第2章 第十二节 函数的模型及其应用（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第十二节 函数的模型及其应用 明确目标 1.在实际情境中,会选择合适的函数模型来刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、 一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长” “直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0) “对勾”函数模型 f(x)=x+(a>0) 2.三种函数模型的性质 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的单调性 单调______ 单调______ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大,逐渐表现为与_____平行 随x的增大,逐渐 表现为与_____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax 递增 递增 y轴 x轴 典题细发掘 1.(人A必修①P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是 (　　) A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 √ 解析:当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).故该商人共获最大利润为40+80=120(万元). 2.(苏教必修①P150T2改编)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中, 测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟 末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,同时小明发现可以用指数型 函数S=ae-kt(a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量,则k= (　　) A.ln 2 B.ln 3 C. D. 解析:由题意可得,当t=0时,S=a=7,因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,所以3.5=7e-5k,解得k=. √ 3.(人B必修②P40例2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是 (　　) A.f(x)>g(x)>h(x) 　 B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) 　 D.f(x)>h(x)>g(x) 解析:在同一平面直角坐标系内,根据函数图象变化趋势,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). √ 课堂·题点精研 02 题点一　图表型函数的实际应用问题(自主练通) 1.某工厂近6年来生产某种产品的情况:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是 (　　) 解析:∵前3年年产量的增长速度越来越快,∴当0≤t≤3时,总产量增长速度越来越快,图象上升的速度越来越快.又后3年年产量的增长速度保持不变,∴当3<t≤6时,图象的上升速度不变,图象为直线型,且c随t的增大而增大.只有A符合. √ 2.函数f(x)的数据如下表,则该函数的解析式可能形如 (　　) A.f(x)=ka|x|+b B.f(x)=kxex+b C.f(x)=k|x|+b D.f(x)=k(x-1)2+b 解析:由函数f(x)的数据可知,f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),偶函数满足此性质,可排除B、D;当x>0时,由函数f(x)的数据可知,函数f(x)增长越来越快,可排除C.故选A. x -2 -1 0 1 2 3 5 f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 √ 3.[多选]某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试(一轮测试时长为6小时),得到了剩余电量y(单位:百分比)与测试时间t(单位:h)的函数图象如图所示,则下列判断正确的有 (　　) A.测试结束时,该手机剩余电量为85% B.该手机在前5 h内电量始终在匀速下降 C.该手机在0 h~3 h内电量下降的速度比3 h~5 h内下降的速度更快 D.该手机在5 h~6 h进行了充电操作 √ √ √ 解析:对于A,由题图可得,当t=6时,y=85,所以测试结束时,该手机剩余电量为85%,故A正确;对于B,由题图可得该手机在前5h内电量下降不是一条直线,故不是匀速下降,故B错误;对于C,由题图可得,在0 h~3 h内电量下降的速度为=,在3 h~5 h内电量下降的速度为=10,>10,故C正确;对于D,由题图可得该手机在5 h~6 h电量上升了55%,所以进行了充电操作,故D正确. 思维建模 解决图表型函数的实际应用问题的策略 (1)明确横轴、纵轴的意义,分析其在题目中的具体含义; (2)由图象判断出函数模型; (3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点 (最小值点)及折线的拐点等; (4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题,根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势进行求解. 题点二　已知函数模型解决实际问题(自主练通) 1.(2025·襄阳一模)某公司引进新的生产设备投入生产,新设备生产的产品可获得的总利润s(单位:百万元)与新设备运行的时间t(单位:年,t∈N*)满足s=当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时,新设备运行的时间t=(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 √ 解析:由题意,新设备生产的产品可获得的年平均利润y== 当t<8时,2t+≥28,当且仅当t=7时,等号成立,则-2t-+50≤22,所以当t=7时, 取得最大值,且最大值为22.当t≥8时,-t2+10t-2=-(t-5)2+23,所以函数在[8,+∞)上单调递减,所以当t=8时,取得最大值,且最大值为14,故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时,新设备运行的时间t=7. 2.(2024·九江二模)已知火箭在t时刻的速度为v(t)(单位:千米/秒),质量为m(t)(单位:千克),满足v(t)=v0+uln(u为常数),v0,m0分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量m0=1 000千克,其中包含燃料质量为500千克,初始速度为v0=0,经过t1秒后的速度v(t1)=2千米/秒,此时火箭质量m(t1)=800千克,当火箭燃料耗尽时的速度大约为(ln 2≈0.69, ln 5≈1.61)(　　) A.4　　 B.5　　 C.6　　 D.7 解析:由题意,可得2=uln=uln,设火箭燃料耗尽时速度为v,则v=uln=uln 2, 两式相除得v=2×=≈=6. √ 3.[多选]把某种物体放在空气中,若该物体原来的温度是θ' ℃,空气的温度是θ0 ℃,则t min后该物体的温度θ ℃满足θ=θ0+(θ'-θ0).若θ0,θ'不变,在t1 min,t2 min后该物体的温度分别为θ1℃,θ2℃,且θ1>θ2,则下列结论正确的是(　　) A.t1>t2 B.t1<t2 C.若θ'<θ0,则t1>t2 D.若θ'>θ0,则t1<t2 解析:因为θ=θ0+(θ'-θ0),所以t=-4ln.若θ'>θ0,则f(θ)=-4ln是减函数,因为θ1>θ2,所以t1<t2;若θ'<θ0,则f(θ)=-4ln是增函数,因为θ1>θ2,所以t1>t2. √ √ 思维建模 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. 题点三　构造函数模型解决实际问题 [典例]　某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年(n∈N*)花在该台运输车上的维护费用总计为(n2+3n)万元,该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?(即总收入减去成本及维护费用的差为正值) 解:由题意可得23n-49-(n2+3n)>0,即n2-20n+49<0,解得10-<n< 10+,∴n≥3, ∴该车运输3年开始盈利. (2)若该车运输若干年后,处理方案有两种: ①当年平均盈利达到最大值时,以17万元的价格卖出; ②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 解: ①当年平均盈利达到最大值时,以17万元的价格卖出, =20-≤20-2=6,当且仅当n=7时,取等号, ∴方案①最后的利润为23×7-49-(49+21)+17=59(万元); ②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出, 23n-49-(n2+3n)=-n2+20n-49=-(n-10)2+51, ∴当n=10时,盈利总额最大,∴方案②最后的利润为51+8=59(万元). 两个方案的利润都是59万元,按照时间成本来看,第一个方案更好,因为用时更短, ∴方案①较为合算. 思维建模 构造函数模型解决实际问题的步骤 建模 抽象出实际问题的数学模型 推理、演算 对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解 评价、解释 对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解 即时训练 1.(2025·长沙模拟)2024年中国载人航天工程统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务,其中,中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比,当空间站运行周期增加1倍时,其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据:ln 2≈0.693, e0.462≈1.587) (　　) A.1.587 B.1.442 C.0.587 D.0.442 解析:空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比,设T2=kR3,当空间站运行周期增加1倍时,设此时半径为R1,则(2T)2=k,两式相除得4=,即ln 4=ln,ln =≈0.462,故≈e0.462≈1.587,故圆轨道半径增加的倍数 大约是1.587-1=0.587. √ 2.某水库有a万条鱼,计划每年捕捞一些鱼,假设水库中鱼不繁殖,只会因捕捞而减少鱼的数量,且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时,所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡,鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止,水库里鱼的剩余数量为原数量的. (1)求每年捕捞的鱼的数量的百分比; 解:设每年捕捞的鱼的数量的百分比为x,由题意可得a(1-x)6=a-a, 即(1-x)6=,解得x=1-, 则每年捕捞的鱼的数量的百分比为1-. (2)到今年为止,该水库已捕捞了多少年? 解:设到今年为止,该水库已捕捞了t年,则a(1-x)t=a, 所以==, 所以=,解得t=3, 即到今年为止,该水库已捕捞了3年. (3)今年之后,为了保证水库的生态平衡,最多还能捕捞多少年? 解:设今年之后,最多还能捕捞n年,则n年后,水库里鱼的剩余数量为a(1-x)n. 由题意可得a(1-x)n≥a,则≥, 所以≤,解得n≤9, 故今年之后,最多还能捕捞9年. 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 一、单选题 1.现有一组关于速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的实验数据如表: t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律, 其中最接近的一个是 (　　) A.v=log2t B.v=lot C.v= D.v=2t-2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析:从题表中数据的变化趋势看,函数递增的速度不断加快.A项,是对数函数模型,其递增速度越来越慢,不符合题意;B项,随着t的增大,速度变小,不符合题意;C项,是二次函数模型,对比数据,其最接近实验数据的变化趋势,符合题意;D项,是一次函数模型,增长速度不变,不符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 2.某同学从家到学校需经过一处红绿灯,某天这位同学骑车上学,一路匀速行驶到红绿灯处正好遇上红灯,停留了90秒,然后加速行驶至学校.在这一过程中,该同学行驶的路程s与时间t的函数图象可能是 (　 ) 解析:这位同学骑车上学,开始时匀速行驶,其图象是过原点的一条斜线;遇上红灯,停留了90秒,其图象是平行于横轴的一条线段;然后加速行驶至学校,其图象是倾斜程度越来越大的曲线.由选项可知,B符合题意. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 3.某校学生在研究折纸试验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时, 便不能继续对折了.在理想情况下,对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足n≤log2.一张长边长为26 cm,厚度为0.01 cm的矩形纸最多能对折的次数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:由题意得n≤log2=log22 600.因为11<log22 600<12,所以< log22 600<8,故n≤7.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 4.(2025·重庆模拟)遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现,描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”,得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(小时)的大致关系:y=1-0.6x0.06,则记忆率为20%时经过的时间约为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　　) A.80小时 B.90小时 C.100小时 D.120小时 解析:根据题意得=1-0.6x0.06,整理得=x0.06,两边取以10为底的对数, 得lg=0.06lg x,即2lg 2-lg 3=0.06lg x.又lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以lg x≈ =2=lg 100,得到x≈100. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力值”都在前一天的基础上进步2%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么,大约需要经过　　 　　天,甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据:lg 102≈2.008 6,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0) (　　)  A.85 B.100 C.150 D.225 解析:令甲和乙刚开始的“日能力值”为1,则n天后,甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n,(1-1%)n,依题意可得=20,即=20,两边取对数得nlg =lg 20,因此n=≈≈100,所以大约需要经过100天,甲的“日能力值”是乙的20倍. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 二、多选题 6.(2025·郑州一模)溶液酸碱度是通过pH来计量的,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升,则纯净水的pH是7.当pH<7时,溶液呈酸性,当pH>7时,溶液呈碱性,当pH=7(例如:纯净水)时,溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5~8.5之间,则下列选项正确的是(参考数据:lg 2≈0.3) (　　) A.若苏打水的pH是8,则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升 B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH是1.6 C.若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍,则海水的pH是8.6 D.若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升,则该种水适合饮用 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析:若苏打水的pH是8,则pH=-lg[H+]=8,所以[H+]=10-8,即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升,所以A正确;若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则pH=-lg(2.5×10-2)=-lg 2.5-lg 10-2=2-(lg 10-lg 4)= 1+2lg 2≈1.6,所以B正确;若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍,则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7=10-8.6摩尔/升,因此pH=-lg 10-8.6=8.6,即海水的pH是8.6,所以C正确;若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升,则pH=-lg(4×10-7)=-lg 4-lg 10-7=7-2lg 2≈6.4,而6.4不在6.5~8.5范围内,即该种水不适合饮用,所以D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 7.(2025·长沙模拟)氚,亦称超重氢,是氢的同位素之一,它的原子核由一个质子和两个中子组成,并带有放射性,会发生β衰变,其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·,其中N0表示氚原有的质量,则(参考数据:lg 2≈0.301)(　　) A.t=12.43log 2 B.经过24.86年后,样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后,样本中氚元素的含量为0.4N0,则x>16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析:由题意N=N0·,得=,两边同时取对数得log2=-, 故得t=-12.43log2,故A错误;当t=24.86时,N=N0·=2-2·N0=N0,故B错误;当t=62.15时,N=N0·=2-5·N0=N0,故经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的,故C正确;由题意得0.4N0=N0·,化简得x=-12.43log2= -12.43log2=-12.43(log22-log25)=-12.43(1-log25)=-12.43= -12.43,将lg 2≈0.301代入其中,可得x≈-12.43≈ 16.44>16,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 三、填空题 8.一个动力船拖动载重量相等的小船若干只,在两个港口之间来回运货.若拖4只小船,则每天能往返16次;若拖7只小船,则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大,则每次拖　　　　只小船. 解析:设每日每次拖x只小船,每天往返y次,每只小船的载重量为M, 每天的运货总重量为G,由题意设y=kx+b,则解得 所以y=-2x+24.所以每天运货总重量为G=Mxy=Mx(-2x+24)=-2M(x-6)2+ 72M,所以当x=6,y=12时,G取得最大值72M,即每次拖6只小船,可使得每天运货总量最大. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 9.(2025·梅州模拟)某科创公司新开发了一种溶液产品,但这种产品含有2%的杂质,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,现要进行过滤.已知每过滤一次杂质含量减少,要使产品达到市场要求,对该溶液过滤的最少次数为　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  解析:设至少需要过滤n次,则0.02×≤0.001,即≤, 两边取对数,可得nlg≤lg,所以n≥=≈7.4.又因为n∈N*, 所以n≥8,所以要使产品达到市场要求,对该溶液过滤次数最少为8次. 8 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 10.为弘扬“中国女排精神”,加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习,某同学以初速度v0=12 m/s竖直上抛一排球,该排球能够在抛出点2 m以上的 位置最多停留时间为　　 s(保留两位小数).(注:若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h=v0t-gt2,其中g=9.8 m/s2, ≈25.59)  解析:由题意,竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h=v0t-gt2,因为v0=12 m/s,所以h=12t-×9.8t2.令h=2,可得12t-×9.8t2=2,即49t2-120t+20=0,所以t1+t2=,t1t2=,所以|t1-t2|==≈2.09 s.所以排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为2.09 s. 2.09 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 四、解答题 11.近年来城市交通拥堵严重,某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作,成为市民出行的常用交通工具.据观测,出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(千米/小时)(注:国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系: Q(v)=(0<v≤25). 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 (1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时,求v的取值范围; 解:电动自行车流量不少于10千辆/小时,即Q(v)=≥10, 化简可得v2-58v+400≤0,解得8≤v≤50. 又因为最高设计时速为25千米/小时,故8≤v≤25, 所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时,v的取值范围应为[8,25]. 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 (2)当电动自行车流量Q最大时,求v的值并估计最大流量(精确到0.1). 解:Q(v)==,由基本不等式可得v+≥2= 2=40, 当且仅当v=,即v=20时取等号.此时电动自行车流量有最大值,最大值为Q(v)==≈14.3,故当平均速度为20千米/小时时,电动自行车流量最大,最大值约为14.3千辆/小时. $$