第2章 第九节 函数的图象（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第九节 函数的图象 明确目标 1.会画简单的函数图象,理解函数图象的作用,能准确识别函数的图象. 2.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,具体步骤如下: (1)确定函数的________; (2)化简______________; (3)讨论函数的_______(奇偶性、单调性、周期性、对称性等); (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 定义域 函数解析式 性质 2.利用图象变换法作函数图象 续表 续表 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(北师大必修①P56例3改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(　　) A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) √ 解析:题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧部分翻折到y轴右侧,y轴左侧部分不变得来的,∴题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|). 2.(人A必修①P140T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (　 ) 解析:依题意知,在2 h内血液中药物含量Q持续增加,停止注射后, Q呈指数衰减,图象B符合. √ 3.(苏教必修①P111T3改编)若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)=　　　　. 解析:由f(-1)=ln(-1+a)=0,得a=2.又直线y=ax+b过点(-1,3),所以2×(-1)+b=3,得b=5.故当x<-1时,f(x)=2x+5,则f(-3)=2×(-3)+5=-1. -1 二、易错小题的警醒训练 1.已知函数f(x)=则函数f(1+2x)的图象是(　　) 解析:由题意得,当1+2x≥0,即x≥-时,f(1+2x)=2+2x;当1+2x<0,即x<-时, f(1+2x)=-2x-1,所以f(1+2x)=故选B. √ (易错点:混淆分段函数的分类标准) 2.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象. 解析:y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度,是将f(-x)中的x变成x-1,即得到y=f(-x+1)的图象. y=f(-x+1) (易错点:函数图象平移法则理解不清) 课堂·题点精研 02 题点一　作函数的图象(自主练通) 作出下列函数的图象: (1)y=; 解:先作出y=的图象,保留图象中x≥0的部分,再作出y=的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y=的图象,如图①实线部分. (2)y=|log2(x+1)|; 解:将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②. (3)y=x2-2|x|-1; 解:因为y=且函数为偶函数,所以先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,如图③. (4)y=. 解:原函数解析式可化为y=2+,故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图④. 思维建模 函数图象的画法 直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 转化法 含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象 图象 变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形.应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 题点二　函数图象的辨识 [例1] (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)·sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(　　) √ 解析:由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex) sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称, 排除A、C;f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1+->0,排除D.故选B. (2)(2025·滁州模拟)心形代表浪漫的爱情,人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型,呈现出优雅的弧度,心形木屋融入山川、河流、森林、草原,营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形,这个图形可看作由两个函数的图象构成,则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为 (　　) A.y=|x| B.y=x C.y= D.y= √ 解析:y|x=1=>1,故A错误;记f(x)=x,则f(-x)=-x=-f(x),故f(x)为奇函数,不符合题意,故B错误;记h(x)=,则h(-x)==h(x), 故y=为偶函数,当x≥0时,y===, 此函数在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,且h(0)=0,h(1)=1,h(2)=0,故C正确;记g(x)=,则g(-x)=≠-g(x),故g(x)既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意,故D错误. 思维建模 1.函数图象识别的常用方法 (1)特殊点法:根据已知函数的解析式选取特殊的点,判断选项中的图象是否经过这些点; (2)函数性质法:根据选项中图象的特点,结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项,有时需要借助导数工具求解; (3)极限思想:应用极限思想来处理,达到巧解妙算的效果,使解题过程费时少,准确率高; (4)图象变换法:熟练掌握图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换等,便可破解此类问题. 2.由函数图象判断函数解析式的方法 若已知函数的图象,求解函数解析式,则根据函数图象的特征来判断函数的定义域和值域及函数的奇偶性和单调性、特殊点(特殊值)等. 即时训练 1.已知函数f(x)=则下列图象错误的是(　　) √ 解析:法一　当-1≤x≤0时,f(x)=-2x, 表示一条线段,且线段经过(-1,2)和(0,0)两点.当0<x≤1时,f(x)=,表示一段曲线,函数f(x)的图象如图所示.f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,故A正确;f(-x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到,故B正确;由于f(x)的值域为[0,2],故f(x)=|f(x)|,故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同,故C正确;很明显D中f(|x|)的图象不正确. 法二　因为f(1)=1,所以f(|1|)=f(1)=1,所以y=f(|x|)的图象过点(1,1),但D中的图象不过(1,1),故D错误. 2.如图所对应的函数的解析式可能是 (　　) A.f(x)=(x-1)ln|x| B.f(x)=xln|x| C.f(x)=(x-1)ln x D.f(x)=(x-1)ex(x≠0) 解析:由题图可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),而C选项中函数的定义域为(0,+∞),故排除C;对于B,由f(x)=xln|x|,f(-x)=-xln|x|,所以f(-x)=-f(x),即函数为奇函数,排除B;对于D,当0<x<1时,x-1<0, ex>0,所以f(x)=(x-1)ex<0,排除D. √ 题点三　函数图象的应用 考法(一)　研究函数的性质 [例2]　(多选)已知函数f(x)=f(-x),且f(x)的对称中心为(1,0),当x∈[2,3]时, f(x)=3-x,则下列选项正确的是(　　) A.f(x)的最小值是-1 B.f(x)在(-3,-2)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=-2对称 D.f(x)在(3,4)上的函数值大于0 快审准解:根据函数的性质以及x∈[2,3]时,f(x)=3-x可得函数的部分图象,进而结合图象即可求解. √ √ 解析:根据f(x)=f(-x)可得f(x)为偶函数,由f(x)的对称中心为(1,0),可知f(x)的图象关于(1,0)对称,结合当x∈[2,3]时,f(x)=3-x,可画出f(x)的部分图象如图所示.由图象可知f(x)的最小值是-1,f(x)在(-3,-2)上单调递增,f(x)的图象关于直线x=-2对称,f(x)在(3,4)上的函数值小于0,故A、C正确,B、D错误.故选AC. 思维建模 利用函数图象研究函数性质的思路 对于已知解析式或易画出在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质. (1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值. (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性. (3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性. 考法(二)　解不等式 [例3]　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A.(-,0)∪(,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2) D.(-2,-)∪(0,)∪(2,+∞) √ 解析:根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象如图所示, 由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,等价于或解得x<-2或 <x<2或-<x<0.故不等式的解集为(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2). 思维建模 利用函数的图象解不等式的基本思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题,从而利用数形结合法求解. 考法(三)　求参数的取值范围 [例4]　(2024·北京昌平二模)已知函数f(x)= 若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0]　　B.[-4,0]　　C.[-3,0]　　D.(-∞,2] 解析:由f(x)=令g(x)=|f(x)|, 作出g(x)图象,如图所示,令h(x)=ax,由图知,要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则必有a≤0,当x≤0时,令y1=x2-4x,由消去y,得x2-(4+a)x=0,由Δ=0,得(4+a)2=0,即a=-4,由图可知-4≤a≤0,故选B. √ 思维建模 求解函数图象应用问题的思维流程 即时训练 3.把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,+∞)上单调递增,则a的最大值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度,得到函数g(x)=ln|x+2-a|的图象,则函数g(x)在(a-2,+∞)上单调递增,又因为所得函数在(0,+∞)上单调递增,所以a-2≤0,即a≤2.所以a的最大值为2. √ 4.已知函数f(x)=则不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为(　　) A.(-∞,-1) B. C. D.(-∞,-1)∪ 解析:作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 由图象可知,y=f(x)在R上单调递减,由f(2a2-1)> f(3a+4),可得2a2-1<3a+4,解得-1<a<,所以不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为. √ 5.[多选]设f(x)=则下列选项正确的是(　　) A.若y=f(x)与y=a,a∈R的图象有两个交点,则a∈(1,+∞) B.若y=f(x)与y=a,a∈R的图象有三个交点,则a∈(0,1] C.0≤f(x)≤1的解集是[-2,0]∪[4,+∞) D.0≤f(f(x))≤1的解集是(-∞,-3]∪(0,1] √ √ √ 解析:函数f(x)的图象如图所示.由图可知, 若y=a与f(x)有两个交点,则a∈(1,+∞),故A正确;若y=a与f(x)有三个交点,则a∈(0,1],故B正确;若0≤f(x)≤1,则x∈[-2,0]∪[4,+∞),故C正确;由C知,若0≤f(f(x))≤1,则f(x)∈[-2,0]∪[4,+∞),所以x∈(-∞,-3]∪{-1}∪(0,1],故D错误. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.要得到函数y=22x-1的图象,只需将指数函数y=4x的图象(　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:因为y=4x=22x,22x-1=,所以为了得到函数y=22x-1的图象,只需将指数函数y=4x的图象向右平移个单位长度,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数f(x)=1-的图象大致为(　　) 解析:函数f(x)=1-的图象是将函数y=-的图象先向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到;又由于函数y=-的图象关于原点中心对称,所以f(x)=1-的图象关于(-1,1)中心对称,所以C正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.函数f(x)=的大致图象是(　　) 解析:易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠±1}.因为f(-x)==-,所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除A;易知当x>1时,f(x)>0,排除C;因为f=, f=,所以f<f,排除D.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 反思领悟:观察B、D,发现它们的主要区别是当x∈(-1,0)∪(0,1)时, f(x)的图象在y轴两侧的变化趋势不同,故联想到利用特殊值进行检验. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的图象大致为(　　) 解析:法一　作出函数y=f(x)的图象,如图1所示. 作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形,可得到y=f(-x)的图象,如图2所示. 再将y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度, 即可得到y=f(1-x)的图象,故选B. √ 注意不要误以为是向左平移1个单位长度,把y=f(1-x)中x的系数提出来,变为 y=f(-(x-1)),利用口诀“左加右减”, 即可知应当向右平移1个单位长度 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 法二　作出函数y=f(x)的图象,如法一中图1所示.将函数y=f(x)的 图象关于直线x=作对称图形,即可得到y=f(1-x)的图象,故选B. 注意y=f(x)与y=f(a-x)的图象关于直线x=对称的应用 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 法三　由f(x)=得g(x)=f(1-x)= g(0)=e0-1=0,即函数g(x)的图象经过原点,排除A、C.当x≥0时,g(x)=e-x-1单调递减,排除D.故选B. 也可以利用当x≥0时,g(x)=e-x-1≤0排除D 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)>0的解集是 (　　) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D. ∅ 解析:不等式f(x)>0⇔log2(x+1)>|x|,分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象,如图所示.由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|有两个交点,分别是(0,0)和(1,1),由图象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0,1),即不等式f(x)>0的解集是(0,1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.若·x3=ln x2·x3=1,则下列不等关系一定不成立的是(　　) A.x3>x2>x1 B.x3>x1>x2 C.x2>x1=x3 D.x2>x1>x3 快审准解:由·x3=ln x2·x3=1,可得=ln x2=,作出函数y=ex,y=ln x(x>1), y=(x>0)的图象,作出直线y=m(m>0),变换m的值即可得出答案. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:因为·x3=ln x2·x3=1,所以=ln x2=.由>0,得x2>1,x3>0, 作出函数y=ex,y=ln x(x>1),y=(x>0)的图象,同时作出直线y=m(m>0),如图所示,变换m的值可以发现x3>x2>x1,x2>x1=x3,x2>x1>x3均能够成立,x3>x1>x2不可能成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为 (　　) A.　　 B.　　 C.　　 D.1 解析:法一:分类讨论法① 由于f(x)=x+a与f(x)=ln(x+b)同是增函数,且x+a与ln(x+b)乘积不小于0,所以采用分类讨论的策略解题 易知函数f(x)的定义域为(-b,+∞),令x+a=0,得x=-a,令ln(x+b)=0得x=1-b.有以下两种情况: 当x∈(-b,1-b]时,ln(x+b)≤0,要满足题意,需使x+a≤0,故1-b+a≤0;当x∈[1-b,+∞)时,ln(x+b)≥0,要满足题意,需使x+a≥0,故1-b+a≥0.从而-a=1-b, 两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积都大于等于0或小于等于0,则两个函数的零点一定相等 则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 法二:数形结合法　分别作出y=x+a与y=ln(x+b)的图象,如图(1),图(2)所示. 若要(x+a)ln(x+b)≥0,只有-a=1-b时符合,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 8.若函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析:由函数f(x)的部分图象可知,f(x)为偶函数,故排除A、D; 当0<x<1时,f(x)>x,当x>1时,f(x)<x,故B、C符合题意. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 9.已知函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x>0时,f(x)=x(x-1),则下列说法正确的是 (　　) A.函数y=f(x)与x轴有2个交点 B.当x<0时,f(x)=-x(x+1) C.不等式f(x)<0的解集是(0,1) D.∀x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤ √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数y=f(x)与x轴有三个交点-1,0,1,A错误;当x<0时, -x>0,f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1),∴f(x)=-f(-x)=-x(x+1), B正确;由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1),C正确; 当x∈[-1,1]时,f(x)max=f=,f(x)min=f=-,所以∀x1,x2∈[-1,1], |f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=,D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:因为f(x)为R上的增函数且f(0)=-1,f(3)=1,不等式|f(x)|<1,即-1<f(x)<1,所以0<x<3,即|f(x)|<1的解集是(0,3). 三、填空题 10.已知f(x)为R上的增函数,且其部分图象如图所示,那么|f(x)|<1的解集是　　　　. (0,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 11.已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是　　 　　. (0,1)∪(1,4) 解析:y==作出函数y=与y=kx-2的图象如图所示, ∵函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,∴0<k<1或1<k<4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知曲线C:y=x3-,两条直线l1,l2均 过坐标原点O,l1和C交于M,N两点.l2和C交于P,Q两点.若△OPM的面积为,则△MNQ的面积为　 　 　. 2 解析:由于点(x,y)和点(-x,-y)都在曲线y=x3-,x≠0上,所以曲线C的图象关于原点对称,当x>0时,函数y=x3- 单调递增,由此画出曲线C的大致图象如图所示,两条直线l1,l2均过坐标原点O,所以M,N两点关于原点对称,P,Q两点关于原点对称,根据对称性,不妨设M,N,P,Q位置如图,可知|OP|=|OQ|,|OM|=|ON|,∠POM=∠QON,所以△OPM ≌△OQN,所以S△OQN=S△OPM=,而△OQM和△OQN等底等高,面积相同,所以S△OQM=,所以S△MNQ=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 四、解答题 13.已知函数f(x)=2x-ax+1(a∈R). (1)若a∈Z,且f(4)>0,求a的最大值; 解:因为函数f(x)=2x-ax+1(a∈R), 所以f(4)=24-4a+1>0,即a<, 又a∈Z,所以a的最大值为4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)当a=3时,求函数f(x)的零点; 解:当a=3时,f(x)=2x-3x+1,由f(x)=2x-3x+1=0,可得2x=3x-1. 作出函数y=2x与y=3x-1的图象,如图1所示. 由图可知y=2x与y=3x-1的图象有两个交点, 即函数f(x)有两个零点.又因为f(1)=2-3+1=0,f(3)=23-3×3+1=0, 故函数f(x)的零点为1,3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (3)若对任意x∈(-∞,1)都有f(x)>0,求a的取值范围. 解:因为对任意x∈(-∞,1)都有f(x)>0, 所以2x>ax-1在(-∞,1)上恒成立, 即当x∈(-∞,1)时,函数y=2x的图象恒在直线y=ax-1的上方, 作出函数y=2x,x∈(-∞,1)与y=ax-1的大致图象,如图2所示. 则a≥0,且a-1≤2,所以0≤a≤3, 即a的取值范围为[0,3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.已知函数f(x)=. (1)证明:当0<a<b且f(a)=f(b)时,ab>1; 解:证明:函数f(x)=的图象可由y=-的图象向上平移1个单位长度,然后保留x轴上交点以及其上方部分不变,将x轴下方部分翻折到x轴上方得到,其图象如图所示.由0<a<b且f(a)=f(b)知, 0<a<1,b>1,f(a)==-1,f(b)==1-, 则由f(a)=f(b),得+=2.由于a+b>2, (因为0<a<b,故等号不成立) 故2=+=>=,∴>1,即ab>1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)若存在实数a,b,使得函数f(x)在[a,b]上的值域为[ma,mb](m≠0),求实数m的取值范围. 解:由题意可知m>0. 由f(1)=0,可知当a=1或b=1时,必有ma=0,不合题意; 当a∈(0,1),b∈(1,+∞)时,1∈[a,b],而f(1)=0∈[ma,mb],与ma>0矛盾, ∴a,b∈(0,1)或a,b∈(1,+∞). 当a,b∈(0,1)时,由f(x)单调递减知,f(a)=mb,f(b)=ma,即-1=mb, -1=ma,得a=b,不合题意; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 当a,b∈(1,+∞)时,由f(x)单调递增知,f(a)=ma,f(b)=mb, 即1-=ma,1-=mb, 即ma2-a+1=0,mb2-b+1=0, ∴a,b是方程mx2-x+1=0的两个不相等实根,且这两根均大于1, ∴Δ=1-4m>0且m-1+1>0,>1, 解得0<m<. 综上,实数m的取值范围是. $$