第2章 第三节 函数的奇偶性与周期性（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三节 函数的奇偶性与周期性 明确目标 1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的奇偶性、周期性解决一些简单的问题. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且____________,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_____对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且____________,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_____对称 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且______________,那么函数y=f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数,那么这个___________就叫做f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小正数 最小 解题结论拓展 1.函数奇偶性的3个性质 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0; (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|); (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性的3个常用结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (2)若f(x+a)=,则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (3)若f(x+a)=-,则2a(a>0)是f(x)的一个周期. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数,其中为奇函数的是(　　) A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 解析:对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,同理可知f(x)=x5,f(x)=x+是奇函数,f(x)=是偶函数. √ √ 2.(人B必修①P115T4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则 (　　) A.f(x)+g(x)是奇函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 　 D.f(g(x))是偶函数 解析:因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠ -[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数,故A错误; 因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确; 因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)≠f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,不是偶函数,故C错误;因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确. √ √ 3.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 023)=　　　　.  解析:由题意知f(2 023)=f(3×674+1)=f(1),而f(-1)=2f(10)+3,所以f(-1)= 2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3,即3f(-1)=3,解得f(-1)=1,故f(2 023)=f(1)=-1. -1 二、易错小题的警醒训练 1.函数f(x)=|x+1| 是　　　　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)  解析:因为f(x)有意义,则满足≥0,所以-1<x≤1,所以f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数. (易错点:忽视定义域) 非奇非偶 2.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的 解析式为　　　　　　　　　　　　. 解析:设x<0,则-x>0,由题意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1,因为f(x)是R上的 奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.综上所述,f(x)= (易错点:忽视自变量0的函数值) f(x)= 12 课堂·题点精研 02 题点一　判断函数的奇偶性(自主练通) 1.(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析:法一:通解　对于A,f(-x)==≠f(x),故f(x)不是 偶函数;对于B,f(-x)===f(x),故f(x)是偶函数;对于C, f(x)的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数;对于D, f(-x)===-=-f(x),故f(x)是奇函数.故选B. √ 法二:性质法　易知y=x2+1与y=e|x|均为偶函数,且恒为正.对于A,由于y=ex-x2是非奇非偶函数,所以f(x)也是非奇非偶函数;对于B,y=cos x+x2是偶函数,所以f(x)是偶函数;对于C,易知f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数;对于D,y=sin x+4x是奇函数,所以f(x)是奇函数,故选B. 谨记结论:记住一些常见函数的奇偶性,对我们提高解题速度很有帮助.常见的偶函数有y=ax+a-x(a>0且a≠1),y=cos x,y=x2n(n∈Z),y=|x|等; 常见的奇函数有y=ax-a-x,y=sin x,y=tan x,y=x2n+1(n∈Z),y=loga, y=loga(x+)等,其中a>0且a≠1. 2.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3-; 解:原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-=-=-f(x), 从而函数f(x)为奇函数. (2)f(x)=; 解:由得-2<x<2, 即函数f(x)的定义域是{x|-2<x<2},关于原点对称. 因此f(x)==lg(4-x2), 所以f(-x)=f(x), 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)=+; 解:f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)f(x)= 解:如图,作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 思维建模 判断函数奇偶性的方法 定义法 先判断定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系:若f(-x)=f(x),则y=f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则y=f(x)是奇函数 数形结合 若函数图象关于原点对称,则函数是奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数是偶函数 性质法 在公共定义域内有奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇 题点二　函数奇偶性的应用 [例1] (1)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025,2 025]上的最大值为M, 最小值为m,则M+m等于(　　) A.0　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.3 解析:由题意知,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,令g(x)=f(x)-1= x5+2x3+3x,则函数g(x)为奇函数,∴g(x)在区间[-2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0,即M-1+m-1=0,∴M+m=2. √ 谨记结论:若f(x)是定义在区间D上的奇函数,且有最值,则 ①f(x)max+f(x)min=0; ②若g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c,g(x)max+g(x)min=2c. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.D.1 解析:法一　设g(x)=ln,易知g(x)的定义域为∪, 且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x),所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a) ln 为偶函数,则y=x+a也应为奇函数,所以a=0,故选B. 法二　因为f(x)=(x+a)ln 为偶函数,f(-1)=(a-1)·ln 3,f(1)=(a+1)ln= -(a+1)ln 3,所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3,解得a=0,故选B. √ (3)(2024·景德镇三模)已知函数f(x)=是奇函数,则x>0时, g(x)的解析式为(　　) A.-　　 B.　　 C.-2x　 　D.2x 解析:设x>0,则-x<0,所以f(-x)==2x.又函数f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=2x⇒f(x)=-2x,x>0,即g(x)=-2x. √ 思维建模 函数奇偶性可解决的问题及解题方法 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上, 再利用奇偶性的定义求出 求参数 根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而求出参数的值 即时训练 1.已知函数f(x)=a+是奇函数,则f(2)=(　　) A.-　　 B.-　 　C.　　 D. 解析:因为函数f(x)=a+是R上的奇函数,所以f(0)=0,即1+a=0,解得a=-1.当a=-1时,f(-x)=-1+=-1+==1-=-f(x), f(x)为奇函数,满足题意,所以f(x)=-1+,故f(2)=-. √ 2.设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是 (　　) A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|-1<x<0,或x>1} 解析:∵当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1单调递增,又∵f(x)为偶函数,故可以作出f(x)的大致图象如图所示.由图象可知,若f(x)>0,则x<-1或x>1. √ 3.已知函数f(x)的定义域为R.设函数g(x)=f(x)+e-x,函数h(x)=f(x)-5ex,若g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,则f(x)的最小值为 (　　) A.e B.2 C.2 D.2e 解析:由g(x)是偶函数,得g(-x)=f(-x)+ex=g(x)=f(x)+e-x,即f(-x)+ex=f(x)+e-x.由h(x)是奇函数,得h(-x)=f(-x)-5e-x=-h(x)=-f(x)+5ex,即f(-x)-5e-x=-f(x)+5ex, 联立解得f(x)=2e-x+3ex≥2,当且仅当2e-x=3ex, 即ex=时,等号成立. 习得方略:涉及两个奇、偶函数的和与差的函数,求其解析式时,需要用-x代替x后利用奇、偶函数的性质列方程组求解. √ 题点三　函数的周期性及应用 [例2] (1)(2024·榆林二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-,当x∈(2,4)时,f(x)=1+log3x,则f(99)=(　　) A.1 B.2 C.- D.-2 解析:因为f(x+2)=-,所以f(x+4)=-=-=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(99)=f(3+4×24)=f(3)=1+log33=2. √ (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1), 则函数f(x)在[2,4]上的解析式为　　　 　　　　　. 解析:根据题意,设x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],则有4-x∈[0,2],又x∈[0,2]时, f(x)=log2(x+1),则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x).又f(x)是周期为4的偶函数, 所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4]. f(x)=log2(5-x),x∈[2,4] 思维建模 与周期性有关的解题策略 (1)求解与函数周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 即时训练 4.已知函数f(x)满足f(1)>0,f(2)=1,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(50)= (　　) A.-1　　 B.0　　 C.1　　 D.2 解析:令y=2,可得f(x)=f(x+2)+f(x-2),则f(x+2)=f(x+4)+f(x)=f(x+4)+ f(x+2)+f(x-2),即f(x+4)=-f(x-2),即f(x+6)=-f(x),所以f(x+12)=f(x), 函数f(x)是周期为12的周期函数,则f(50)=f(2)=1.故选C. √ 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(-x),则f(1 000)=　 . 解析:函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0,又由f(x)=-f(-x)和f(x+2)=-f(-x), 可得f(x+2)=f(x),可得函数f(x)的周期为2,则f(1 000)=f(0)=0. 关键点拨:如果T是函数f(x)的周期,那么kT(k∈N*)也是函数的周期,一般求周期是指求最小正周期. 0 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=log3x,则f(-3)=(　　) A.-1　　 B.0　　 C.1　　 D.2 解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log3x. 所以f(-3)=-f(3)=-log33=-1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设f(x)是定义在R上周期为2的函数,当x∈(-1,1)时, f(x)=则f等于(　　) A.-7　　 B.1　 　C.　　 D.7 解析:∵f(x)在R上的周期为2,∴f=f=-4×+2=1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.(2024·宝鸡三模)已知函数f(x)=x·为偶函数,则a=(　　) A.-1　　 B.-　 　C.　 　D.1 解析:由f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x)恒成立,则f(-1)=f(1),即-1·= a+,可得a=-,经验证满足f(-x)=f(x)恒成立. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.(2024·重庆三模)已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)+f(2-x)=0,则f(20)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.±1 解析:由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(-x)=-f(x),且f(0)=0.由f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,得f(2-x)=-f(x),则有f(2-x)=f(-x),可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,故f(20)=f(0)=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f(3m-7)>0,则m的取值范围为 (　　) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析:当x≥0时,由函数y=x(x+2)图象的对称轴为x=-1,知f(x)在[0,+∞)上单调递增.又函数f(x)在x=0处连续,且f(x)是定义域为R的奇函数,故f(x)在R上单调递增.因为f(-x)=-f(x),由f(3+m)+f(3m-7)>0,可得f(3+m)>f(7-3m),又f(x)在R上单调递增,所以3+m>7-3m,解得m>1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.(2025·贵阳阶段练习)已知函数f(x)=,且满足f(m2)+f(m-2)>0,则实数m的取值范围是(　　) A.(1,+∞) 　　　 B.(-∞,-2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) 　　 D.(-2,1) 快审准解:先用定义法证明f(x)为奇函数,化简f(x)解析式可知f(x)为增函数,然后结合函数的奇偶性与单调性解不等式即可. √ 解析:易知f(x)的定义域为R.因为f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数, 又因为f(x)==1-,所以f(x)为R上的增函数.因为f(m2)+f(m-2)>0, f(x)为奇函数,所以f(m2)>-f(m-2)=f(2-m).又f(x)为R上的增函数,所以m2>2-m,即m2+m-2>0,解得m<-2或m>1,所以实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 7.下列函数是偶函数的是(　　) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x 解析:由题意,四个函数定义域都是R,在f(x)=x+sin 2x中,f(-x)=-x+sin(-2x)= -x-sin 2x=-f(x),是奇函数;在g(x)=x2-cos x中,g(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=g(x),是偶函数;在h(x)=2x+中,h(-x)=2-x+=2x+=h(x),是偶函数;在w(x)=x2+sin x中, w(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sin x≠±w(x),∴y=x2+sin x既不是奇函数,也不是偶函数. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)=f(x+2),且当x∈[0,1]时, f(x)=x,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.f(2 026)=0 D.x∈[-1,0)时,f(x)=x 解析:因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确; 又f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2为周期的周期函数,故B正确;f(2 026)=f(2×1 013)= f(0)=0,故C正确;设x∈[-1,0),则-x∈(0,1],所以f(-x)=-x,又f(x)是偶函数, 则f(x)=-x,即当x∈[-1,0)时f(x)=-x,故D错误.故选ABC. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 9.(2025·重庆模拟)函数f(x)=,g(x)=ln(-3x),那么(　　) A.f(x)+g(x)是偶函数 　 B.f(x)·g(x)是奇函数 C.是奇函数 　 D.g(f(x))是奇函数 √ √ 解析:因为f(x)的定义域为R,且f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数. 因为g(x)的定义域为R,且g(-x)+g(x)=ln(+3x)+ln(-3x)= ln[(+3x)·(-3x)]=ln 1=0,即g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以f(x)+g(x)为非奇非偶函数,A错误;f(-x)·g(-x)=-[f(x)·g(x)],所以f(x)·g(x)为奇函数,B正确;==-,所以是奇函数,C正确;令H(x)=g(f(x)), H(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=H(x),H(x)为偶函数,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 10.已知f(x)=是奇函数,则a=　　　.  解析:由题意得f(-x)=-f(x),即=-,所以=-,故eax-x=ex,所以ax-x=x,解得a=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 11.(2025·安康模拟)已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(-x+3),当x∈[0,2]时, f(x)=x2-2x,则f(23)=　　　　.  解析:由题意,得f(-x)=-f(x),在f(x-1)=f(-x+3)中,以x+1替换x,得f(x)= f(-x+2)(*),以x+2替换(*)式中的x,得f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x), 故4为函数f(x)的一个周期.所以f(23)=f(4×6-1)=f(-1)=-f(1)=-(1-2×1)=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.黎曼函数是一个特殊的函数,由德国数学家波恩哈德·黎曼 发现并提出,在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上, 其解析式为R(x)= 若函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且对任意x都有f+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f-f=　　　. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:由f(2+x)+f(x)=0,得f=-f(x),则f=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)的周期为4,因为函数f(x)是定义在实数集上的偶函数, 所以f(-ln 2)=f(ln 2), 因为ln 2∈(0,1)为无理数,所以f=0, 又f=f=R=, 所以f-f=0-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 四、解答题 13.已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n). (1)求证:f(n)是周期函数,并求出其周期; 解:证明:∵f(n+2)=f(n+1)-f(n), ∴f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)=[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=-f(n), ∴f(n+6)=-f(n+3)=-[-f(n)]=f(n), ∴f(n)是周期函数,周期为6. (2)若f(1)=1,f(2)=3,求f(800)的值. 解:∵f(n)是周期为6的函数,且f(1)=1,f(2)=3,∴f(800)=f(133×6+2)=f(2)=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D, 有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; 解:因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0. (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; 解:f(x)为偶函数.证明如下: 令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x, 有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,求x的取值范围. 解:依题意有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)< 2⇔f(|x-1|)<f(16). (注意:如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|)) 又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}. $$