第2章 第八节 对数与对数函数（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第八节 对数与对数函数 明确目标 1.理解对数的概念与运算性质,用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数,能灵活转换对数与指数的关系. 2.了解对数函数的实际意义,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 3.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.培优 创新发展 04.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.对数的概念 定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作_________,其中____叫做对数的底数, ____叫做真数 性质 loga1=____,logaa=____,logaax=____,其中a>0,且a≠1;负数和0没有对数 x=logaN a N 0 1 x 2.对数的运算 运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 loga(MN)=________________; loga=_______________; logaMn=________(n∈R) 换底公式 logab=______,logab·logba=1,lobn=logab(a>0,且a≠1; b>0;c>0,且c≠1,m>0,n>0) 对数恒等式 =N(a>0且a≠1,N>0) logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 3.对数函数的定义 一般地,函数____________________叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是_________. y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) 4.对数函数的图象与性质   0<a<1 a>1 图象 定义域 _________ 值域 R (0,+∞) 性质 过定点______,即x=1时,y=0 当x>1时, ______; 当0<x<1时, ______ 当x>1时, ______; 当0<x<1时, ______ 在(0,+∞)上是________ 在(0,+∞)上是________ 续表 (1,0) y<0 y>0 y>0 y<0 减函数 增函数 5.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线______对称. y=x 6.对数函数常用技巧 (1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (2)对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)以y轴为渐近线;g(x)=logax+b恒过定点(1,b),仍以y轴为渐近线. (3)作对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象应抓住三个点,(1,0),(a,1). (4)在同一平面直角坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象愈靠近x轴;当0<a<1时,对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)(对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ) 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(湘教必修①P126T17(1))下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A.y=x　　B.y=lg x　　C.y=2x　　D.y= 解析:函数y=10lg x的定义域和值域都为(0,+∞),只有D符合题意. √ 2.(北师大必修①P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,则 (　　) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 解析:因为a=log0.90.8>log0.90.81=2,b=log0.80.9<log0.80.8=1, 所以a>2>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2,故1<c<2.故选D. √ 3.(人A必修①P127T7 lobn=logab结论的应用) 计算:log89×log2732=　　　　. 解析:原式=lo32×lo25=log23×log32=. 4.(人A必修①P132“探究”结论的应用:同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分越远离y轴的对数函数的底数越大) ,,, 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,已知a的取值为,,,,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是　　　　　　. 解析:当a>1时,对数函数y=logax的图象是上升的;当0<a<1时,对数函数y=logax的图象是下降的.对数的底数越大,对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向,故曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是,,,. 5.(人A必修①P140T1改编)函数y=的定义域为　 　. 解析:要使函数有意义,则需满足解得<x≤1. 二、易错小题的警醒训练 1.若loga<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是　 　　　. 解析:当0<a<1时,loga<logaa=1,所以0<a<;当a>1时,loga<logaa=1,所以a>1. 综上所述,实数a的取值范围是∪(1,+∞). (易错点:忽视对底数的讨论) ∪(1,+∞) 2.已知log0.72m<log0.7(m-1),则实数m的取值范围是　　　 　. 解析:∵log0.72m<log0.7(m-1),∴解得m>1. (易错点:忽略对数函数的定义域) (1,+∞) 课堂·题点精研 02 题点一　对数的运算(自主练通) 1.(2025·广州模拟)若log2m+log4n=2,则m2n= (　　) A.3 B.4 C.9 D.16 解析:因为log2m+log4n=2,所以log2m+log2n=2,故log2m+log2=log24, 化简得log2=log24,所以m=4,故m2n=16. √ 2.(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 解析:由题意,得=2.1,=3.15.若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=. √ 3.若2x=6,y=log4,则x+2y的值是(　　) A.3 B.log23 C.-3 D.4 解析:由2x=6,得x=log26,由y=log4=lo=log2,得2y=log2,所以x+2y=log26+log2=log2=log224=4. √ 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  解析:根据题意有-=-,即3loga2-=-.设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,解得t=(舍负),所以loga2=,所以=2,解得a=64. 64 思维建模 对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 题点二　对数函数的图象及应用 [例1] (1)在同一直角坐标系中,函数y=a-x,y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) √ 解析:当0<a<1时,y=a-x是增函数,图象恒过点(0,1),y=loga 是减函数,图象恒过点;当a>1时,y=a-x是减函数,图象恒过点(0,1), y=loga是增函数,图象恒过点.所以满足条件的图象为D. (2)已知函数f(x)=|log3x|,若b>a>0,且a,b是f(x)的图象与直线y=m(m>0)的两个交点对应的横坐标,则4a+b的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 快审准解:画出函数f(x)=|log3x|的图象,得出a,b关系式后,利用基本不等式得出结果. √ 解析:根据题意画出f(x)=|log3x|的图象如图所示,易知|log3a|=|log3b|=m,又b>a>0,可知b>1>a>0, 所以-log3a=log3b,即log3a+log3b=0,所以ab=1, 所以4a+b=+b≥2=4, 当且仅当b=2时,等号成立,即4a+b的最小值为4. 习得方略:函数f(x)=|logax|(a>0且a≠1)的图象 若f(m)=f(n)(m<n),则①0<m<1<n;②mn=1. 思维建模 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤如下: ①对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(x),g(x); ②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象. 即时训练 1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 √ 解析:由题图可知,f(x)为增函数,故a>1.函数图象与y轴的交点 坐标为(0,logab),由题图可知-1<logab<0,解得<b<1.综上,0<a-1<b<1. 2.若方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为　　　　. 解析:若方程4x=logax在上有解,则函数y=4x和函数y=logax的图象在上有交点,由图象知解得0<a≤. 题点三　对数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2] (1)已知a=log36,b=log510,c=log714,则(　　) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 解析:因为a=log36=1+log32=1+,b=log510=1+log52=1+,c= log714=1+log72=1+,且log27>log25>log23>0,所以a>b>c. √ (2)设a=log2 0242 026,b=log2 0232 026,2 024c=2 025,则 (　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 解析:因为2 024c=2 025,所以c=log2 0242 025,又因为函数f(x)=log2 024x 在(0,+∞)上单调递增,所以log2 0242 025<log2 0242 026,即c<a.因为函数g(x)= log2 026x在(0,+∞)上单调递增,所以0=log2 0261<log2 0262 023<log2 0262 024< log2 0262 026=1,则>,即log2 0232 026>log2 0242 026,即b>a. 综上可得,b>a>c.故选D. √ 思维建模 比较对数函数值大小的方法 (1)单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底. (2)中间量过渡法:寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. (3)图象法:根据图象观察得出大小关系. 考法(二)　解不等式 [例3]　(2025·绵阳阶段练习)设函数f(x)=x3|x|,则不等式f(2log3x)+f(3-log3x)<0的解集是(　　) A.　　　 B. C.(0,27) D.(27,+∞) √ 解析:由题意可知,f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)3|-x|=-x3|x|=-f(x),所以f(x)为定义在R上的奇函数,且当x≥0,f(x)=x4在[0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.因为f(2log3x)+ f(3-log3x)<0,所以f(2log3x)<-f(3-log3x)=f(log3x-3),可得2log3x<log3x-3,即log3x<-3=log3,解得0<x<,所以原不等式的解集为. 思维建模 解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解. 考法(三)　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; 解:因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,解得a=-1.所以f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,x∈(-1,3), 则g(x)在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减. 又y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3). (2)若f(x)的最小值为0,求a的值. 解:若f(x)的最小值为0,则y=ax2+2x+3有最小值,且最小值为1, 因此有 解得a=.故a的值为. 思维建模 解决对数函数性质综合问题的策略 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 即时训练 3.(2025·泰安模拟)已知a=log0.20.3,b=ln a,c=2a,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>b>a B.a>b>c　 C.b>a>c　 D.c>a>b 解析:因为y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2, 即0<a<1.因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以ln a<ln 1,即b<0.因为y=2x在R上单调递增,所以2a>20,即c>1.综上,c>a>b. √ 4.[多选]已知函数f(x)=lo(x2-2ax+2),则以下说法正确的是(　　) A.∃a∈R,使得f(x)为偶函数 B.若f(x)的定义域为R,则a∈(-,) C.若f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,则a的取值范围是[1,+∞) D.若f(x)的值域是(-∞,2],则a∈ 解析:在f(x)=lo(x2-2ax+2)中,取a=0,则f(x)=lo(x2+2),此时函数的定义域为R,且f(-x)=lo(x2+2)=f(x),即f(x)=lo(x2+2)为偶函数,故A正确;因为f(x)的定义域为R,所以x2-2ax+2>0恒成立,即Δ=(-2a)2-8<0,解得-<a<,故B正确; √ √ √ 令g(x)=x2-2ax+2,因为y=lox在定义域上单调递减,故要使函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,则需使g(x)=x2-2ax+2在(-∞,1)上单调递减且恒大于0,故有解得1≤a≤,故C错误;因为f(x)的值域是(-∞,2],即f(x)max=2,由复合函数的单调性可知,g(x)min==,由g(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,知g(x)min=g(a)=2-a2=,解得a=±,即a∈,故D正确. 5.已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga<loga, 则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为　 　　　. 解析:由loga<loga,知当0<a<1时,>,无解;当a>1时, <,解得a>1.所以a>1,则对数函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,又关于x的不等式loga(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为(2,+∞). (2,+∞) 培优 创新发展 03 指、对、幂比较大小的方法 方法1　作差法、作商法 (1)作差法:A-B>0⇔A>B;A-B=0⇔A=B;A-B<0⇔A<B. (2)作商法:当A>0,B>0时,>1⇔A>B;=1⇔A=B;<1⇔A<B. 1.若a=lg 0.2,b=log32,c=log64,则关于a,b,c的大小关系,下列说法正确的是(　　) A.c>b>a B.b>c>a C.c>a>b D.a>b>c √ 解析:∵a=lg 0.2<lg 1=0,b=log32>0,c=log64>0,=== ×=<1,∴b<c,即c>b>a. 2.已知20a=22,22b=23,ac=b,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 解析:分别对20a=22,22b=23,ac=b两边取对数,得a=log2022,b=log2223,c=logab. a-b=log20 22-log22 23=-=. 由基本不等式,得lg 20·lg 23<=<==(lg 22)2, 所以(lg 22)2-lg 20·lg 23>0,即a-b>0,所以a>b>1. 又c=logab<logaa=1,所以a>b>c.故选D. √ 方法2　中间值法 当比较A,B的大小时,若能找到一个值t0,满足A<t0且t0<B,则A<B;或满足A>t0且t0>B,则A>B. 在指、对数中,通常可优先选择0,1对所比较的数进行划分,然后再进行比较.也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22<log23<log24=2,进而可估计1<log23<2,从而便于比较. 3.(2025·遂宁零诊)已知a=,b=log32,c=sin,则(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 解析:由=3.375>e,可知>,所以<.由=log3=log3,8<9,得2<,所以log32<log3=. 由=log3=log3,4>3,得2>,所以log32>log3=.由=sin, ≈0.52>,函数y=sin x在上单调递增,可知sin<sin=.综上可得, >>log32>>sin,所以a>b>c.故选D. √ 方法3　性质法 (1)若底数相同,指数或真数不同:可通过函数的单调性,判断出指数或对数的大小关系; (2)若底数不同,指数或真数相同:可以利用相应函数图象的变化规律来判断; (3)若底数不同,指数或真数也不同:需要利用中间值来比较. 4.(2025·宝鸡实验高级中学联考)已知a=,b=,c=, 则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 解析:因为log23.4>log22=1=log44>log43.6,log30.3-1=log3>log33=1, 且log23.4>log22==log3=log33>log3=-log30.3,所以log23.4> -log30.3>log43.6,所以>=>,即a>c>b. √ 方法4　构造新函数 无法一眼找到题干中的数或式子的关联时,观察所给式子的结构,通过结构的特点构造相应的函数,构造没有固定模式,且所构造函数大多需要借助导数研究其单调性,赋值比较大小. 5.已知x3-y3<2-x-2-y,则下列结论正确的是 (　　) A.ln>0 B.ln(y-x+1)>0 C.ln|y+x|>0 D.ln|y-x|>0 解析:由x3-y3<2-x-2-y,得x3-2-x<y3-2-y,令f(x)=x3-2-x,即f(x)<f(y),因为y=x3在R上为增函数,y=2-x在R上为减函数,故f(x)=x3-2-x在R上为 增函数,所以y>x.取y=1,x=-2,则ln<0,故A错误; 由y>x,得y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故B正确; 取y=1,x=-2,则ln|y+x|=0,故C错误; 取y=1.1,x=1,则ln|y-x|<0,故D错误.故选B. √ 数智赋能:电子版随堂训练（对数函数的创新应用）,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 04 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 一、单选题 1.已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,且a≠1)恒过定点(m,n),则m+n=(　 ) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 解析:令2x-3=1,解得x=2,此时f(2)=1+loga1=1,所以f(x)恒过定点(2,1),则m=2,n=1,所以m+n=3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知a=log23,b=log46,c=log49,则 (　　) A.a=b<c　　B.a<b<c　　C.a=c>b　　D.a>c>b 解析:因为a=log23=lo32=log49=c,又y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 6<9,所以log46<log49,所以a=c>b. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.(2024·深圳二模)已知a>0,且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 快审准解:由函数y=loga过点(0,-1),分类可解. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:当x=0时,y=loga=-1,则当0<a<1时,函数图象过第二、三、四象限,如图①;当a>1时,函数图象过第一、三、四象限,如图②. 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减, 则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0) B.[-1,0) C.(-1,0) D.[-1,+∞) 解析:令t=ax+2,y=ln t,因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,且y=ln t在定义域内单调递增,所以解得-1≤a<0,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞), 则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞)　　 B.(2,+∞)　　 C.(1,2]　　 D.(,2] 解析:由题意,得当x≤2时,0<2x≤4,4≤8-2x<8,所以f(x)∈[4,8). 注意区间端点值的取舍 当x>2时,分以下两种情况讨论: 若0<a<1,则f(x)=3+logax单调递减, 所以f(x)∈(-∞,3+loga2),不满足f(x)的值域是[4,+∞). 若a>1, 要对底数a实施分类讨论,注意挖掘隐含条件,a>0,且a≠1;注意最后的结果“<a≤2”是在“a>1”的前提下得出的,将两个取值范围取交集 则f(x)=3+logax单调递增,所以f(x)∈(3+loga2,+∞).要使f(x)的值域是[4,+∞),则有4≤3+loga2<8,解得<a≤2.综上,实数a的取值范围为(,2].故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.(2025·南宁模拟)若3a+log3a=27b+3log27b,则 (　　) A.a<3b　　B.a>3b　　C.a>b2　　D.a<b2 解析:设f(x)=3x+log3x(x>0),则f(x)为增函数.因为3a+log3a=27b+3log27b=33b+log3b,所以f(a)-f(3b)=3a+log3a-33b-log3(3b)=33b+log3b-(33b+log3b)-log33=-1<0, 作差比较大小,注意对数性质的灵活应用,即log3(3b)=log3b+log33 所以f(a)<f(3b),故a<3b,所以A正确,B错误.f(a)-f(b2)=3a+log3a-(+log3b2)= 33b+log3b-(+log3b2)=33b--log3b, 很难直接判断该式与0的大小,故可对b取特殊值进行判断,为保证准确性,可多取几个 当b=1时,f(a)-f(b2)=24>0,此时f(a)>f(b2),有a>b2;当b=3时,f(a)-f(b2)=-1<0,此时f(a)<f(b2),有a<b2,所以C、D错误.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7.(2024·南昌三模)若=log2a,=b2,=2-c,则正数a,b,c的 大小关系是(　　) A.c<a<b　　B.c<b<a　　C.a<c<b　　D.a<b<c 解析:由=log2a,知a为y=与y=log2x交点的横坐标,由=b2,知b为y=与y=x2交点的横坐标,由=2-c,即=,知c为y=与y=交点的横坐标,在同一平面直角坐标系中作出y=,y=log2x, y=x2,y=的图象如图所示.由图可知,c<b<a. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多选题 8.关于函数f(x)=ln(ex+e-x-2),以下说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在区间(0,+∞)单调递增 D.f(x)在区间(0,+∞)单调递减 解析:由e-x>0,ex>0,得e-x+ex≥2,当且仅当x=0时,等号成立,则f(x)的定义域为{x|x≠0},∵f(-x)=ln(e-x+ex-2)=f(x),∴f(x)为偶函数,故A错误, B正确;当x>0时,函数t=ex>1且单调递增,函数u=t+-2>0且单调递增, 函数y=ln u单调递增,∴函数f(x)在(0,+∞)单调递增,故C正确,D错误. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是 (　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba 解析:∵0<a<1,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,且b>c>1, ∴ba>ca,故A错误;∵0<a<1,∴函数y=logax在(0,+∞)上单调递减, 又∵b>c>1,∴logab<logac<loga1=0,∴0>>,即0>logba>logca, 故B正确;∵0<a<1,则a-1<0,∵幂函数y=xa-1在(0,+∞)上单调递减, 且b>c>1,∴ba-1<ca-1,∴cba<bca,故C正确;由B可知,0>logba>logca, ∴0<-logba<-logca,∵b>c>1,∴c(-logba)<b(-logca),∴blogca<clogba, 故D错误. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 10.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　. 解析:由f(ln 2)f(ln 4)=8,得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,也即(aln 2)3=23, ∵a>0且a≠1,∴aln 2=2,两边取对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e. e 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 11.不等式lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1的解集为　　　　. 解析:由对数函数的性质可得 解得x>2.∵lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1=lo[2(x-1)],且y=lox为减函数, ∴解得2<x<3, 综上所述,不等式的解集为(2,3). (2,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 12.设a=log23,b=log4x,c=log865,若a,b,c中b既不是最小的也不是最大的,则x的取值范围是　　 　　. 解析:∵a=log23=log827<log865=c,∴a<b<c,∴log23<log4x<log865, ∴log23<log2<log26,∴3<<6,得9<x<6,即x的取值范围是(9,6). (9,6) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 四、解答题 13.已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(x-2). (1)求f(x)的定义域; 解:由解得x>2, 所以f(x)的定义域为(2,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)求关于x的不等式f(x)≥ln(3x)的解集. 解:由f(x)=ln(x+2)+ln(x-2)=ln(x2-4),x∈(2,+∞),得不等式f(x)≥ln(3x)可化为ln(x2-4)≥ln(3x). 因为y=ln x是增函数,所以 解得故x≥4. 故不等式f(x)≥ln(3x)的解集为{x|x≥4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.已知函数f(x)=log2[4x+(a+2)2x+a+1]. (1)若a=0,求满足2<f(x)<4的x的取值范围; 解:当a=0时,f(x)=log2(4x+2·2x+1)=2log2(2x+1).易知f(x)的定义域为R. 由不等式2<f(x)<4,得1<log2(2x+1)<2,即2<2x+1<4,解得0<x<log23, 所以不等式2<f(x)<4的解集为(0,log23). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 (2)若对任意x≥1,f(x)≥x恒成立,求a的取值范围. 解:由不等式f(x)≥x,得log2[4x+(a+2)2x+a+1]≥log2(2x), 等价于4x+(a+2)2x+a+1≥2x对任意x∈[1,+∞)恒成立. 设t=2x≥2,则t2+(a+1)t+a+1≥0对任意t≥2恒成立, 设g(t)=t2+(a+1)t+a+1, 当-≤2,即a≥-5时,g(2)=4+2(a+1)+a+1≥0,解得a≥-; 当->2,即a<-5时,Δ=(a+1)2-4(a+1)≤0,无解. 综上,a的取值范围是. $$