第4章 第四节 简单的三角恒等变换（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第四节 简单的三角恒等变换 明确目标 1.会根据相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题. 目录 01.题点一　三角函数式的化简 02.题点二　三角函数的求值问题 04.课时跟踪检测 03.题点三　三角恒等变换的综合应用 3 [例1]　 (1)化简:; 解:原式=== ===1. 题点一　三角函数式的化简 (2)证明:=. 证明:左边 = ====右边, 所以原等式成立. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 思维建模 1.(2025·济南一模)若<θ<π,化简:. 解:因为<θ<π,所以cos θ<0,sin θ>0, 所以= ===cos2θ-sin2θ=cos 2θ. 即时训练 2.证明:=cos 2x. 证明:左边=== ==cos 2x=右边,所以原等式成立. 考法(一)　给角求值 [例2]　(2025·西安一模)等于(　　) A. B. C. D.1 √ 题点二　三角函数的求值问题 解析: = = ==cos 30°=. 给角求值问题的基本思路 观察所给角与特殊角之间的关系,利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值、正负相消的项和特殊角的三角函数值、可约分的项和特殊角的三角函数值等. 思维建模 考法(二)　给值(式)求值 [例3] (1)已知sin(α+β)=,sin αcos β=,则cos(4α-4β)=(　　) A. B. C.- D.- 解析:由sin(α+β)=,可得sin αcos β+cos αsin β=.因为sin αcos β =,所以cos αsin β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=,所以cos[2(α-β)]=1-2sin2(α-β)=1-=,所以cos[4(α-β)]=2cos2[2(α-β)]-1=. √ (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角， tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　.  解析：法一　由题意得tan(α+β)= ==-2， 因为α∈，β∈， k，m∈Z，所以α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z. - 又因为tan(α+β)=-2<0， 所以α+β∈，k，m∈Z， 则sin(α+β)<0，则=-2， 联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-. 法二　因为α为第一象限角，β为第三象限角， 所以cos α>0，cos β<0，cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β·(tan α+tan β) =4cos αcos β= ===-. 给值(式)求值问题的解题策略 将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行三角恒等变换,使其转化为所求函数式能够使用的条件,然后用代入法求出三角函数式的值,也可以将所求的函数式经过适当的变形,再利用条件求值. 思维建模 考法(三)　给值求角 [例4]　(2024·九江二模)已知α, β∈,cos(α-β)=,tan αtan β=,则α+β=(　　) A. B. C. D. √ 解析:因为cos(α-β)=,tan αtan β=,所以解得 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.又α,β∈, 所以α+β∈(0,π),所以α+β=. 给值求角的技法 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数; (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数. ①若角的范围是,选余弦函数; ②若角的范围是,选正弦函数. 思维建模 3.化简:=(　　) A. B.2 C. D.-1 解析:====. 即时训练 √ 4.已知sin(α-2β)=,sin α=,则sin(α-β)cos β=(　　) A. B. C. D. 快审准解:利用凑角法得到方程,两式相加得到sin(α-β)cos β=. √ 解析:sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=　①, sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=　②, 由①②相加,得2sin(α-β)cos β=,所以sin(α-β)cos β=.故选A. 5.已知α为钝角,sin α+sin2β=sin2+sin2,则α=(　　) A. B. C. D. 快审准解:利用和、差角的正弦公式将右边化简,结合平方关系求出sin α,即可得解. √ 解析:因为sin α+sin2β=sin2+sin2= 2+ =+=sin2β+cos2β=sin2β+, 所以sin α=.又α为钝角,所以α=.故选D. [例5]　已知f(x)=sin+2sin·cos. (1)求f的值; 解:由题意得f(x)=sin+2sincos =sin-2sincos =sin-2sincos 题点三　三角恒等变换的综合应用 =sin-sin =sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x =sin 2x+cos 2x=sin, 故f=sin=0. (2)若锐角α满足f(α)=,求sin 2α的值. 解:∵α∈,∴2α+∈.又∵f(α)=, ∴f(α)=sin=<,∴2α+∈, ∴cos=-=-,∴sin 2α=sin =sincos-cossin=×+×=. (1)进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形应用. (2)形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 思维建模 6.已知0<α<,0<β<,cos α=,cos(β+α)=. (1)求sin β的值; 解:由0<α<,0<β<,cos α=,cos(β+α)=,得sin α=,sin(β+α)=. 所以sin β=sin[(β+α)-α]=sin(β+α)cos α-cos(β+α)sin α =×-×=. 即时训练 (2)求的值. 解:因为cos α=,sin α=,所以= ==12. 数智赋能:电子版随堂训练(三角恒等变换与其他知识综合), 根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 04 一、单选题 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:由题意,cos α==1-2sin2, 得sin2===. 又α为锐角,所以sin>0, 所以sin=,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 2.化简 +的结果是(　　) A.cos 10° B.sin 10° C.2sin 10°+cos 10° D.2cos 10°-sin 10° 解析:原式化简为 += +=cos 10°+cos 10°-sin 10°=2cos 10°-sin 10°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 3.(2024·保定二模)若4tan α=,则cos 2α=(　　) A. B.- C. D.- 解析:由4tan α=,得4sin2α=15cos α>0,即4cos2α+15cos α-4=0,解得cos α=或cos α=-4(舍去),所以cos 2α=2cos2α-1=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 4.(2025·天门模拟)已知cos(π+θ)=,若θ是第二象限角,则tan=(　　) A.2 B. C.- D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:因为cos(π+θ)=,所以cos θ=-. 又θ是第二象限角,所以sin θ=. 法一　由tan======.故选B. 法二　由半角公式得tan==.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 5.已知sin α=,cos(α+β)=-,则β的值可能为(　　) A.π B. C.- D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:由sin α=,cos(α+β)=-,得cos α=±,sin(α+β)=±,而sin β =sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,从而sin β=1或sin β=-.当sin β=1时,只有B符合;当sin β=-时,四个选项均不符合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 6.(2024·淄博二模)设β∈,若sin α=3sin(α+2β),tan β=,则tan(α+2β)=(　　) A.- B. C.- D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:由sin α=3sin(α+2β),得sin [(α+2β)-2β]=3sin(α+2β), 则sin(α+2β)cos 2β-cos(α+2β)sin 2β=3sin(α+2β),即sin(α+2β)(cos 2β -3)=cos(α+2β)sin 2β, 因此tan(α+2β)==== -,而tan β=,所以tan(α+2β)=-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 7.(2024·保定三模)已知锐角α, β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β,则sin(α+β)的值为 (　　) A. B. C. D. 快审准解:利用辅助角公式化简已知函数,得到正弦型函数,再利用自变量的范围得到函数不具有单调性,所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补,从而就可以通过运算得到结果. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:设f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=, φ∈.当x∈时,x+φ∈⊆(0,π), 此时f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ)在(0,π)上有增有减.又因为f(α)=f(β),且α≠β,所以α+φ+β+φ=π,所以α+β=π-2φ, 所以sin(α+β)=sin(π-2φ)=sin 2φ=2sin φcos φ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 二、多选题 8.下列各式中,值为的是(　　) A.sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171° B.cos275°-cos215° C. D.sin 50°(1+tan 10°) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 解析:sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171°=-sin 21°sin 9° +cos 21°cos 9°=cos(21°+9°)=cos 30°=,A是;cos275°-cos215°=cos275°-sin275°=cos 150°=-,B不是;= ==,C是; sin 50°(1+tan 10°)=== =1,D不是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 9.已知sin α=-,180°<α<270°,则下列选项正确的是(　　) A.sin 2α=- B.sin= C.cos=- D.tan=-2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ √ 解析:因为sin α=-,180°<α<270°,所以cos α=-,所以sin 2α= 2sin αcos α=2××=,故A错误.因为90°<<135°,所以sin===,cos=-=-=-,tan==-2,故B、C、D均正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 三、填空题 10.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f(x0)=3f'(x0),则=　　.  快审准解:求导,由f(x0)=3f'(x0)整理可得tan x0=-2,然后利用二倍角公式将目标式化为齐次式,弦化切可得. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 - 解析:求导得f'(x)=cos x+sin x,由f(x0)=3f'(x0), 得sin x0-cos x0=3(cos x0+sin x0),解得tan x0=-2, 所以===-. 11.(2024·晋城二模)已知tan α=2tan β,sin(α+β)=,则sin(β-α)=______.  解析:因为tan α=2tan β,即=,可得sin αcos β=2cos αsin β. 又因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=3cos αsin β=, 可得cos αsin β=,所以sin(β-α)=cos αsin β-sin αcos β =-cos αsin β=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 - 12.已知cos(α+2β)=,tan(α+β)tan β=-4,写出符合条件的一个角α的值为___________________________.  解析:cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β) cos β-sin(α+β)sin β=, tan(α+β)tan β=-4,即=-4,故sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β,故5cos(α+β)cos β=,即cos(α+β)cos β=,则sin(α+β)sin β=-4cos(α+β) ·cos β=-,则cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-=-,可取α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 四、解答题 13.(10分)(1)化简:;(5分) 解:= =cos2α·=cos2α·= cos2α·tan α=cos2α·=sin αcos α=sin 2α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 (2)求值:(1+tan 5°)(1+tan 40°).(5分) 解:因为tan 45°=tan(5°+40°)==1, 所以tan 5°+tan 40°=1-tan 5°tan 40°, 则tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1, 所以(1+tan 5°)(1+tan 40°) =1+tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1+1=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 若A+B = ,则(1+tan A )(1+tan B )=2. 谨记结论 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 14.(13分)已知 f (x)=sin x-cos x. (1)若过原点的直线l与函数f(x)相切,切点的横坐标为x0(x0≠1),求证:tan x0=;(5分) 证明:设切点为A(x0,sin x0-cos x0), f'(x)=cos x+sin x, f'(x0)= cos x0+sin x0=kAO=.所以(x0+1)cos x0=(1-x0)sin x0, 所以tan x0=. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 (2)若f(α)=,0≤α≤π,求sin的值.(8分) 解:将sin α-cos α=平方得1-2sin αcos α=, 所以2sin αcos α=,所以α∈. 所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=, 从而sin α+cos α=. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 联立得 所以sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-. 故sin=(sin 2α-cos 2α)=×=. 13 $$