第2章 第七节 指数与指数函数（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第七节 指数与指数函数 明确目标 1.通过对有理数指数幂（a>0,m,n为正整数，且n>1）、实数指数幂ax（a>0,x∈R）含义的理解，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.培优 创新发展 04.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.根式 (1)概念 式子 叫做_____,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质 ① _____没有偶次方根; ②0的任何次方根都是0,记作= _____; ③()n=a(n∈N*,且n>1); ④ =a(n为大于1的奇数); ⑤=|a|=(n为大于1的偶数). 根式 负数 0 2.分数指数幂 (1)正分数指数幂:=_______(a>0,m,n∈N*,n>1). (2)负分数指数幂:=______=______(a>0,m,n∈N*,n>1). (3)0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂没有意义. 0 3.指数幂的运算性质 (1)aras=_____ (a>0,r,s∈R). (2)(ar)s=_____ (a>0,r,s∈R). (3)(ab)r=_____ (a>0,b>0,r∈R). 4.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. ar+s ars arbr 5.指数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为____;值域为_________ 图象过定点______,即当x=____时,y=____ 当x>0时,恒有____;当x<0时,恒有______ 当x>0时,恒有______;当x<0时,恒有____ 在R上为增函数 在R上为减函数 R (0,+∞) (0,1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 6.指数函数的常用技巧 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (3)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (4)指数函数在同一平面直角坐标系中图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中0<c<d<1<a<b. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是(　　) A.=2-π B.a= C.= D.(=x9 解析:对于A,2-π<0,所以 =π-2,错误;对于B,因为->0,所以a<0,则a=-(-a)·=-,错误;对于C,==,正确;对于D, (=x9-2=x7,错误. √ 2.(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点 (　　) A. B. C.(1,2) D. 解析:由题意设f(x)=ax,则f(-1)=a-1=2,所以a=,f(x)=,故f(3)=. √ 3.(人A必修①P116“探究”结论的应用:指数函数的图象变换)函数y=2x+1的图象是 (　　) 解析:易知函数y=2x+1是增函数,可排除B、D;又当x=0时,y=2,故选A. √ 4.(人A必修①P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7, 则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析:易得1.70.3>1,y=0.9x在定义域内是减函数,则b<c<1, 故a>c>b. 5.(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为　　　　. 解析:因为|x|≥0,所以3|x|≥1,所以f(x)≥2. √ [2,+∞) 二、易错小题的警醒训练 1.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的最大值和最小值的和为,则a的值为(　　) A. B. C. D.或 解析:当0<a<1时,函数f(x)=ax在[-2,2]上单调递减,则f(x)max+f(x)min= f(-2)+f(2)=+a2=,解得a=;当a>1时,函数f(x)=ax在[-2,2]上单调递增, 则f(x)max+f(x)min=f(2)+f(-2)=a2+=,解得a=.综上,a=或a=.故选D. (易错点:忽略对底数分类讨论) √ 2.已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是 (　　) A.[2,4] B.(-∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 解析:令t=2x(t>0),则y=t2-3t+3=+,其图象的对称轴为直线t=.当x∈[2,4]时,t∈[4,16],此时y∈[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]时, t∈(0,1],此时y∈[1,3),不满足题意;当x∈(0,1]∪[2,4]时,t∈(1,2]∪[4,16],此时y∈∪[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]∪[1,2]时,t∈(0,1]∪[2,4],此时y∈[1,7],满足题意.故选D. (易错点:忽视函数值域的隐含条件) √ 课堂·题点精研 02 题点一　指数幂的运算(自主练通) 1.(2025·盐城开学考试)[多选]下列选项正确的是 (　　) A.=a B.若a∈R,则(a2-a+1)0=1 C.=+y D.= 解析:当n为偶数时,=|a|,故=a不一定成立,故A错误; a2-a+1=+≠0,故(a2-a+1)0=1,故B正确;C显然不成立, 如当x=y=1时,左边为,右边为2,故C错误;==,故D正确. √ √ 2.(2024·南平二模)对任意非零实数α,当|x|充分小时,(1+x)α≈1+αx.如==2≈2×=2.25,用这个方法计算 的近似值为(　　) A.1.906　　B.1.908　　C.1.917　　D.1.919 解析:===2=2= 2≈2≈1.917. √ 3.设实数a,b满足2a+41-b=8,则a-2b的最大值为 (　　) A.2 B.2+ C.2 D.3 快审准解:利用换元法,结合基本不等式进行求解即可. 解析:令a-2b=t⇒a=2b+t,则有8=2a+41-b=22b+t+22-2b≥2 ⇒16≥22+t⇒2+t≤4⇒t≤2,当且仅当22b+t=22-2b,即a=2,b=0时取等号. √ 4.已知a=-,b=,则÷=　　　　. 解析:因为÷=×= ×=,又a=-,所以原式== =. 思维建模 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一. 题点二　指数函数的图象及应用 [例1] (1)已知函数f(x)=(x-a)·(x-b)(a>b)的图象如图所示,则g(x)=ax-b的图象可能是(　　) √ 解析:根据函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象可知a>1>b>0,再由指数函数的图象及性质可知,g(x)=ax-b单调递增,可排除A、B;且与y轴交点为(0,1-b),又1>b>0,所以1-b∈(0,1),即交于y轴正半轴上,排除D.故选C. (2)函数y=|2x-m|+m在(-∞,2]上的最大值为4,则m的取值范围是　　 　 　. 快审准解:分m≤0,0<m≤2,m>2,利用图象平移的性质结合指数函数计算即可. (-∞,2] 解析:如图①,当m≤0时,函数y=|2x-m|+m的图象是由y=2x的图象向上平移|m|个单位长度后,再向下平移|m|个单位长度得到的,函数图象还是y=2x的图象,满足题意;如图②,当0<m≤2时,函数y=|2x-m|+m图象是由y=2x的图象向下平移m个单位长度后,再把x轴下方的图象对称到上方,再向上平移m个单位长度,根据图象可知0<m≤2满足题意;如图③,当m>2时,不合题意. 思维建模 应用指数函数图象的技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论. 即时训练 1.[多选]已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为 (　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 解析:由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示,由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故A正确;作出直线y=k,当k>1时,若3a=6b=k,则0<b<a,故B正确;作出直线y=m,当0<m<1时,若3a=6b=m,则a<b<0,故C正确;当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b=6b,故D错误. √ √ √ 2.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　. 解析:y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的.当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是. 题点三　指数函数的性质及应用 √ 考法(一)　比较大小 [例2]　 (1)(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析:法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0, 所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1.因为函数g(x)=0.6x是减函数, 且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.故选D. 法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5, 所以1.010.6>1.010.5,即b>a.因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D. (2)若ea+πb≥e-b+π-a,下列结论一定成立的是 (　　) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 解析:因为ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb(*),令f(x)=ex-π-x, 则f(x)是R上的增函数,(*)式即为f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0. √ 思维建模 比较指数式大小的方法 (1)直接法:当指数式的底数相同时,直接运用指数函数的单调性比较. (2)转化法:当指数式的底数不同时,利用幂的运算法则将底数统一. (3)中间量法:当指数式的底数不同且不能化为同底时,可利用中间量“1”进行比较. 考法(二)　解简单的指数不等式 [例3]　(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=-2+a,其图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则f(x)>的解集为(　　) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) √ 解析:根据题意知a=1,则函数f(x)=-2+1=-21-|x|+1,所以f(x)= -21-|x|+1>⇒2-1>21-|x|,当x>0时,2-1>21-x,又因为y=2x单调递增,所以可得x>2;当x<0时,2-1>21+x,又因为y=2x单调递增,所以可得x<-2.综上可得f(x)>的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞). 思维建模 解指数不等式的常用方法 (1)性质法:解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法:解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解. (3)图象法:解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解. 考法(三)　指数函数性质的综合应用 [例4]　(2025·肇庆一模)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1, b≠0)的图象经过点A(1,10),B(2,50). (1)求a,b的值; 快审准解:把A,B两点坐标代入函数解析式,求a,b的值; 解:由函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,10),B(2,50),得 解得 (2)若关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解,求m的取值范围. 快审准解:证明函数g(x)=bx-在[-2,2]上单调递增,有g(2)≥m+3,可求m的取值范围. 解:由(1)得a=5,b=2. 令g(x)=bx-=2x-,因为函数y=2x在[-2,2]上单调递增, 函数y=在[-2,2]上单调递减, 所以g(x)在[-2,2]上单调递增, 所以g(x)在[-2,2]上的最大值为g(2)=22-=. 因为关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解,所以m+3≤,解得m≤, 即m的取值范围为. 思维建模 指数型函数的应用技巧 (1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断,其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解. (2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1),一般要通过换元,令ax=t,化为函数y=g(t),再研究其各种性质. 即时训练 3.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 解析:易知c===,又y=在定义域上单调递减,<1<, 所以b>>c.易知y=(x>0)单调递增,>>,则a=>>=b.综上a>b>c. √ 4.若不等式<恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,+∞) 　　B. 　　C. 　　D. 解析:因为不等式<恒成立,即<恒成立,所以x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2-(2a-3)x+a2>0恒成立,所以Δ=(2a-3)2-4a2<0,即(2a-3+2a)(2a-3-2a)<0,解得a>,所以实数a的取值范围是. √ 5.(2025·太原模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=a·3x-3-x,且f(-1)=. (1)求a的值,并求出f(x)的解析式; 解:因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=3a-=,解得a=1. 当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=3-x-3-(-x)=3-x-3x, 所以函数f(x)的解析式为f(x)= (2)若λf(x)-9x-9-x-14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求λ的取值范围. 解:由(1)知,当x>0时,f(x)=3x-3-x>0, 因为λf(x)-9x-9-x-14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立, 所以λ≤==3x-3-x+. 又3x-3-x+≥2=8, 当且仅当3x-3-x=,即x=log3(+2)时等号成立, 所以λ≤8,即λ的取值范围是(-∞,8]. 培优 创新发展 03 指数函数的综合问题 1.(指、对函数与充分、必要条件)“2a>1,log2b>1”是“2a+b>4”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由2a>1可得a>0,由log2b>1可得b>2,由2a+b>4可得a+b>2, 所以由“2a>1,log2b>1”推得出“2a+b>4”,故充分性成立;由“2a+b>4” 推不出“2a>1,log2b>1”,如a=0,b=3,满足2a+b>4,但是2a=1,故必要性不成立.所以“2a>1,log2b>1”是“2a+b>4”的充分不必要条件. √ 2.(指、对函数与基本不等式)数学中,悬链线指的是一种曲线,是两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条,在重力的作用下所具有的曲线形状,它被广泛应用到现实生活中,比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等.在合适的坐标系中,这类曲线可用函数f(x)=aex+be-x(其中a,b为非零常数,e=2.718 28…)来表示,当f(x)取到的最小值为2时,下列说法正确的是 (　　) A.此时x=ln a B.此时a+b的最小值为2 C.此时2a+2b的最小值为2 D.此时ln aln b的最小值为0 √ 解析:函数f(x)=aex+be-x,a,b为非零常数,ex>0,e-x>0,由f(x)取到的最小值为2,得a>0,b>0.对于A,aex+be-x≥2=2=2,则ab=1,当且仅当aex=be-x,即e2x==时取等号,此时ex=,x=-ln a,A错误; 对于B,a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,B正确; 对于C,2a+2b≥2=2≥4,当且仅当a=b=1时取等号,C错误; 对于D,ln aln b≤==0,当且仅当a=b=1时取等号,D错误. 3.(指、对、幂函数与排列组合)已知集合A=,若a,b, c∈A且互不相等,则使得指数函数y=ax,对数函数y=logbx,幂函数y=xc中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是(　　) A.16　　 B.24　　 C.32　　 D.48 解析:若y=ax和y=logbx在(0,+∞)上单调递增,y=xc在(0,+∞)上单调递减, 则有=4个;若y=ax和y=xc在(0,+∞)上单调递增,y=logbx在(0,+∞)上单调递减,则有=8个;若y=logbx和y=xc在(0,+∞)上单调递增,y=ax在(0,+∞)上单调递减,则有=8个;若y=ax,y=logbx和y=xc在(0,+∞)上单调递增,则有=4个.综上所述,共有4+8+8+4=24个. √ 4.(指数函数的开放性问题)若对任意m,n∈R,函数f(x)满足f(m)f(n)=f(m+n),且当m>n时,都有f(m)<f(n),则函数f(x)的一个解析式是　　 　　　　　　. 解析:由题意,可取f(x)=.函数f(x)=是减函数,满足当m>n时,都有f(m)<f(n),因为f(m)f(n)=·==f(m+n),所以函数f(x)=满足题意. f(x)=(答案不唯一) 5.(新定义问题)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义,由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混浊理论中,函数的周期点是一个关键概念,定义如下:设f(x)是定义在R上的函数,对于x∈R,令xn=f(xn-1)(n=1,2,3,…),若存在正整数k使得xk=x0,且当0<j<k时,xj≠x0,则称x0是f(x)的一个周期为k的周期点.若f(x)=ex-1,写出一个f(x)周期为1的周期点　　　　. 解析:若f(x)=ex-1,x∈R,当k=1时,x1=f(x0)==x0,因为直线y=x与y=f(x)的图象只有一个交点(1,1),所以x0=1是f(x)的一个周期为1的周期点. 1 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 04 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 一、单选题 1.函数f(x)=ax-2+1(其中a>0,a≠1)的图象恒过的定点是(　　) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,1) D.(1,2) 解析:令x-2=0,得x=2,f(2)=2,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知a=1.050.6,b=0.60.8,c=0.60.4,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 解析:依题意,得a=1.050.6>1.050=1,b=0.60.8<0.60.4=c, 又c=0.60.4<0.60=1,所以a>c>b. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 3.已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示, 其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　　) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析:由图象可知,函数f(x)为减函数,从而有0<a<1. 法一　由f(x)=ax-b的图象,知函数与y轴交点的纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0<a-b<1,即0<a-b<a0,解得b<0. 法二　函数f(x)的图象可看作是由y=ax(0<a<1)的图象向左平移得到的,则-b>0,即b<0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 4.设函数f(x)=在区间(0,1)上单调递增,则a的取值范围是(　 ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析:y=在R上单调递减,由复合函数单调性可知,t=x(x-a)=x2-ax=-在(0,1)上单调递减,则≥1,解得a≥2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=则不等式f(2-x)>f(x)的解集为(　　) A.(-∞,-1) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 解析:当x≥0时,y=21+x单调递增,当x<0时,y=-21-x单调递增,且在分界点处-21-0<21+0,所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以f(2-x)>f(x)⇔2-x>x,解得x<1,所以不等式的解集为(-∞,1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 6.已知函数f(x)=在区间(2,3)上单调递减,则正实数a的取值范围为(　　) A.(0,1) B. C. D. 解析:根据题意,令t=,由正实数a知,函数t=单调递减,因为f(x)在区间(2,3)上单调递减,则f(x)=单调递增,且t= ≥0,所以解得0<a≤,故a的取值范围是. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 7.(2025·安康模拟)已知正数a,b满足aea=bln b=2,则 (　　) A.a<1<b B.a<b<1 C.a>1>b D.a>b>1 快审准解:由已知可得ea=且ln b=,分别作出相关的函数图象即可求解. 解析:由aea=bln b=2,得方程ex=的实根为a,方程ln x=的实根为b,在同一平面直角坐标系下画出y=ex,y=ln x,y=的图象,显然a<1<b. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 8.(2024·北京西城三模)已知函数f(x)=2x,若∀x1,x2∈R,且x1<x2,则下列结论错误的是 (　　) A.f(x1)<f(x2) B.f< C.f(x1x2)=f(x1)+f(x2) D.f(x1+x2)=f(x1)f(x2) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增,又x1<x2,所以f(x1)<f(x2),故A正确;因为>0,>0,所以=≥ ==f,又x1<x2,所以上式取不到等号,所以>f,故B正确;f(x1x2)=, f(x1)+f(x2)=+,∀x1,x2∈R,x1<x2,f(x1x2)≠f(x1)+f(x2),故C错误;f(x1+x2)= ,f(x1)f(x2)=·==f(x1+x2),故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 9.(2024·岳阳三模)已知函数f(x)=不存在最小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0) 　 B. C.(-1,0)∪ D.∪(1,+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:当a<0时,若x<a,则f(x)=ex+a在(-∞,a)上单调递增,所以a<f(x)<ea+a.若x≥a,则f(x)=x2+2ax=(x+a)2-a2≥-a2,当且仅当x=-a时取等号,因为f(x)不存在最小值,所以-a2>a,所以-1<a<0;当a≥0时,若x<a,则f(x)=ex+a在(-∞,a)上单调递增,所以a<f(x)<ea+a.若x≥a,则f(x)=x2+2ax=(x+a)2-a2≥f(a)=3a2,当且仅当x=a时取等号,因为f(x)不存在最小值,所以3a2>a,所以a>.综上,实数a的取值范围是(-1,0)∪,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 二、多选题 10.已知函数f(x)=,下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的值域为(0,1) C.不等式f(x)>的解集是(0,+∞) D.f(x)是增函数 快审准解:根据f(0)=≠0即可判断A;根据e-x+1>1即可判断B; 解不等式e-x<1即可判断C;根据函数y=1+e-x的单调性判断D. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:因为函数f(x)的定义域为R,且f(0)=≠0,所以函数f(x)的图象 不关于原点对称,故A错误;因为e-x+1>1,所以f(x)=∈(0,1),故B正确;由f(x)=>,可得e-x<1,则-x<0,解得x>0,故C正确;对任意的x∈R, y=1+e-x>1,且函数y=1+e-x在R上单调递减,故函数f(x)是增函数,故D正确. 故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 11.已知函数f(x)=,则(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0,2] C.函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增 D.f()>f(4) 解析:令u=x2+4x+3=(x+2)2-1,则u∈[-1,+∞).f(x)的定义域为R,故A正确;因为y=,u∈[-1,+∞)的值域为(0,2],所以函数f(x)的值域为(0,2],故B正确;因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在[-2,+∞)上单调递增,且y=在[-1,+∞)上单调递减,所以根据复合函数单调性法则,得函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,故C不正确;由于函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,所以f()>f(4),故D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 三、填空题 12.已知实数a满足a+a-1=3,则a3+a-3=　　　　. 解析:a3+a-3=(a+a-1)(a2-a·a-1+a-2)=(a+a-1)[(a+a-1)2-3]=18. 18 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 13.若函数f(x)=的图象与平行线y=m,y=n,m≠n有且仅有三个交点,则实数m+n的取值范围是　　 　　. 解析:f(x)=的图象如图所示,不妨设m>n,因为f(x)=的图象与平行线y=m,y=n,m≠n有且仅有三个交点,所以由图可知m=1,0<n<1,所以1<m+n<2,即实数m+n的取值范围是(1,2). (1,2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 四、解答题 14.如果函数y=+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值. 解:令ax=t,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去); 当0<a<1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,又函数y=(t+1)2-2在上单调递增, 所以ymax=-2=14,解得a=或a=-(舍去). 综上,a=3或a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 15.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; 解:因为定义域为R的函数f(x)=是奇函数, 所以f(0)==0,解得b=1,即f(x)=. 又由f(-1)=-f(1),可得=-,解得a=1,所以f(x)=. 经检验a=1,b=1符合题意,所以a=1,b=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (2)求该函数的值域; 解:由(1)知,f(x)==-1,可得函数f(x)为减函数. 又因为2x∈(0,+∞),可得2x+1∈(1,+∞), 所以∈(0,2),所以f(x)∈(-1,1), 所以函数f(x)的值域为(-1,1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 解:对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,因为函数f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2). 又因为函数f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立, 又由3t2-2t=3-≥-,得k<-, 所以实数k的取值范围为. $$