解:将题目转化为函数y=与y=m的图象有交点, 再作出函数图象即可得到实数m的取值范围. 解析:函数f(x)=-m有零点,即函数y=与y=m的图象有交点,作出y=与 y=m的大致图象如图所示,由图可知0<m≤1,故实数m的取值范围是(0,1]. (0,1] (2)设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是　　 　　. 解析:画出函数g(x)=的图象如图所示, 函数f(x)=可由g(x)=分段平移 得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意; 当c<0时,代表图象向上平移,显然没有零点,不符合题意; 当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,函数有两个零点; 当2c≥1时,f(x)恰有一个零点,满足题意,即c≥. 综上,c的取值范围是{0}∪. {0}∪ 思维建模 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围 分离 参数法 将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决 数形 结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象, 然后数形结合求解 即时训练 1.(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)存在零点,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-5) B.(-5,-1) C.(1,5) D.(5,+∞) 解析:由y1=log2x在(0,+∞)上单调递增,y2=x2+m在(0,+∞)上单调递增,得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)=log2x+x2+m 在区间(1,2)存在零点,所以即解得-5<m<-1, 所以实数m的取值范围是(-5,-1). √ 2.(2025·珠海一模)已知函数f(x)=(a∈R) 在R上没有零点,则实数a的取值范围是　 　　　. (-∞,-1)∪{0} 解析:设g(x)= g(x)的图象如图所示.问题转化为g(x)与函数y=-a的图象没有交点,所以-a=0或 -a>1,解得a=0或a<-1. 题点二　函数零点的和、积问题 [例2]　(多选)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 √ √ √ 解析:函数f(x)=的图象如图所示. 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则0<t<1,则直线y=t与 函数y=f(x)的图象的4个交点的横坐标分别为x1,x2, x3,x4.对于A,因为函数y=-x2-2x的图象关于直线x=-1对称,所以x1+x2=-2,故A错误; 对于B,由图象知|log2x3|=|log2x4|且0<x3<1<x4,得-log2x3=log2x4,即log2(x3x4)=0,即x3x4=1,故B正确;对于C,由图象知t=|log2x3|∈(0,1),则0<-log2x3<1,得<x3<1, 所以x1+x2+x3+x4=x3+-2∈,故C正确;对于D,由图象知-2<x1<-1, 所以x1x2x3x4=x1(-2-x1)=--2x1∈(0,1),故D正确.故选BCD. 思维建模 求解有关函数的零点之和(积)问题的3个关键点 (1)判断两零点是否“轴对称”,一旦满足了对称性,两零点之和为定值; (2)判断两零点之积是否为定值; (3)以数形结合的方法确定零点的取值范围. 即时训练 3.(2024·烟台二模)已知函数f(x)=若f(x)=m 存在四个不相等的实根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则4x3+x1x2x4的最小值是　　　　. 4 解析:作出函数f(x)=与 y=m的图象如图所示,由图可得0<m<1, ∵f(x)=m存在四个不相等的实根x1,x2, x3,x4,可得x1<-1<x2<0<x3<1<x4, 可得ln(-x1)=-ln(-x2),x3=,即x1x2=1,x3x4=1,所以4x3+x1x2x4=4x3+x4= +x4≥2=4,当且仅当=x4,即x4=2时等号成立,则4x3+x1x2x4的 最小值是4. 题点三　嵌套函数的零点问题 [例3] (1)已知f(x)=|ex-1|-1,若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有三个零点,则a的取值范围为(　　) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(1,+∞) √ 解析:函数f(x)=|ex-1|-1的图象如图所示, 令f(x)=t,若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有三个零点, 方程h(t)=t2-at-1=0有一根在(-1,0)上, 一根在[0,+∞)上,则即 解得a>0;方程h(t)=t2-at-1=0有一根在(-1,0)上, 一根等于-1,则此时无解.综上,a>0,故选A. (2)(2025·青岛模拟)已知f(x)=则函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3的零点个数是　　　　. 快审准解:作出函数y=f(x)的图象,然后分解因式得到f(x)=或f(x)=,数形结合分析零点个数. 7 解析:函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3的零点即为方程4[f(x)]2-8f(x)+3=0的根,解得f(x)=或f(x)=.作出 函数y=f(x)的图象,如图所示.由图象知直线y=与y=f(x)的图象有4个交点,直线y=与y=f(x)的图象有3个交点,因此函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3的零点有7个. 思维建模 对于一般的y=f(g(x))的函数零点问题的解答步骤 (1)换元解套,令t=g(x),则y=f(t),从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数t=g(x)和y=f(t)的零点问题; (2)依次解方程,令f(t)=0解出t的值,然后代入方程g(x)=t中解出x的值. 而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合,抓住临界位置进行求解. 即时训练 4.(2024·合肥三模)设a∈R,函数f(x)=若函数y=f(f(x)) 恰有5个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-2,2) B.(0,2) C.[-1,0) D.(-∞,-2) √ 解析:设t=f(x),当x≥0时,f(x)=2|x-1|-1,此时t≥0,由f(t)=0得t=1,即f(x)=2|x-1|-1=1,解得x=0或x=2,所以y=f(f(x))在[0,+∞)上有2个零点;当x<0时,若a≥0,则f(x)=-x2+ax的对称轴为x=, 函数y=f(x)的大致图象如图1所示,此时f(x)=-x2+ax<0,即t<0, 则f(t)<0,所以f(t)=0无解,则t=f(x)无零点,y=f(f(x))无零点. 此时y=f(f(x))只有两个零点,不符合题意. 若a<0,此时f(x)的大致图象如图2所示,令-t2+at=0,解得t=a<0(t=0舍去),显然f(x)=a在(-∞,0)上存在唯一负解,所以要使y=f(f(x))恰有5个零点,需f>1,即-+>1,解得a<-2.综上,a∈(-∞,-2). 5.(2025·常州阶段质检)[多选]已知f(x)=(a>1), g(x)=[f(x)]2-mf(x),则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)有唯一零点 B.存在实数m使得函数g(x)有三个以上不同的零点 C.当m∈[1,+∞)时,函数g(x)恰有三个不同的零点 D.当m∈(-∞,0)∪(0,1)时,函数g(x)恰有两个不同的零点 √ √ √ 解析:作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示. 当x>0时,f(x)单调递减,且f(1)=0,f(x)只有一个零点; 结合函数的单调性求函数的零点 当x≤0时,f(x)>0,f(x)没有零点,所以函数f(x)有唯一零点,故A正确;由g(x)=0,得f(x)=0或f(x)=m,其中f(x)=0有唯一 实数根,而f(x)=m实数根的个数即为函数y=f(x)与 y=m图象交点的个数,由图可知,函数y=f(x)与y=m的图象至多有两个交点, 函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数 所以不存在实数m使得g(x)有三个以上不同的零点,故B错误;当m∈[1,+∞)时, 函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点,所以函数g(x)恰有三个不同的零点,故C正确;当m∈(-∞,0)∪(0,1)时,函数y=f(x)与y=m的图象有一个交点,所以函数g(x)恰有两个不同的零点,故D正确. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 一、单选题 1.若f(x)=x+2x+a的零点所在的区间为(-2,1),则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解析:因为f(x)=x+2x+a在R上单调递增,且零点所在的区间为(-2,1),所以只需f(-2)f(1)<0,即(a+1+2)<0,解得-3<a<. √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 2.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是 (　　) A.(0,3) B.[0,3] C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 解析:令f(x)=-x2+ax+4,则f(x)有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,由二次函数的图象可知,即 解得0<a<3. √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 3.若函数f(x)=ln x-+a在区间(1,e)上存在零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1) B. C. D. 解析:易知函数f(x)=ln x-+a在区间(1,e)上单调递增,依题意, 函数在区间(1,e)上存在零点,则由函数零点存在定理可得,f(1)=a-1<0,且f(e)=a+1->0,解得-1<a<1. √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 4.已知函数f(x)=cos x-a(x2+1),若f(x)在(-1,1)有唯一的零点,则a= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由于f(-x)=cos(-x)-a[(-x)2+1]=cos x-a(x2+1)=f(x),所以f(x)是偶函数,要使f(x)在(-1,1)有唯一的零点,则f(0)=0,即f(0)=1-a=0,解得a=1. √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 5.已知函数f(x)=方程f(x)=k有3个实数解, 则k的取值范围是(　　) A.(-4,-3] B.(-4,-3) C.(-3,0) D.(0,+∞) 解析:f(x)的图象如图所示,因为方程f(x)=k有3个实数解, 所以y=f(x)与y=k的图象有3个不同的交点,由图可知-4<k≤-3. √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 6.函数f(x)=ex-1-e1-x-的所有零点之和为(　　) A.0 B.2 C.4 D.6 解析:令f(x)=ex-1-e1-x-=0,得ex-1-e1-x=, g(x)=图象关于(1,0)对称,在(-∞,1),(1,+∞) 上单调递减.h(x)=ex-1-e1-x,令H(x)=h(x+1)=ex-e-x, H(-x)=e-x-ex=-H(x),所以H(x)是奇函数,图象关于 原点对称,所以h(x)图象关于(1,0)对称,h(1)=0,h(x)= ex-1-在R上单调递增,所以h(x)与g(x)有两个交点,两个交点关于(1,0)对称,所以函数f(x)=ex-1-e1-x-的所有零点之和为2. √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1, x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4等于 (　　) A.-12 B.-6 C.-8 D.4 √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x), ∴f(x)的周期T=8.又∵f(x)是R上的奇函数,∴由f(x-4)=-f(x),得f(4-x)=f(x),∴f(x)关于直线x=2对称,再结合f(x)在区间[0,2]上单调递增,作出函数大致图象,如图所示. 根据图象,可得x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8,故选C. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 8.已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-a有且只有1个零点, 则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1)∪[2,+∞) B.(-∞,0)∪[4,+∞) C.(-∞,1)∪[4,+∞) D.(-∞,1)∪[2,+∞) 解析:由函数f(x)=当x<0时,f(x)=3-f(-x)= 3-.作出f(x)的图象如图所示,令f(x)=t,t∈R,因为f(t)=a有且只有一个根,所以当t≥2时,对应的x只有一个解,此时f(t)≥4,即a≥4;当t<-1时,对应的x只有一个解,此时f(t)<1,即a<1.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1)∪[4,+∞). √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 二、多选题 9.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)-k=0,下列判断正确的是(　　) A.当k=1时,方程f(x)-k=0有3个不同的实数根 B.方程f(x)-k=0至少有2个不同的实数根 C.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根,则k的取值范围为(0,1] D.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围为[-1,+∞) √ √ √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 解析:方程f(x)-k=0根的问题可以转换成y=k和y=f(x)图象的交点问题,如图所示.对于A,由图象可知,当k=1时,方程f(x)-k=0有3个不同的实数根,故正确;对于B,当k<0时,结合图象可知,方程无解,故错误;对于C,由图象可知y=k和 y=f(x)的图象有3个交点时,k的取值范围为(0,1],故正确;对于D,假设x1<x2<x3,结合图象可知x1+x2=-2,x3≥1,所以x1+x2+x3≥-1,故正确.故选ACD. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 10.(2025·遵义模拟)已知函数f(x)=x,x∈[-1,1],函数g(x)=2x2-1,x∈[-1,1], 下列选项正确的是 (　　) A.方程f(g(x))=0无实数解 B.方程f(x)+g(x)=0有且仅有两个解 C.方程f(x)·g(x)=0有且仅有三个解 D.方程g(f(x))=0有且仅有四个解 快审准解:对于A,由题f(g(x))=0等价于g(x)=0,解方程g(x)=0即可判断;对于B, 直接解方程f(x)+g(x)=0即可判断;对于C,直接解方程(2x2-1)x=0,x∈[-1,1]即可判断; 对于D,由题g(f(x))=0等价于f(x)=±∈[-1,1],解方程f(x)=±∈[-1,1]即可得解. √ √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 解析:对于A,由题可知f(0)=0,故f(g(x))=0等价于g(x)=0,即2x2-1=0⇒x= ±∈[-1,1],故方程f(g(x))=0有实数解,故A错误;对于B,方程f(x)+g(x)=0,即2x2+x-1=0,x∈[-1,1],故(2x-1)(x+1)=0,解得x1=,x2=-1,故B正确;对于C,方程f(x)·g(x)=0,即(2x2-1)x=0,x∈[-1,1],故解方程(2x2-1)x=0,得x=0或x=±∈[-1,1],故C正确;对于D,因为g=0,所以方程g(f(x))=0等价于f(x)=±∈[-1,1],故由函数f(x)=x,x∈[-1,1],得方程f(x)=±的解为x=±,故D错误. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 11.已知函数f(x)=若存在实数m使得方程 f(x)=m有四个互不相等的实根x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则下列叙述正确的是(　　) A.0<m<1 B.f(x3+x4)=0 C.x1+x2<0 D.x3+f(x2)有最小值 √ √ √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 解析:根据题意画出图象,如图所示.由图象可得0<m<1,故A正确;因为x3,x4是x2-4x+4-m=0的两个实数根,所以x3+ x4=4,即f(x3+x4)=f(4)=4,故B错误; 因为1-=-1且x1<x2,即+=2, 所以+=2>2,即<20,x1+x2<0,故C正确;因为f(x2)=f(x3)=m, 所以x3+f(x2)=x3+f(x3)=-3x3+4=+,又1<x3<2,因此x3=时取得最小值, 故D正确. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 三、填空题 12.已知函数y=f(x)=则函数y=f(f(x))的所有零点之和为　 . 解析:∵f(x)=0⇒x=0或x=1,∴f(f(x))=0⇒f(x)=0或f(x)=1,由f(x)=0⇒x=0或x=1, 由f(x)=1⇒x=2,∴0,1,2为函数y=f(f(x))的零点,∴函数y=f(f(x))的零点之和为3. 3 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 13.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a 恰有三个实数根,则a的取值范围为　　　　. (0,1] 解析:关于x的方程f(x)=a恰有三个实数根等价于函数y=f(x)与y=a的图象的交点个数为3, y=f(x)的图象如图所示.由图可知当0<a≤1时, 两函数图象有3个交点,所以a的取值范围为(0,1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a(x+3) 有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　 　　. (0,4-2) 解析:设y=a(x+3),该直线恒过点(-3,0),方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,如图作出函数y=f(x)的图象,结合函数图象,则a>0,所以直线y=a(x+3)与曲线y=-x2-2x,x∈(-2,0)有两个不同的公共点,所以x2+(2+a)x+3a=0在(-2,0)上有两个不等实根, 令g(x)=x2+(2+a)x+3a,实数a满足 解得0<a<4-2. 13 $$